利用通俗教法，發展數學思維

朱俊杰

［摘? 要］ 通俗教法是指利用與學生生活或認知經驗相貼近的情境，引導學生更快、更好地達成學習目標的一種教學方式. 這種方法能讓學生在通俗易懂的情境中，激發學習興趣、獲得知識與技能、發展數學思維. 文章從培養學生反證法的邏輯思維、符號意識與換角度思考問題三方面，具體展開闡述.

［關鍵詞］ 數學思維；教學方法；通俗教法

數學是思維的體操. 數學思維對學生的學習具有舉足輕重的影響，一個充滿學習動力的學生，具有積極、主動的數學思維［1］. 實踐發現，創設合適的情境，用通俗易懂的教學方式進行教學引導，常常能達到較好的教學效果. 為此，本文結合筆者教學中的幾個真實案例，對利用通俗教法，發展學生的數學思維談幾點拙見.

反證法的邏輯思維

牛頓曾經提出，反證法是最精當的數學武器. 這是一種從邏輯學定律中提煉出來，從事物的反面，對問題進行證明的基本方法. 從理論上來看，這種方法具有高抽象性，初中學生很難從本質上理解并熟練應用. 盡管有些學生在學習過程中，通過模仿能順利地寫出反證法證明問題的基本過程，但很少有學生能從真正意義上理解反證法所蘊含的實際意義.

于初中生而言，不僅僅要掌握反證法的基本形式，還要明確這種證明方法的邏輯實質. 這就給教學帶來了難度，究竟該如何通俗易懂地設計教學，才能讓學生從本源上掌握這種方法呢？執教過程中，筆者經過幾輪嘗試，在以下教學活動中獲得了較好的成效.

案例1? “三角形內角和”的教學

課前，教師準備了三頂不同顏色的帽子，指定三名學生到講臺上來，給他們分別戴上一頂帽子（戴帽時閉眼，戴完睜眼），要求學生說說自己所戴的帽子是什么顏色.

生1：我戴的是一頂黑色的帽子.

師：你是根據什么來判斷自己所戴帽子顏色的？

生1：我看到你拿進來三頂帽子的顏色分別為黑、黃、紅，其他兩位同學頭上現在分別戴了黃、紅兩種顏色的帽子，那我頭上的帽子必然為黑色了.

師：非常好！在座的各位同學，若你是這位戴黑色帽子的學生，會采取怎樣的推理方式呢？

生2：想要證明我戴的帽子是黑色的，只要證明我不可能戴著黃色或紅色帽子就行. 如紅、黃帽子都只有一頂，旁邊兩位同學已經戴在頭上了，那么我戴的帽子必然不可能是這兩種顏色，由此可確定我戴的帽子是黑色的.

生3：如果我頭上戴了一頂紅色的帽子，但我旁邊這位同學也戴著一頂紅色的帽子，豈不是出現了兩頂紅色帽子？顯然這是不現實的. 同理，如果我頭上是一頂黃色帽子，就出現了兩頂黃色帽子，這也是不現實的. 而老師一共就帶來了三種顏色的帽子，排除紅、黃兩色，剩下的只有黑色了.

師：非常好！邏輯很清晰. 分析這三位同學的推理過程，他們的思維存在怎樣的共性特征？

生4：這三位同學都沒有直接說自己戴了什么顏色的帽子，而是通過對別的同學所戴帽子的顏色進行分析，獲得自己所戴帽子的顏色.

生5：他們三個人都是從事情的反面來說明理由的.

師：說到點子上了，這里所說的“反面”是指什么？

生6：就是從與自己所戴帽子不同顏色的角度來分析問題.

師：為什么不直接說自己戴了什么顏色的帽子，而要從別人所戴帽子的顏色來分析呢？

生7：因為看不見自己所戴帽子的顏色，只能從別人所戴帽子的顏色來推導自己所戴帽子的顏色.

師：很好，這就是我們生活情境背后所蘊藏著的一種數學邏輯——反證法. 現在我們一起來看下面這道題.

例? 求證：三角形的三個角中，不可能同時有兩個鈍角存在.

生8：這個題目貌似和之前做的證明題不太一樣.

師：哦？哪里不一樣？

生8：一般證明題中沒有否定詞，總覺得怪怪的.

生9：是不是和戴帽子的問題差不多，從問題的反面去思考？

師：確實，遇到證明題中出現否定詞時，我們可以嘗試從命題的反面去求證.

