題組變換做“加法”，問題解決做“減法”

徐羽 萬妍青

［摘? 要］ 教師在日常教學中要善于引導學生在解決復雜幾何問題時，加強對基本圖形變化本質的理解，注重培養學生的邏輯推理和直觀想象能力，能從同類型問題中總結出基本模型并加以運用.文章以“正方形背景下的幾何證明”為例，通過抓住同類型問題的本質特點，通過題組變式，并加以歸納推廣，從而助力學生解決問題.

［關鍵詞］ 正方形；幾何證明；題組變換

對于幾何證明，學生容易產生畏懼心理，尤其當圖形復雜或條件繁多時，就會比較慌亂，沒有解題思路. 筆者曾對本校學生進行過《優化問題設計對提升專題復習效率》的問卷調查，學生對于幾何證明感覺難以解決的原因如圖1：

通過分析，可以發現幾何證明常涉及四邊形與相似三角形、全等三角形的綜合，圖形比較復雜，對于學生的識圖、研圖、解圖能力要求較高；同時有些題型涉及輔助線的添加，對于學生綜合分析、應用能力的要求更高. 由于學生在幾何證明中，沒有歸納常見的數學模型，沒有積累常見的基本解題方法，故只要題目稍加變式，就會變得一籌莫展.

鑒于此，在日常教學中，教師需要將一些典型證明題以題組的形式進行呈現，對題組做“加法”，即抽象基本模型（如A型、X型、子母三角形等），規范基本解法（如利用比例線段、銳角三角比、構造全等或相似等），力求一題多解或多題一解，當對一道例題進行完整的剖析，自然能培養學生化難為易、舉一反三的能力. 當學生面對類似背景時，就能夠很自然地抽絲剝繭、化繁為簡，在問題解決的時候做“減法”，最終掌握解決此類問題的通識通法. 筆者以“正方形背景下的幾何證明”為例進行闡述.

問題背景

例題? 如圖2，已知正方形ABCD，點M是邊AB的中點，連結CM. 若點G在線段CM上，且∠AGB=90°，延長AG，BG分別與邊BC，CD相交于點E，F.

求證：（1）BE=CF；（2）BE 2=BC·CE.

例題分析

1. 識圖，尋找邊、角數量關系

在識圖階段，學生應該將條件中的文字語言和圖形語言建立有機聯系，抓住關鍵文字、幾何關系，并迅速在腦海中建立其對應的基本圖形，以及聯想該圖形特有的性質、結論，為最終獲得結論奠定基礎.

2. 研圖：建立已知、未知間的橋梁

在識圖環節，學生已經發現圖形中邊、角的數量關系，并將文字語言和圖形語言轉化為符號語言. 那么在研圖環節，學生需要做的就是通過整合這些數量關系，從而通過新的隱性結論探索與未知結論的聯系，找到問題解決的方案.

例題中第（1）問比較簡單，結論需要證明BE=CF，而BE和CF位于兩個全等的三角形中，因此通過“全等三角形對應邊相等”即可得到結論. 利用正方形的性質以及結論②即可得到△ABE≌△BCF（ASA），繼而得到BE=CF.

例題中第（2）問的結論BE2=BC·CE是一個等積式. 如圖3，借助目標分析法，我們發現對于等積式的證明往往有以下兩種方法：找到一組相似三角形，其對應邊成比例；在A型或X型的基本圖形中，尋找線段間的比例關系.

方法1：尋找子母三角形，根據相似三角形對應邊成比例建立等量關系.

由結論①和結論②得△CGE∽△CBG，得到 CG2=BC·CE，由結論③和結論④得CF=CG，第（1）問中已經求得CF=BE，等量代換得到BE 2=BC·CE.

方法2：構造平行線，依據A型或X型的基本圖形構造比例關系.

解法1：如圖4，延長DC，AE交于點N. 由CD∥AB，得=，==，得CF=CN=BE，即得到=，即BE 2=BC·CE.

解法2：如圖5，過點M作MN∥BC交AE于N，由MN∥BC，M為AB中點，得BE=2MN. 由MN∥BC，CF∥AB，得==，即=，BE 2=BC·CE.

3. 解圖：積累基本模型，梳理基本方法

通過識圖、研圖的環節，雖然將一道題目順利解決，但是如果就此畫上句號，那么對部分學生而言還是停留在“就題論題”的層面，對于典型的例題，我們還需要做“加法”，進行追問：如何聯想到尋找子母三角形？輔助線的添加還有其他情況嗎？圖中的哪些基本圖形是解決問題的關鍵呢？正如著名數學教育家波利亞所說：“解題的價值不是答案本身，而是在于弄清‘怎樣想到這個解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的？”

問題（2）中BE 2=BC·CE中BE是BC和CE的比例中項，若從“相似三角形對應邊成比例”思考，則BE應為子母三角形的公共邊，而BE，BC，CE在一條直線上，因此尋找與BE相等的線段，將CG進行代換，利用△CGE∽△CBG，最終解決問題. 若從“平行線間對應線段成比例”思考，除了上述兩種構造方法，有些學生還構造了圖6的輔助線. 通過嘗試，發現圖6的三種輔助線都不能得到最終的結論，由于E是線段的分割點，M是線段的中點，故構造的基本圖形必須同時涵蓋這兩個關鍵點. 圖6的輔助線都只能得到相關的一組比例關系，因此無法得到最終的結論.

