認知心理學視角下數學概念的教學實踐與思考

賴小敏 于濤

[摘 ?要] 文章以認知心理學的理論為指導，從認知過程、概念表征、學習遷移等角度對“充分條件與必要條件”進行了教學分析，呈現了教學實施過程，總結了兩點促進認知結構構建的教學思路.

[關鍵詞] 認知心理學;概念;充分條件;必要條件

概念是一類事物共同的本質屬性，是反映一類事物本質屬性的表征. 文[1]從數學概念的獲得、結構分析、表征、認知模式等角度分析了數學概念學習的認知理論，揭示了概念學習的特殊性與復雜性. 從認知心理學的角度來看，數學學習會經歷“數學現象—心象—抽象—操作”的認知過程[2]，如何準確把握學生的認知基礎，幫助學生有效構建認知結構，一直是概念教學的熱點問題. 下面以“充分條件與必要條件”為例，探討遵循學生認知規(guī)律的教學思路.

教學分析

“充分條件與必要條件”是人教A版必修第一冊（2019年版）第1章第4節(jié)第1課時的內容，本課以“若p，則q”形式的命題為載體，通過考察命題中條件p與結論q的關系，學習充分條件、必要條件等常用邏輯用語. 教材編寫以比較容易判斷真假的命題為例子，意在突出學習重點是對充分條件、必要條件的意義的理解和辨析，以避免判斷命題的真假成為學生學習本節(jié)內容的障礙. 在具體的教學實踐中，有以下幾個教學問題值得探討.

1. 遵循從現象和心象到抽象的認知過程

數學概念源自生活現象，在生活實踐與學習的過程中，學生通過感知生活現象，在頭腦中形成各種對生活現象的直觀認知，即“心象”，通過對心象的積累與理性分析等過程，逐步在歸納、概括后抽象得到概念. 教學如果直接跳過生活實踐中的數學現象，以“若x2-4x+3=0，則x=1”“若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b”等命題作為例子展開教學，學生更多在明確命題“若p，則q”的條件p與結論q，以及命題真假判斷的基礎上，接受充分條件、必要條件等數學“名詞”，機械地記憶與應用這些數學知識. 教學有必要聯(lián)系日常的生活實際，增強例子的直觀性，讓概念學習從數學外部的生活過渡到數學內部的概括抽象，引導學生經歷完整的認知過程.

2. 借助不同的概念表征來深化概念理解

表征本質上是被表征對象的替代[3]. 當學習者看到某個概念后能想到的東西就是這個概念的表征. 例如“北京”，其表征可能是“首都”“天安門”“長城”“北京烤鴨”等. 要讓學生更好地理解某個數學概念，就需要幫助學生從言語化、視覺化等不同表征形式來理解同一個數學學習對象. 在以符號“p?q”和文字“p是q的充分條件，q是p的必要條件”等概念表征組織教學的基礎上，不妨借助“集合”等表征形式幫助學生更好地理解概念. 認知心理學認為概念學習分兩種形式，一種是概念形成，是學習者從大量的同類事物的不同例證中發(fā)現其共同的關鍵性的本質特征而獲得概念;另一種是概念同化，或稱概念掌握，是學習者從自己的認知結構中原有的有關概念通過同化而獲得新概念[4]. 研究者在多年教學實踐中發(fā)現，只有符號和文字表征的教學，學生容易出現概念理解不深刻、命題真假判斷困難等學習問題，教學可以從集合的角度通過概念同化，深化概念理解，更好地溝通新知與舊知的聯(lián)系，構建認知結構. 此外，還可以借助判定定理與充分條件、性質定理與必要條件之間的關系來幫助學生理解新知，這也是新教材編寫的變化之處.

3. 通過調整教學順序促進學習遷移發(fā)生

充分條件、必要條件是對“若p，則q”形式命題的條件與結論辯證關系的學習，組織教學圍繞“若p，則q”形式命題的真假判斷而展開. 傳統(tǒng)教學觀念下的教學注重“雙基”落實，教學通常將真命題、假命題的例子混在一起，課堂教學演練操作多，自主探究思考少. 為實現新一輪課程改革的教學理念，培養(yǎng)學生從“學會”到“會學”，教學時不妨將真命題、假命題的例子分為不同的組：首先，師生共同用真命題的例子完成充分條件、必要條件的學習;其次，學生在前面學習的基礎上進行學習遷移，用假命題的例子自主完成“不是充分條件、不是必要條件”的學習. 后續(xù)充要條件的教學也可以進行類似的教學順序優(yōu)化，促進學生學習遷移的發(fā)生.

教學實踐

1. 概念形成

在日常生活和數學學習中，我們經?？梢钥吹健叭魀，則q”形式的命題，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結論.

引例 若我是東莞人，則我是廣東人.

問題1：（1）這個命題的條件和結論是什么？（2）判斷這個命題的真假.

生1：條件是“我是東莞人”，結論是“我是廣東人”.

生2：因為東莞市在廣東省內，所以該命題是真命題.

