數學解題思維受阻原因與應對措施的研究

徐小鋒

[摘 ?要] 文章從學生解決一道例題時思維受阻的實際情況出發，認為高三階段學生在解決綜合型問題時常見的思維受阻情況有“基礎知識不牢固，解題方向不清”“解題方法不完善，解題過程混亂”“解題思路無條理，解題過程煩瑣”等，并從“轉化已知條件”“變更問題形式”“調整解題思路”三方面提出應對措施.

[關鍵詞] 思維受阻;解題;思路;思維

新課標強調高中數學教學應注重培養學生幾何直觀、分析概括、數學運算以及邏輯推理等能力，使學生能用所學知識解決實際問題. 這要求教師在綜合復習教學中找出學生思維受阻的節點，幫助學生厘清頭緒，避免解題過程中思維受阻.

問題掃描

人腦在獲取知識的過程中能形成技能，在知識的實際應用中能激活思維，形成良好的思維方式與處理問題的能力. 因此，真正意義上的數學教學是學生獲取知識、積累經驗、形成基本技能與能力的過程. 但實際教學過程中，學生常因某一環節的疏忽，導致思維受阻，出現了各種問題. 教師以一道題為例，掃描學生思維受阻的情況，如下：

問題：若方程2x+x+2=0與logx+x+2=0的根分別為p，q，且函數f（x）=（x+p）（x+q）+2，求f（0），f（1），f（2）的大小關系.

本題難度系數并不大，但學生的解題情況不容樂觀：班上48名學生參與解題，其中有29人出現了解題錯誤. 經過與學生溝通交流，發現他們出現解題錯誤的主要原因有以下幾種：

第一種，沒有完全理解求解方程根的方法.有些學生從函數g（x）=2x+x+2與函數h（x）=logx+x+2著手，通過求導、作圖求函數的零點. 事實證明，從函數g（x），h（x）的零點出發，基于圖象進行分析，并不能解決本題.

第二種，沒有完全理解函數的性質. 有些學生在解題過程中，分別作出函數y=2x，y=-x-2與y=logx的圖象后，卻無法厘清函數y=2x，y=logx圖象之間的關系，因而無法獲得方程根的關系.

第三種，沒有完全理解圖象的對稱性. 有些學生沒有發現函數y=2x與y=logx的圖象關于直線y=x對稱的關系，也沒有理解x=1是二次函數f（x）=（x+p）（x+q）+2的對稱軸，從而導致解題思維受阻.

第四種，無法靈活應用二次函數圖象以及指數函數、對數函數的性質等，也無法從函數值大小以及函數圖象的角度對函數進行轉化，對函數圖象的對稱性、單調性的理解不透徹.

綜上所述，學生對于問題無法做到認真思考與分析，更沒有形成縱橫聯系與互相轉化的習慣，當遇到實際的綜合型問題時，解題思維自然受阻.

思維受阻原因的分析

1. 基礎知識不牢固，解題方向不清

高三復習過程中遇到的一些綜合型問題往往由多個基礎的數學概念組合而來，學生只有對各個概念的內涵及外延有清晰的認識，才能輕松找出解題方向，獲得解題思路與方法. 但有些概念由于學習時間久遠，學生難免出現遺忘或概念不清的情況，當遇到實際問題時，對已知條件轉化途徑會產生方向不清晰的狀態. 主要表現在不知道如何建立條件與結論的聯系，也不知道該將條件往哪個方面進行轉化.

例1 已知△ABC中，·=9，·=-16，那么AB邊的長是多少？

如果學生不了解向量積的表現形式具有互相轉化的功能，那么本題求解將困難重重. 學生可從向量數量積的不同表示方法著手進行分析，解題思路如下.

方向1 從向量數量積的定義著手進行分析.

因為·=9，∠A為向量與的夾角，所以AB·AC·cosA=9. 結合余弦定理，可得=9. 同理，結合余弦定理，由·=-16可得=16. 上述兩式相加即可獲得AB邊的長.

方向2 用基底向量，表示所研究的向量.

因為·=-16，所以·（-）=-16，即·-2=-16，由此可得AB邊的長.

方向3 從向量數量積的幾何意義著手進行分析.

∠A為向量與的夾角，根據·=9>0這個條件，可知∠A為銳角，同理可知∠B為銳角. 如圖1所示，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則AB·AD=9，BD·AB=16，由此可得AB邊的長.

點撥 如果學生對向量的符號、圖形與坐標缺乏認識與理解，那么無法從這三種語言出發進行向量問題的思考與解決. 基于向量的基本概念，最常見的問題設計與解決思路有：①選擇合適的基底，從向量符號出發，研究相關的數量積、夾角、模型等;②構造向量圖形，從向量的幾何意義著手進行探究，以“形”助解;③建立坐標系，將向量問題用坐標語言表達出來，從實數運算的角度解決問題.