梳理整個解題過程，圖7是例題中涉及的基本圖形，而積累常見的基本圖形和基本方法是將問題化繁為簡的重要手段. 通過從復雜圖形中剝離基本圖形，可以將復雜問題變成一個個可以解決的小問題，通過串聯小問題，達到解決問題的目的.

題組變式

題組變式是促進學生深度學習，提升學生高階思維的有效方式. 瑞斯尼克深刻地指出：高階思維具有不規則性和復雜性，能夠產生多種解決方法，需要多種應用標準，學生能夠自動調節，且包含不確定性. 而題組變式的目的就是通過對問題進行加工、補充、完善，使問題更具靈活性，從而提升學生的思維品質，培養學生的高階思維.

1. 對調條件和結論

變式1? 如圖2，已知正方形ABCD，點M是邊AB的中點，連結CM. 若在邊BC上取一點E，滿足BE 2=BC·CE，連結AE交CM于點G，交DC延長線于點N，連結BG并延長交邊CD于點F.

求證：∠AGB=90°.

解法分析：盡管題目的結論和條件發生改變，但是問題的解決路徑還是一致的，問題的突破點還是在于如何轉化“BE 2=BC·CE”. 由于“∠AGB=90°”由已知條件變為所求結論，故尋找子母三角形的方法就行不通了. 但是構造平行線，利用比例線段求解的方法還是可行的，通過比例關系得到BE=CF，再證明△ABE≌△BCF（SAS），得到∠A=∠CBG ，最終求得∠AGB=90°. 這樣的解題過程在潛移默化中培養了學生的逆向思維.

2. 改變考查形式

變式2? 如圖2，已知正方形ABCD，點M是邊AB的中點，連結CM. 若在邊BC上取一點E，滿足BE 2=BC·CE，連結AE交CM于點G，交DC延長線于點N，連結BG并延長交邊CD于點F.

求：tan∠CBF的值.

解法分析：由于題目中未出現線段的長度或明顯的數量關系，故對求具體的三角比產生了不小的難度. 由“BE 2=BC·CE”，得E是BC的黃金分割點，=通過變式1的探索得到BE=CF，繼而得到tan∠CBF==. 黃金分割比的融入在一定程度上體現了知識點的糅合，培養了學生的發散思維.

3. 改變元素關聯

變式3? 如圖8，已知正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD，BC于點E，F，作BH⊥AF，垂足為H，BH的延長線分別交AC，CD于點G，P.

求證：（1）AE=BG；（2）GO·AG=CG·AO.

解法分析：本題是一個新的背景，但是可以發現的是圖形中還是存在著子母三角形、X型基本圖形. 在第（1）問中，解決方法還是圍繞著利用全等三角形證明線段相等；在（2）問中，解決方法還是通過利用相似三角形、平行線間的比例線段證明線段間的比例關系. 不僅如此，本題還可以利用tan∠OBG=tan∠CBP來解決，由此產生了全新的解題思路. 這無疑提升了學生的類比、聯想能力，拓展了學生的思維寬度.

以上三道問題通過從不同的角度進行變式，提升了學生不同維度的思維能力. 對題組進行變式，也是學生對知識再發現、再創造、再認識的過程. 在分析例題時，教師已充分挖掘題目內涵、總結通識通法、積累基本模型，這樣做“加法”的過程幫助學生建構了系統化的知識網絡，發展了深度化的高階思維. 因此，當學生再遇到類似問題時，只需要做“減法”，剔除多余線段，抽象基本圖形，利用相關結論，化未知為已知，問題便可解決.

教學建議

1. 應倡導“以題會類”而非“以題見類”

教師若采用“就題論題”的傳統練習題教學模式，缺乏對知識本質的挖掘和方法的歸納，則只能起到“蜻蜓點水”之效. 雖然學生見識了多種類型，但遇到具體問題時該如何處理，恐怕只能取決于學生的自悟能力或平時量的積累所形成的“條件反射”. 因此，學生在面對復雜的幾何證明時，往往顯得手忙腳亂. 其實，若教師對每類問題逐一舉例剖析，并適當地進行題組變式，則一定能把培養學生“以題會類”的遷移能力落到實處.

2. 應強調“基本方法”而非“劍走偏鋒”

相對于代數問題，學生認為幾何問題更難把控，一旦沒有思路，整道題就只能被束之高閣了. 其實幾何題的難度很大程度上由圖形的復雜程度決定，而一個復雜的幾何圖形往往由多個基本圖形組合而成. 如果學生已熟練掌握基本圖形，他們在解題時就能對復雜問題進行拆分，做到化繁為簡. 在幾何教學時，教師只有引導學生積累基本圖形、基本解決方法，注重題組變式，才能幫助學生實現從量變到質變的飛躍.

3. 應突出“學法指導”而非“實戰演練”

解題方法是教學內容的精髓，是數學教學的靈魂，它滲透于數學教學的各個環節及問題解答過程. 專題復習的意義不在于檢測學生的課堂解題能力，而在于解題方法的傳授與思維方式的完善，著力點是引導學生學會“怎樣轉化”和“如何類化”. 因此，借助“目標分析”和“知識溯源”把思路生成的隨機性轉化為分析的必然性，妙用“本題屬于什么類型”和“同一類型還可以怎么做”來引導學生進行遷移性的深度思考，必然能完善學生的思維方式. 由此可見，學生只有在題組分解、變換時做“加法”，才能最終在解決問題時做“減法”，從而全面提升分析問題能力，發展數學高階思維.