師：對于上述真命題，我們用數學符號“?”進行等價表述：“我是東莞人”?“我是廣東人”. 其中，“我是東莞人”可以“充分”地說明“我是廣東人”. 我們用邏輯用語表述為：“我是東莞人”是“我是廣東人”的充分條件.

追問1：若我是廣東人，那么我一定是東莞人嗎？

生3：不一定，我可能是廣州人，也可能是深圳人，等等.

師：也就是說，我是東莞人，前提是我是廣東人;如果我不是廣東人，那么我不是東莞人. 所以“我是廣東人”對于“我是東莞人”而言是必不可少的，是必要的. 我們用邏輯用語表述為：“我是廣東人”是“我是東莞人”的必要條件.

師生對話的同時，教師板書：“‘若我是東莞人，則我是廣東人’是真命題”及其三種等價說法，分別為①（符號語言）“我是東莞人?我是廣東人”，②（邏輯用語）“我是東莞人”是“我是廣東人”的充分條件，③（邏輯用語）“我是廣東人”是“我是東莞人”的必要條件.

教學中，教師引導學生再列舉一些具體命題的例子，進而概括抽象形成新的數學概念：

一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，記作p?q，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

設計意圖 教學從生活現象到數學概念，引導學生經歷從現象到心象再到抽象的學習過程. 引例的設計“一例雙關”，一方面用生活實例呈現命題“若p，則q”，借助生活現象中的邏輯判斷，通過師生對話引導學生體會“充分”與“必要”的生活含義，進而在生活現象的理解基礎上進行概括抽象，初步完成充分條件和必要條件概念的學習，并借助“‘若p，則q’為真命題”“p?q”“p是q的充分條件”“q是p的必要條件”這四種等價說法從推理的角度強化理解概念;另一方面，該生活實例直觀地用地圖（廣東省地圖）呈現，既能幫助學生直觀感知生活現象，又能從集合的角度為新知學習做好鋪墊.

2. 概念同化

問題2：從集合的角度研究命題“我是東莞人，則我是廣東人”，其條件和結論對應的集合分別是什么？并說出兩個集合的關系.

生4：條件對應集合{東莞人}，結論對應集合{廣東人}.

生5：條件對應的集合{東莞人}是結論對應的集合{廣東人}的子集.

師：用集合語言將命題改寫為“若x∈{東莞人}，則x∈{廣東人}”，顯然，由{東莞人}?{廣東人}可判斷命題“若x∈{東莞人}，則x∈{廣東人}”是真命題. 也就是說，由{東莞人}?{廣東人}（集合的包含關系）可得：“我是東莞人”是“我是廣東人”的充分條件和“我是廣東人”是“我是東莞人”的必要條件.

追問2：對于命題“若p，則q”，你能否從集合關系的角度理解充分條件和必要條件？

生6：若“條件p對應的集合”是“結論q對應的集合”的子集，則命題為真命題，p是q的充分條件，q是p的必要條件.

教師在學生直觀感知的基礎上，用集合語言表述：記A={x

x滿足條件p}，B={x

x滿足結論q}，當A?B時，“若p，則q”是真命題，p是q的充分條件，q是p的必要條件. 同時，借助圖1、圖2幫助學生深化理解.

[結論][條件][圖1][圖2] [條件（結論）]

設計意圖 當學生有了充分條件和必要條件的知識后，引導學生從集合的角度理解充分條件和必要條件的內涵. 一方面豐富概念的表征，在符號、語言等表征的基礎上增加圖形表征;另一方面利用學生認知結構中原有的集合知識同化邏輯用語的知識，溝通舊知和新知之間的聯(lián)系與區(qū)別，實現概念同化. 以此幫助學生積極主動地構建與完善自身的認知結構，積累從不同表征來理解概念的基本活動經驗.

3. 操作實踐

例1 判斷下列“若p，則q”形式命題的真假，用其他三種等價說法描述這一邏輯關系，并從集合的角度進行解釋.

（1）若a=b，則ac=bc;

（2）若平行四邊形的對角線相互垂直，則平行四邊形是菱形;

（3）若兩個三角形全等，則兩個三角形的周長相等.

設計意圖 例1的三個小題均為真命題. 教學中，先引導學生從邏輯推理的角度判斷命題的真假，通過其他三種等價說法強化概念的符號語言與文字語言之間的關系，然后引導學生從集合關系的角度理解新知，感悟對于不同的命題集合表征的理解在思維上具有一致性. 從引例到例1，引導學生經歷“數學現象—心象—抽象—操作”完整的認知過程，為圍繞假命題展開學習做好類比遷移、自主學習的準備.

4. 類比遷移

例2 判斷下列“若p，則q”形式命題的真假，仿照例1用其他三種等價說法描述這一邏輯關系.

（1）若x2=1，則x=1;

（2）若四邊形是梯形，則該四邊形是平行四邊形;

（3）若四邊形是菱形，則該四邊形是矩形.