2. 解題方法不完善，解題過程混亂

眾所周知，問題是數學思維形成的核心，是發展學生數學核心素養的基礎. 問題的解決需要學習者在數學模式識別與學習的基礎上，對一些數學元素的性質或關系做出合理解釋，這也是基本解題方法形成的過程. 若學生在數學基本方法的積累或記憶上出現偏差、遺漏或不完善的現象，則會導致解題思維受阻.

例2 假設集合A={xx2+4x=0，x∈R}，集合B={x

x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，且B?A，則實數a的取值范圍是什么？

根據B?A這個條件，學生容易獲知集合B中的所有元素均在集合A里，由A={-4，0}可得-4與0為方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的根，那么a的值就是1，-1，7.

若學生無法厘清集合內容或集合間的關系，則在解題過程中會出現思維受阻的現象. 為了避免思維受阻這種現象的出現，需要教師帶領學生從以下兩個方面進行思考，以達到完善認知結構的教學目的.

解法1 先解方程x2+4x=0，可得x=0或-4，可知A={-4，0};再解方程x2+2（a+1）x+a2-1=0，從方程是否有解的角度進行思考與分析：

Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=8a+8.

當Δ<0時，可知a<-1，此時方程無解，B= ，與本題條件相符.

當Δ=0時，可知a=-1，方程為x2=0，解得x=0，此時B={0}，B?A.

當Δ>0時，可知a>-1，方程存在兩個根分別為x，x，因此B={x，x}. 根據B?A，可知{x，x}?{-4，0}，所以方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的兩根分別是-4和0. 列方程組-2（a+1）=-4，

a2-1=0，解得a=1.

綜上分析，可確定a=1或a≤-1.

解法2 根據題設條件，可直接確定集合A中的元素，因為集合B中的方程x2+2（a+1）x+a2-1=0含有參數a，可知集合B中的元素比較繁雜.

從另外一個角度來分析，根據B?A以及子集的定義，可知B為 ，{0}，{-4}，{-4，0}，于是從這四種情況進行分析：

①當B= 時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0無解，因此Δ<0，可得a< -1;

②當B={-4}時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個相同的根，此時-2（a+1）=-8，a2-1=16，不存在解;

③在B={0}時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個相同的根，此時-2（a+1）=0，a2-1=0，可解得a=-1;

④在B={-4，0}時，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個根，分別為-4與0，此時-2（a+1）=-4，a2-1=0，解得a=1.

綜上分析，可確定a=1或a≤-1.

點撥 遇到集合問題時，首先要從集合的屬性出發，弄清集合中究竟存在哪些元素;其次要搞清楚兩個集合之間的關系. 本題需要確定集合A中的元素為集合B中方程的根，且集合A中方程的系數是明確的數，因此能夠直接獲得待求方程的根是多少.

于集合B而言，因為方程系數含有參數，所以需要從不同的角度來分析問題：①從集合B著手解方程，根據方程系數含有參數的條件，需要對判別式分類討論;②從B?A以及子集的定義出發，確定集合A={0，-4}存在四個子集，也就是集合B分別為 ，{0}，{-4}，{-4，0}，再依次求出實數a的取值范圍.

如果將一元二次方程轉化成一元二次不等式，也可以從以上兩個角度出發，將問題轉化為一元二次函數最值問題或一元二次方程根分布問題而破解. 將問題條件進行科學、合理的轉化，是一種重要的解題思路，在復習過程中要注重歸納與積累.

3. 解題思路無條理，解題過程煩瑣

數學解題講究七分構思與三分表達，構思指讀題、審題、聯想與歸納等，表達主要包含書寫、運算、反思與回顧等. 數學學習涵蓋了思考過程與問題結果的思考，需要注重規范表達與書寫. 但有些學生在解題過程中，因缺乏良好的讀題、審題以及規范表達的習慣，導致解題思路毫無條理可言，出現解題過程異常煩瑣的現象.

例3 已知S是等差數列{a}的前n項和，假設S=q，S=p（p≠q，p，q∈N*），則S的值是多少？

因教育方式的區別，學生的思維習慣存在較大差異，一些學生不善于從問題中尋找有用的條件，也不習慣將問題的條件與待求結論建立聯系，從而導致解題思路缺乏條理，解題過程過于煩瑣. 本題可從以下三個方面著手進行分析.

解法1 從基本量著手.

將

pa

+d=q，

qa

+d=p進行等價轉化，獲得

a

+

d=，

a

+

d=，然后解出a與d的值，最后求出Sp+q.

解法2 從基本量著手.

列方程組

pa+

d=q，

qa

+d=p，兩式相減，可消除p-q，獲得a+d= -1，求得S=-（p+q）.