生10：那么本題就可以這么考慮，三角形中存在兩個鈍角，這是不可能存在的一個命題.

師：為什么不可能？

生10：一個三角形中若存在兩個鈍角，內角和就大于180°了，這與內角和定理不相符.

……

反證法的本質，隨著以上互動過程自然而然地形成. 在此基礎上，教師引導學生規范該命題的證明過程，讓學生對反證法形成一個系統的認識. 通俗易懂的戴帽子游戲與三角形內角和問題看似毫無關聯，卻有異曲同工之妙. 此過程將抽象的反證法轉化成學生主動參與的互動活動，使得學生能更加準確地理解并掌握這種數學方法的內涵.

培養符號思想

符號思想是學習數學的重要思想方法之一，它是指用符號化的語言來描述數學內容. 這種思想方法的應用，可以準確、清晰地將數學概念、思想、方法與邏輯關系等表達出來，避免表達過程繁雜、冗長與模糊不清等弊端.

案例2? “用字母表示數”的教學

用字母表示數是學生思維從具體到抽象的一次飛躍. 其實，在小學階段也碰到過類似問題，但沒有深入探究. 為了幫助學生形成良好的符號思想，筆者設計了以下教學過程.

用PPT展示：

招領啟事

今日課間操時，李敏同學在操場拾到人民幣x元，請遺失者到學校政教處認領.

政教處

2022年1月15日

師：觀察這則招領啟事，為什么要以x代替具體金額？

生1：為了防止有人冒領.

師：看來這里的x有一定的現實意義，那么我們一起來分析下，這個x是一個怎樣的數呢？

生2：整數.

生3：不夠準確，應該是正數，因為撿到的金額不可能為負數或0.

師：你們同意這種說法嗎？

（學生沉默）

師：拾到的金額大于0是不錯，那會不會是10.00001元呢？

生眾：當然不可能.

生4：我們目前流通的人民幣最小幣種為1分，最少應為0.01元，因此x的取值只能為正整數、正的一位或兩位小數.

師：不錯，這就要求我們在應用字母表示數時，要根據問題的實際情況來分析其取值范圍.

設計意圖? 招領啟事在學校常見，學生對這個生活情境異常熟悉，故易產生親近感. 以此作為教學素材，不僅能拉近學生與知識的距離，還能使學生對字母的取值范圍產生探究欲. 這對培養學生思維的嚴謹性、廣闊性與周密性具有重要作用，為學生更好地應用數學知識解決實際問題夯實基礎.

師：現在我們來換個話題（用PPT展示數青蛙的兒歌，一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……），你們能將這個兒歌轉化成簡潔的數學語言嗎？結合以上招領啟事來思考.

生5：可以這么轉化：x只青蛙x張嘴，2x只眼睛4x條腿.

師：非常好！那么此處的x取值是怎樣的？可以用其他字母表示青蛙數量嗎？

生6：x的取值是正整數，可以用a，b等其他字母表示.

設計意圖? 鼓勵學生自主地用字母表示數來表達生活實際，感知數學符號的用處與便捷，體驗由“特殊—一般—特殊”的數學思想.

師：若青蛙跳進了一個長a m，寬3 m的水池，求水池的周長.

生7：該水池的周長為2（a+3）m.

師：這里a的取值范圍是什么？

生8：a表示的是長方形的長，它可以是大于3的任意數.

生9：不對，誰說長方形的長必須大于寬的，a可為大于0的任意數.

師：非常好！確實，長方形的概念中并沒有限定長與寬的范圍. 現在，我們一起來觀察式子2（a+3），當a的值發生變化時，必然會引起結論的變化，這種變化關系在數學中非常重要，也是我們后期將要研究的重要內容之一. 其實，字母表示數的變化是將復雜的問題簡單化.

設計意圖? 此設計，讓學生感知“用字母表示數”實際應用的普遍性，當遇到解決實際問題時，能習慣性地想到用字母代替數，并關注到字母的取值范圍. 同時，變量觀念的滲透，為學生后期函數學習奠定基礎.

問題情境均源自學生所熟悉的生活，可有效地增強學生的學習動力. 同時，因為獲得了用字母表示數的符號思想，可讓學生更好地理解并領悟其中的內涵. 這種數學思想將貫穿學生的數學學習生涯，為他們后期更深入學習夯實基礎.

