GeoGebra助力直觀想象核心素養提升的應用探討

肖陽芳 邵貴明 徐金潤 譚祿 熊建軍

[摘 ?要] 隨著科學技術的迅猛發展，全面發展的人才已成為社會發展的寶貴資源. 《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學素養是現代社會每一個人應該具備的基本素養，其中的直觀想象素養是數學核心素養的基礎，而提升學生的直觀想象素養是傳統教學的難點、痛點. 文章以外接球的切瓜模型為支撐點，適時、適當、適切地引用GeoGebra軟件輔助教學，使學生通過視覺方法與幾何方法的交互作用，理解幾何知識的本質，提高數形結合能力，幫助學生擴展思維閾限，把提升學生的直觀想象素養落于實處.

[關鍵詞] GeoGebra;直觀想象素養;切瓜模型

問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱課程標準）指出，數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[1]. 目前提升學生核心素養的研究理論層面偏多，缺乏深層次與實踐互通，特別是融合我國傳統的教育方式提升直觀想象素養的研究有待深入. 例如，對于復雜的立體幾何問題，學生難以理清圖形結構與各要素的數量關系. 這類問題往往會成為一線教學中提升學生直觀想象素養的絆腳石. 范希爾曾說過，假如能呈現對直觀的洞察，應有助于學習抽象的數學概念[2]. 若將信息技術與數學教學有效結合，為學生提供探索實驗的環境，為學生理解數學問題的本質提供背景鋪墊，為學生加深對幾何圖形及其交流的理解創造環境、提供工具，從而培養學生幾何直觀、空間感以及幾何作圖方法等數學能力，切實提升學生的核心素養. 在科技迅猛發展的今天，如何具體適時、適切、適度地使用信息技術，優化課堂教學？如何在教學實踐中提升核心素養？這都是值得大家深入思考的問題.

理論依據

1. 直觀想象素養的重要性、提升難度及原因

數學在形成個人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用，數學素養是現代社會每一個人應當具備的基本素養. 其中直觀想象素養作為數學核心素養的要素之一，是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎，在培養人的全面發展中具有重要的作用.直觀想象素養旨在借助幾何直觀和空間想象讓學生從空間位置關系和數量關系中領悟形態變化與運動規律，主動從數與形的邏輯關系中建立新的數學結構模型，理解并掌握事物的本質從而解決問題. 至此，在中小學階段結合數學教學培養提升學生直觀想象素養尤其重要，以數學課程內容為“腳手架”培養學生直觀想象素養的教學策略和路徑亟待探究和解決. 課程標準對教學提出的建議是，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程[1]. 而在一線教學中，教師通常采用傳統方式進行教學，對提升學生數學核心素養的作用不大，對提升學生幾何直觀和空間想象能力更是棘手.這主要是因為數學本身是較抽象的學科，且學生空間想象能力不足、作圖能力有限，生活中也缺少實物或者模型使學生將幾何模型印入腦海，無法較好地促使思維的具象化、可視化.

2. GeoGebra輔助教學——培養直觀想象素養的指導作用

筆者在對一線教師關于提升學生直觀想象素養的訪談過程中發現，他們存在這樣的疑問：一是如何引導學生建立數與形的聯系，把抽象的數學問題通過特殊的圖形表達出來;二是如何依托教學內容，幫助學生發展空間認知和想象能力，借助幾何圖形描述問題和理解問題. 其實借助信息化手段輔助教學能有效地解決部分問題，利用信息技術可以將代數與幾何圖形的變化聯系起來，將復雜的幾何圖形直觀呈現出來，這樣的過程容易印在學生的腦海里，給學生提供空間想象的固著點，此外，信息技術還具有“可視化”動態功能，通過動態圖形的呈現，使學生從不同方位觀察圖形以達到操作理解，踐行數形結合思想，從而幫助學生提升直觀想象素養. 但“可視化”需要教師精心設計、細心引導，適時、適當地讓學生理解抽象晦澀的知識點. GeoGebra是亞特蘭大大學數學教授設計的一款開放源代碼軟件，如圖1所示. 能同框顯示代數關系和幾何圖形，揭示數學各要素之間復雜動態的邏輯關系，直觀地、動態地呈現圖形變化，圖形動態變化時代數區也跟隨變化，GeoGebra能將立體幾何圖形可視化，更重要的是其與使用者具有高度的互動性，使用者可以通過“旋轉—拖曳”功能，依自己的目標和想法操作幾何對象以觀察存在于其中的性質或關系. 數學教學尤其需要這種“可視化”，因為在較難理解的教學內容中需要學生發揮空間想象能力，這時借助信息化手段，將“只可意會”的內容轉化為“能言傳”的內容，更好地幫助學生剖析知識本質，提升數形結合能力.