（學生思考作答，教師點評板書）

問題3：仿照“真命題”的情形概括“假命題”邏輯關系的一般性表述.

生7：一般地，“若p，則q”為假命題，是指由p通過推理不能得到q，記作p[?] q，稱p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

設計意圖 例2和問題3構成了有機整體，教學中，引導學生類比“真命題”的學習，開展關于假命題“不是充分條件”和“不是必要條件”的學習，再次經歷“心象—抽象—操作”的認知過程，培養(yǎng)學生自主學習的能力與意識.

活動：請仿照前面的活動經驗，從集合的角度解釋例2中各命題的邏輯關系.

學生進行小組活動，教師觀察指導.當學生得到例2三個小題的集合圖示分別對應圖3、圖4、圖5后，教師幫助學生從集合表征的角度判斷假命題，理解“不是充分條件”和“不是必要條件”的內涵. 類比真命題的教學過程，總結并概括出：對于命題“若p，則q”，當“條件p對應的集合”不是“結論q對應的集合”的子集時，“若p，則q”是假命題，p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.

設計意圖 例2的三個小題均為假命題，分別對應不同集合關系的圖示，這三種集合關系的圖示（圖3、圖4、圖5）與前面兩種集合關系的圖示（圖1、圖2）刻畫了條件與結論對應集合的所有可能，意在讓學生在類比學習的過程中，通過積極構建逐步形成完整的認知結構，內化對新知的理解.

5. 綜合演練

練習1：判斷下列命題的真假.

（1）“兩個三角形相似”的一個充分條件是“兩個三角形的三邊成比例”;

（2）“實數x>0，y>0”的一個必要條件是“xy>0”.

練習2：寫出“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件和一個必要條件.

設計意圖 練習1在學生理解概念的基礎上，突出強調對命題的條件和結論的辨識，再強化從邏輯推理和集合關系兩種角度判斷充分條件和必要條件的方法技能;練習2以開放題的形式引導學生回顧與平行四邊形有關的判定定理和性質定理，理解每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件，每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件[5]，豐富新知概念表征的同時，繼續(xù)完善認知結構.

教后思考

認知心理學理論認為，知識是通過認知主體的積極建構而獲得的，而不僅僅是通過傳遞而實現的[6]. 知識傳遞的教學以教師講授為主，學生的學習處于被動接受、記憶、理解的狀態(tài)，教師在教學設計時更關注微觀的課時教學目標，例如要落實哪些知識點，以及哪些方法題型等，教學呈現“自上而下”的狀態(tài)，以教師頭腦中知識的認知呈現為主;知識構建的教學以學生為學習主體，知識學習是通過學生積極構建獲得的，教師在教學設計時更關注學生如何學，包括知識體系的構建、學習能力的培養(yǎng)等，教學呈現“自下而上”的狀態(tài)，通過引導學生經歷完整的認知過程，對新知進行有意義的構建，或者對原有認知結構進行改造.

那么，如何設計促進學生建構認知結構的教學思路呢？筆者有兩點感悟：

第一，要構建概念表征的圖式.文中案例實踐之前，筆者嘗試構建了“命題的真假”“集合的子集關系”“判定定理和性質定理”等學生已有的知識與“充分條件和必要條件”等新知的關系圖式（如圖6所示），借助此圖式組織教學，先后從不同的角度幫助學生內化新知，建立概念對象，并以此圖式作為教學的隱性目標，促進學生概念域的形成. 對概念圖式的把握，能有效幫助教師調整教學目標，提高學生的學習效率.

第二，要創(chuàng)造學習遷移發(fā)生的機會.文中案例將概念圖式（圖6）拆成了兩個圖式，先學習“是”的情形，讓學生積累新知學習的活動經驗，再學習“不是”的情形，讓學生把新知納入已有的知識經驗系統(tǒng)中. 學習遷移的發(fā)生，能促進學生在模仿的過程中，自主經歷感知、辨別、激活、內化、應用等學習過程，主動構建，有助于學生理解概念的內涵，使得學生不僅知識數量逐漸增加，知識質量也發(fā)生變化（知識得到重組）.

總之，高中數學教學有待更多的一線教師關注認知心理學與數學教育，讓教學更加符合學生的認知規(guī)律.

參考文獻：

[1] 梁英. 基于認知心理學理論的數學概念教學分析[J]. 廣東技術師范學院學報，2006（04）：102-104.

[2] 王名揚，徐瀝泉，徐利治. 論一種緣自認知心理學及教育學研究的數學認知過程[J]. 數學教育學報，2013，22（01）：33-36.

[3] 唐劍嵐. 概念多元表征的教學設計對概念學習的影響[J]. 數學教育學報，2010，19（02）：28-33.

[4] 曾玖紅. 從認知心理學角度論微分概念的教學[J]. 數學教育學報，2012，21（04）：76-78.

[5] 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書：數學必修第一冊[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[6] 謝明初，朱新明. 認知心理學視角下的數學教育[J].數學教育學報，2007（01）：12-16.