鐘面上時針與分針關于整點對稱的探究

蔡少毅

[摘 ?要] 文章受原有的時針與分針的夾角公式的啟發(fā)，推導出鐘面上時針與分針關于整點對稱的一般求解公式，并舉例應用和比較.

[關鍵詞] 分針;時針;整點;對稱;夾角

問題提出

鐘面問題中指針的角度運算是中學數(shù)學課程中的難點，近年來不少學者致力于對其進行探究（參見文[1-5]）. 公務員考試的行測題常常提出鐘面問題，例如，“當5點剛過多少分時，時針與分針離‘5’的距離相等，并且在‘5’的兩邊？”等等. 這就是鐘面上時針與分針關于整點對稱的問題. 這樣的問題最常見，但只能解決時針所指時間點與其對應的整點相一致（即時針位于其整點刻度線之前且夾角小于30度）的情形. 文[1]和文[2]給出了指針與對稱軸（整點刻度線）的夾角為任意角的對稱問題的例子，但文[1]和文[2]的例子比較特殊——文[1]中的對稱軸是鉛垂線（即“12”與“6”的連線），文[2]中的對稱軸是水平線（即“3”與“9”的連線），解題中充分利用這些特殊情況，各自給出了利用夾角公式或建立方程式求解的不同方案. 本文受文[1]中的時針與分針的夾角公式的啟發(fā)，得出鐘面上時針與分針關于整點對稱的一般求解公式，可以運用它解決包括文[1]和文[2]提出的任何時針與分針關于整點對稱的問題，并進行了比較.

在鐘面上，時間的整點刻度把鐘面分成12等分，每等分為30度，時針與分針同時做旋轉運動.每小時分針轉過一圈為360度，時針轉過十二分之一圈為30度，因此時針與分針的轉速比為1∶12. 本文把時間h點m分記為h：m，并且規(guī)定：當m<0時，h：m=（h-1）：（m+60）;當m≥60時，h：m=（h+1）：（m-60）.

先介紹文[1]中的夾角公式：

公式1 設時間h：m時，分針相對于時針的夾角為θ度，則

30h-5.5m=θ ①

該公式可改寫為

30h-5.5m=±θ ②

注：當時針指向鐘面的刻度大于分針指向鐘面的刻度時取“+”，否則取“-”

例1 當5點剛過多少分時，時針與分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊？

解 當5點剛過時，時針指向鐘面的刻度大于分針指向鐘面的刻度，設兩針的夾角為θ度，則處于對稱位置的時針與5整點的刻度線的夾角為度. 又知每2分時針旋轉1度，則m=2

=θ，把m=θ及h=5代入式②，得30×5-5.5m=m. 即m==23（分）.

答 當5點剛過23分時，時針與分針離“5”的距離相等，并且在“5”的兩邊.

時針與分針的對稱公式

本文進一步探究時針與分針關于任意整點對稱的問題，給出求解公式.

公式2 當時間為h：m時，時針與分針關于l（l=0，1，2，…，11）整點的刻度線對稱，則h和m滿足

m=（h=0，1，2，3，…，12） ?③

證明 設l整點對應的刻度線為l，h整點對應的刻度線為h. 時針與分針關于l對稱的時間是h：m，如果以h整點起（這時時針與h重合，分針與0或12整點對應的刻度線重合），兩針同時旋轉至各自的對稱位置止. 此時，假設時針旋轉θ度，而對于分針旋轉的角度，就分針與時針相對位置的兩種情況進行探討：

（1）當時針位于分針之前. h與l的夾角為30（h-l）度，從而處于對稱位置的時針與l的夾角為30（h-l）+θ度，由對稱關系可得，處于對稱位置的分針與l的夾角為-30（h-l）-θ度，又分針從0或12整點對應的刻度線旋轉至l時共30l度，因此分針從0或12整點對應刻度線旋轉至其對稱位置時共-30（h-l）-θ+30l度，即30（2l-h）-θ度.