3. GeoGebra輔助教學——培養直觀想象素養的教學策略

GeoGebra已經為人教版教材（2019年版）編撰所采用.筆者通過CNKI檢索主題“直觀想象素養”，共檢索出中文文獻1943篇;檢索主題“GeoGebra”，共檢索出中文文獻591篇;以“直觀想象素養”和“GeoGebra”為主題，高級檢索出中文文獻21篇. 從文獻數據可知，直觀想象素養和GeoGebra都被教育領域所關注和重視，但將GeoGebra與直觀想象素養結合研究的成果尚少. 有研究者通過編制高中生直觀想象素養測試卷調研提出，在一線教學中，從提升學生學習興趣、培養學生規范作圖能力、重視學生知識記憶策略、恰當運用現代信息技術、強化學生制作模型意識等方面著力提升學生直觀想象素養水平[3];還有研究者在高中生直觀想象素養培養的研究中提出，通過加強作圖訓練程度、注重實物模型演示和把信息技術融入課堂教學中，能改善學生數形結合意識和空間想象能力較差的現象[4]. 鄭學蓉結合函數、幾何知識，認為在概念教學中可以培養數學抽象和直觀想象素養、在動態問題教學中可以培養邏輯推理和直觀想象素養、在探究教學中可以培養直觀想象素養和邏輯推理素養，并給出了相應的教學設計[5]. 李向婷對高中生直觀想象素養發展策略進行了研究，提出利用實物和信息技術加強高中生對數學概念的理解，開展直觀想象素養的數學活動促進動手實踐與數學表達，利用高中生直觀想象素養的發展特點合理進行因材施教等策略[6]. 結合以上的文獻成果，提高學生數形結合和空間想象能力是重要基石. 教學是以課程內容為載體，教給學生數學思想方法和思維能力，引導學生領悟數學知識本質的一種復雜活動，借助GeoGebra輔助教學的策略為：提供探索實驗的環境，滲透猜想與驗證思想，展示幾何元素的生成過程，引導學生領悟知識本質，提升數形結合能力[7].

教學過程展示

多面體外接球問題是提升學生空間想象能力的恰當素材，因為球與多面體的切接是空間中一種特殊的位置關系，解答時需要想出或畫出圖形，以直觀方式來分析、思考，而部分學生因缺乏幾何直觀能力、空間想象能力，問題變得抽象難懂，傳統教學通常以答題模板或秒殺公式來引導學生解題，學生知其然不知其所以然，所以它是一塊合適的“試金石”，能全方位、多角度、深層次地考查學生的幾何直觀能力、空間想象能力. 下面以外接球的切瓜模型為載體，借助GeoGebra展示空間幾何體的生成過程，滲透轉化與化歸、空間問題平面化、數形結合等思想方法，提升學生的幾何直觀能力、空間想象能力.

切瓜模型是指一側面垂直底面的棱錐形，常見的是兩個互相垂直的面都是特殊三角形. 如兩面都是直角三角形;一面是直角三角形，一面是等邊三角形;兩面都是等邊三角形;兩面都是一般三角形. 雖然新教材刪除了有關外接球的內容，但是每年高考依然會出現外接球相關考題，故本文以切瓜模型經典例題為“腳手架”展示培養學生直觀想象素養的教學策略.

1. 問題情境，理解本質

題目：已知平面四邊形ABCD滿足AB=AD=2，∠A=60°，∠C=90°，將△ABD沿對角線BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD，如圖2所示，則四面體ABCD外接球的體積為多少？