解法3 從其性質著手.

因為

=q，

=p，所以

a

+a=

，

a

+a

=，兩式相減，獲得公差d，根據式子a+a=a+a+q·d，可得S的值.

解法4 從圖形著手.

已知點（n，S）位于S=A·n2+B·n上，根據S=q，S=p這個條件，可分別求得A，B，從而求得S的值.

點撥 關于數列運算的問題，可從以下三個方面著手進行思考：①根據數列概念、等差或等比數列的定義、數列的函數特性實施轉化;②根據數列的基本量求其通項或前n項和，轉化成關于方程的運算方式;③根據數列的性質進行運算.

本題緊扣等差數列前n項和S的形式分析以下三種情況：①從基本量出發，可表示為S=na+d;②從性質角度來看，可表示為S=;③從圖形來看，可表示為S=A·n2+B·n

A=，B=a-

. 應用Sn這三種形式，均能直接解決本題.

培養學生思維的條理性離不開教師在教學中的有機滲透，因此教師應注重引導學生探索解題思路，思考這樣做的依據是什么，解題途徑有什么;當思維受阻時，該怎樣遷移知識、簡化難度等.

解決思維受阻的主要策略

1. 轉化已知條件

概念、定理、公式等是實施數學思考的原點，學生只有理解概念的內涵與外延，對公式的來龍去脈以及結構特征了如指掌，才能在解題時以不變應萬變. 如審題過程中，可根據題設條件思考如何將已知條件轉化成更容易理解的形式，那么轉化依據是什么呢？概念轉化可從文字、符號與圖形三類語言出發，公式的轉化則需考慮計算的便捷性等.

例4 已知S是等差數列{a}的前n項和，且不等式a+≥ma對任意正整數n以及任意等差數列{a}均成立，求實數m的取值范圍.

分析 把式子S=代入a+≥ma后，原不等式轉化成了a+≥ma. 分離變量后，又將不等式轉化成了

+

1+

≥m. 令t=，原問題就轉化成了二次函數最值問題，此時可快速求出實數m的取值范圍.

點撥 解決本題時，思維的障礙點在于題設條件中存在多個變量，學生對于處理變量間的關系感到棘手. 因此，教師可引導學生從等差數列前n項和的公式出發，把多元不等式轉化成二元不等式，簡化問題難度.

2. 變更問題形式

當遇到難以探尋解決方法的問題時，可從某些模型或結論著手，通過綜合性分析與設計，變更問題形式，為求解提供便捷.

例5 已知實數x，y滿足2x2+xy-y2=1，求的最大值.

已知式子2x2+xy-y2=1和待求式子均為關于x，y的二次式，但其形式偏復雜，而且兩個式子的關系也不太明顯. 因此，從基本不等式概念出發，將已知式子和待求式子分別變形，轉化成和與積的關系，具體可從以下兩個方面著手進行分析.

分析1 先把已知式子分解成（2x-y）（x+y）=1，然后換元，設2x-y=a，x+y=b，可得x，y，再轉化a·b=1，最后求式子的最大值.

分析2 由于待求式子的分子是一次式，于是可通過換元，設x-2y=t，則x=t+2y，將待求式子和已知式子都轉化成t，y的關系式后求解.

3. 調整解題思路

數學教學想要促進學生思維的發展，就要不斷地提出問題，引導學生分析并解決問題. 在教學中，教師可設計一些科學合理的“問題串”，讓學生的思維順著問題拾級而上. 若遇到思維受阻，可根據函數圖象，式、量的幾何意義，以及方程曲線等及時調整解題思路.

例6 倘若函數f（x）=xex-asinxcosx（a∈R，e是自然對數的底數）. 如果對于任意x∈0

，，f（x）≥0均成立，則實數a的取值范圍是什么？

分析 若直接求導f（x），并不能確定導函數f′（x）的零點，也無法獲得函數f（x）的最小值，無法求出實數a的取值范圍.

當x∈

0，

時，將f（x）≥0轉化成≥a，對求導，但無法求出其對應導函數的零點，因此無法明確的最小值.

此時需要換個角度進行思考，當x∈0

，，a≤0時，xex≥0恒成立，-asinxcosx≥0也恒成立，因此僅需考慮a>0的情況. 分別獲取xex，asinxcosx于x=0處的導數值，可猜想a≤1. 對函數f（x）求導，可得f′（x）=ex-acos2x+xex于0

，上單調遞增，從而獲得a≤1.

總之，想要提高學生的解題能力，就須在教學過程中有意識地培養學生思維的條理性，引導學生夯實知識基礎的同時，注重解題思路與方法的積累. 只有弄清知識的來龍去脈，學生才能在豐富多變的綜合題中以不變應萬變，形成良好的解題能力與數學核心素養.