（2）當時針位于分針之后. h與l的夾角為30（l-h）度，從而處于對稱位置的時針與l的夾角為θ-30（l-h）度，由對稱關系可得，處于對稱位置的分針與l的夾角為30（l-h）-θ度，又分針從0或12整點對應的刻度線旋轉至l時共30l度，因此分針從0或12整點對應的刻度線旋轉至其對稱位置時共30（l-h）-θ+30l度，即30（2l-h）-θ度.

綜上所述，不論分針與時針前后的相對位置如何都有：當時針與分針以h整點起，同時旋轉至各自的對稱位置時止，時針旋轉θ度，分針旋轉30（2l-h）-θ度. 由于時針與分針旋轉的速度比為1∶12，則=?θ=.又知每2分時針旋轉1度，即m=2θ，則公式2成立.

應用舉例

例1另解：把l=5，h=5代入公式2，得m==23（分）.

例2 李警官在晚上7點多回家，看到馬路上發(fā)生了一起車禍，下意識看了下手表，發(fā)現(xiàn)分針與時針剛好關于8點“對稱”. 處理完事故已經(jīng)10點多，又看了下手表，分針與時針又剛好關于7點“對稱”. 請問車禍發(fā)生的具體時間是多少？李警官花了多長時間處理車禍事故？

解 把l=8，h=7代入公式2，得m==41. 車禍發(fā)生的具體時間為7：41.

把l=7，h=10代入公式2，得m==18. 處理完事故的時間為10：18.

由于9-7=2，60+18-41=36，所以李警官花了2時36分處理完事故.

例3[2] 早晨7點到晚上7點的12個小時內(nèi)，（1）鐘面上時針與分針第一次關于水平線（“3”與“9”的連線）對稱是幾點幾分？（2）時針與分針有幾次關于水平線對稱？

解 （1）把l=9，h=7代入公式2，得m==50，即鐘面上時針與分針第一次關于水平線對稱的時間是7：50.

（2）把l=9，h=0，1，2，3，…，12分別代入公式2，則時針與分針有13次關于水平線對稱，其時間依次為1：23，2：18，3：13，4：9，5：4，6：00， 6：55，7：50， 8：46，9：41， 10：36，11：32，12：27.

文[2]對問題（2）的解答并沒有給出時針與分針13次關于水平線對稱的具體時間，本文的上述解答可作為其補充.

由公式2可知，求關于位于鐘面同一條中心直線兩個整點中的任何一個整點對稱，得到的結果均相同.本文用文[1]的例8來加以說明：

例4[1] 有一天課間休息時，小明看了一下墻上的掛鐘，時間是9點多，他發(fā)現(xiàn)時針與分針正好處在關于鉛垂線對稱位置，則此時是9點幾分？

解 由于鐘面的鉛垂線是0或12整點和6整點所處的中心直線，所以分別求9點多時時針與分針關于l=0，l=12或l=6整點的刻度線對稱.

①把l=0，h=10代入公式2，得m==-46，得10：-46.

②把l=12，h=8代入公式2，得m==73，得8：73.

③把l=6，h=9代入公式2，得m==13，得9：13.

對于10：-46和8：73，換算后結果均為9：13，即9點13分.

本文通過對若干文獻關于鐘面問題的探究，推導出了鐘面問題中時針與分針關于整點對稱的一般求解公式，通過舉例應用以及與其他方法的比較，可見本文提出的公式更簡單易記，求解更方便簡潔.

參考文獻：

[1] 王耀德. 鐘面角的計算[J]. 數(shù)學教學通訊，2005（S7）：89-90.

[2] 沈建新. 鐘表問題的分類和解決策略[J]. 數(shù)理天地（初中版），2020（10）：32-34.

[3] 謝宇靈. 鐘面上的數(shù)學問題解法[J]. 福建中學數(shù)學，2021（03）：45-46.

[4] 潘秀亮. 在課題學習中滲透數(shù)學核心素養(yǎng)——以“鐘面上的秘密”為例[J]. 福建中學數(shù)學，2022（03）：26-27.

[5] 趙生初. 應用比及比例的方法求解與時鐘快慢有關的問題舉例[J]. 中小學數(shù)學（初中版），2021（06）：18-20.