根據球的體積公式V=πR3知道，若知球的半徑即知球的體積，而要知球的半徑先要找出球心，根據“球心是過兩截面圓的圓心作垂直于各截面圓的垂線的交點”這一定義，確定截面找出各外接圓圓心，并作垂線取交點得球心. 華羅庚曾說過，數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休. 先在GeoGebra中畫出立體圖形，在指令欄輸入“外接圓（B，C，D）、外接圓（A，B，D）”，再選擇“中點/中心”工具，得出兩個截面圓及圓心，如圖3所示. 用GeoGebra以直觀形式展示圖形，讓學生感受幾何關系的形成過程，給未來培養學生的空間想象能力提供一個范式. 因為△BCD是直角三角形，所以△BCD的外接圓圓心即斜邊BD的中點;因為△ABD是等邊三角形，所以△ABD的外接圓圓心是△ABD的重心. 確定截面圓及圓心后，在GeoGebra中運用垂線工具作出截面圓的垂線，垂線的交點即球心O，連接點O與點D，OD即球的半徑. 在Geogebra中輸入命令“球面（O，D）”構建外接球，如圖4所示. 這時通過GeoGebra的“拖曳”功能，旋轉視圖觀察球心O的位置關系，可知球心O是△ABD的重心，再通過三角形重心的性質求出球的半徑.

在教學中，學生可以依據自己的想法和疑問操作幾何對象，觀察其中的性質或關系以達到對外接球位置關系的本質理解. 也可以運用GeoGebra的“縮放”功能，只改變圖形大小，不改變圖形數量關系，將這個例題的解題思路抽象為一面是直角三角形、一面是等邊三角形的通性通法. 讓學生用軟件看立體圖、畫圖或構圖，運用軟件的旋轉視角感受復雜幾何體的動態生成過程，同時將立體問題平面化，借助圖形直觀認識數學問題、表達數學問題，啟迪解決此類問題的思路，提高學生的幾何直觀能力和空間想象能力.

2. 問題變式，思維升華

變式：在三棱錐D-ABC中，△ABC與△ABD都是邊長為4的正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，則該三棱錐外接球的表面積為多少？

先分析題目信息，根據球的表面積公式S=4πR2知道，需要找到球心來確定球半徑，由于教學中對這類立體圖形較難直觀呈現在黑板上，而且部分學生的幾何直觀能力和空間感欠佳，所以借助Geogebra輔助教學畫出立體圖形，能為學生探索幾何結構創造環境.

根據“球心是過兩截面圓的圓心作垂直于各截面圓的垂線的交點”這一定義，在Geogebra中點擊“外接圓”后依次選點A、點B、點C得到△ABC的外接圓，重復這些操作，得到△ABD的外接圓;在Geogebra中選擇“中點/中心”工具，得到兩個圓心點E、點F，如圖5所示. 運用垂線工具分別作出垂直于各截面圓的垂線，垂線的交點為球心O，如圖6所示，連接線段OC即外接球的半徑.

在研究這個問題的過程中，把數和形結合起來進行考察，斟酌問題的具體情形，先把數量關系的問題轉化為圖形關系的問題，再利用圖形性質解決代數問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案，最后結合題目已知條件和直角三角形的性質求出半徑.

結束語

幾何圖形是一種經過抽象和形式化處理的數學概念，直觀想象是理解幾何圖形的基礎. 通過信息技術改進幾何教學，加深對幾何圖形及交流的理解，為學生學習幾何概念和結構創造環境、提供工具.當多面體外接球問題結合GeoGebra，可將其直觀化、規律化，降低求解難度，達到“看得見，看得清，理解快”的效果. 在合適的情境與教師的引導下，學生可以通過視覺方法與幾何方法的交互作用，識得幾何元素的位置關系、形態變化與運動規律，習得較為完整的幾何知識，再根據完整的知識以一敵百解決更多的問題. 但本文提出的樣例呈現的是靜態過程，在具體教學中，信息技術不能影響教學目的，只能作為一種輔助教學工具，要使教學有意義，需要學生具備一定的幾何知識，否則會損害學生的幾何思維.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2] 鮑建生，周超. 數學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3] 王萌萌. 高中生數學直觀想象素養現狀及培養研究[D].河南大學，2020.

[4] 朱艷宇. 高中生數學直觀想象素養的培養策略研究[D].延邊大學，2020.

[5] 鄭學蓉. 使用GeoGebra培養中學生數學核心素養的實踐探索[D]. 上海師范大學，2020.

[6] 李向婷. 高中生數學直觀想象素養發展研究[D]. 西南大學，2021.

[7] 邵貴明，胡典順，柳福祥. 論數學核心素養在高中數學課堂落地生根——以人教版高中“對數”教學為例[J]. 數學教育學報，2020，29（06）：46-50.