換個角度思考問題

數學是一門系統性的學科，具有較強的靈活性. 有時，從一個角度思考問題行不通，而換一種角度去分析與思考，極有可能就柳暗花明了. 換一種角度思考問題的思維方式源自哲學中的運動觀，展示的是思維的靈活性特征［2］.

教師常引導學生從一個新的角度去分析與思考問題，不僅能提高學生的解題能力，還能促進學生思維品質的提升. 為此，筆者在執教過程中，尤為注重對學生這方面能力的培養，收獲頗豐.

案例3? “勾股定理”的教學

用PPT展示：《司馬光砸缸》的故事

提問：司馬光在救人時，應用了什么策略？

生1：不斷嘗試新的方法，或許有一種方法能行.

生2：既然人無法離開缸里的水，那就讓缸里的水離開人，應該屬于一種逆向思維吧.

生3：司馬光所選擇的策略應該就是“水、人分離”的策略.

師：大家分析得都不錯. 的確，司馬光在救人的過程中，遇到無法將人救出水的情形時，就變化了一種思維方式，何不讓“水離開人”呢？思維方式轉變了，問題就迎刃而解了. 這個故事，帶給你們什么啟發？

生4：當用一種思路解決某個數學問題行不通時，可以換一種視角去分析與思考，切忌鉆牛角尖. 比如常用的逆向思維，就是一種不錯的解題方法.

師：太棒了！你總結得很到位. 下面我們就來著手解決以下問題：

已知荷塘里的蓮葉所覆蓋的面積第二天比第一天多1倍，若17天能鋪滿整個池塘，求鋪滿半個池塘需要幾天.

（學生沉思）

師：司馬光的故事，對你們是否有什么啟發？

生5：我知道了，從常規思維出發，解決本題確實有點難，但換個角度思考，第二天比第一天多1倍，豈不是倒數第二天就鋪滿半池？因此，本題的答案應該是16天.

師：很好！這就是數學獨有魅力所在，換個角度來思考，有可能讓問題變得簡單. 現在大家來做一個證明題：

已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，且c2=a2+b2，求證：該三角形是一個直角三角形.

顯然，這是證明勾股定理的一個逆命題，我們該怎么去證明呢？

師：結合以上兩個例子，大家思考一下，我們是否能直接解決這個問題？如果不能，該怎么辦呢？

生6：通過以上兩個例子，我明白當一條道行不通時，應換個角度去分析. 本題我們無法從直接證明的角度來說明這個三角形是一個直角三角形，但我們可以從特殊情況出發.

師：哦？說說你們的想法.

生7：假設一個三角形的三條邊分別為3、4、5，即52=32+42滿足本題條件，我們可以嘗試證明這個三角形是直角三角形.

師：太棒了！你們是怎么想到邊長為3、4、5的三角形的呢？

生8：在學習勾股定理時，我們對這個三角形已經非常熟悉了，遇到此題自然而然地就想到并畫出了這個三角形.

師：不錯，現在我們就以邊長為3，4，5的三角形為例，來證明這個三角形為直角三角形，即證明圖1中的∠C是一個直角.

設計意圖? 為了讓學生對勾股定理的一般形式有所了解，筆者選擇了一道逆命題供學生思考. 面對一個不能直接證明的一般性問題，是否可以試著從特殊問題著手呢？基于這樣的思考，學生選擇了用三條邊分別為3、4、5的三角形進行嘗試. 這樣的教學設計使學生學會從不同的角度去思考與分析問題，同時又符合從特殊到一般的基本規律，有效地促進了學生思維的發展.

此教學過程，教師先從學生熟悉的司馬光砸缸出發，引出生活中的荷塘問題，再過渡到勾股定理的逆定理的證明，看似毫無關聯的幾件事，卻蘊含相同的道理. 學生的思維隨著通俗的生活事物到抽象的數學證明，整個過程自然、豐富、流暢，學生的思維也隨之獲得發展.

總之，自然、通俗、樸實的教學過程，讓學生在情感上更容易接受，這對培養學生的數學思維具有深遠的影響［3］. 而學生的思維越靈活，對知識的掌握程度就越高，越容易實現知識的正遷移，為發展學生數學思維夯實了基礎.

參考文獻：

［1］鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程［M］. 上海：上海教育出版社，2009 .

［2］關成志. 數學思維概論［M］. 沈陽：遼寧教育出版社，1993.

［3］約翰·杜威. 我們怎樣思維·經驗與教育［M］. 北京：人民教育出版社，2005.