立足思維發(fā)展，促進(jìn)素養(yǎng)生成

余葉軍

［摘? 要］ 文章以“勾股定理”復(fù)習(xí)教學(xué)為例，探討發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效路徑，以幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成數(shù)形結(jié)合思想，在感受數(shù)學(xué)文化中，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)；初中數(shù)學(xué)

近日，筆者上了一節(jié)“勾股定理”復(fù)習(xí)課，著重講解了勾股定理的發(fā)展歷程，勾股定理的研究方法，勾股定理的證明，勾股定理的現(xiàn)實(shí)意義. 通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的博大精深，學(xué)習(xí)了幾何圖形的研究思路. 以下，筆者對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)一步梳理與改進(jìn)，整理成文，與同人切磋琢磨.

確立價(jià)值，明確方向

勾股定理源于生產(chǎn)生活，凝聚了勞動(dòng)人民的聰明與智慧. 我國(guó)和世界其他國(guó)家的學(xué)者對(duì)于勾股定理的證明層出不窮，在五百多種證明勾股定理的方法中，思路各異，精彩紛呈，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步.

由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，數(shù)的集合由有理數(shù)擴(kuò)展到了實(shí)數(shù)，推動(dòng)了開(kāi)方術(shù)、割圓術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展. 我國(guó)對(duì)勾股定理的研究更多的是關(guān)注勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的利用，如發(fā)明了勾股計(jì)算尺用來(lái)測(cè)量計(jì)算，從而有了勾股算法，這些理論都是運(yùn)用勾股進(jìn)行測(cè)量的基礎(chǔ).

勾股定理及其逆定理，為后續(xù)研究幾何圖形，學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ). 學(xué)生對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，應(yīng)超出對(duì)定理本身的理解與應(yīng)用，應(yīng)關(guān)注勾股定理背后的文化價(jià)值，讓學(xué)生在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中感受數(shù)學(xué)的人文氣息.

根據(jù)方向，確定目標(biāo)

一節(jié)有意義的數(shù)學(xué)課的標(biāo)準(zhǔn)是什么？應(yīng)給學(xué)生留下些什么？教師只有想清楚了這些問(wèn)題，才能知道這節(jié)課需要做什么，教學(xué)目標(biāo)也就隨之確定.

（1）知識(shí)目標(biāo)：勾股定理與其逆定理；勾股定理的應(yīng)用.

（2）技能目標(biāo)：掌握勾股定理的證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

（3）情感目標(biāo)：了解文化背景，感受數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.

把脈問(wèn)題，確定教學(xué)重難點(diǎn)

限于目前所學(xué)，學(xué)生研究幾何圖形的經(jīng)驗(yàn)比較少，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺少整體觀念與系統(tǒng)觀念. 因此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：理解幾何圖形的研究思路，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力.

教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)有關(guān)勾股定理的背景材料，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生情感，所以本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵在于展現(xiàn)有關(guān)勾股定理的歷史文化，從中找出有關(guān)勾股定理的育人元素；通過(guò)幾何圖形的面積關(guān)系證明勾股定理，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，落實(shí)教育部提出的“立德樹(shù)人”終極目標(biāo).

立足課堂，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1. 梳理勾股定理知識(shí)框架

師：對(duì)于勾股定理，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？請(qǐng)用知識(shí)框圖的形式予以說(shuō)明.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回答，復(fù)習(xí)有關(guān)勾股定理的內(nèi)容“直角三角形斜邊的平方”“等于兩直角邊的平方之和”“如果一個(gè)三角形的三邊存在一邊的平方等于另外兩邊平方之和，那么這個(gè)三角形是直角三角形”“已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理，可以求出最后一邊的長(zhǎng)”“畫(huà)長(zhǎng)度分別為、、、的線(xiàn)段，在實(shí)際問(wèn)題中求線(xiàn)段的長(zhǎng)”“勾股數(shù)，如3，4，5；6，8，10；5，12，13”等. 使學(xué)生形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題能力的提升. 由于學(xué)生對(duì)于勾股定理的發(fā)展歷程沒(méi)有一定的認(rèn)識(shí)，因此，需要教師進(jìn)一步引導(dǎo).

2. 尋找勾股定理的起源

師：我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的勾股定理是如何被發(fā)現(xiàn)的呢？

設(shè)計(jì)意圖? 通過(guò)了解勾股定理的形成、發(fā)展與演變，感受勾股定理發(fā)展的曲折經(jīng)歷與無(wú)限魅力，感受數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)自生活又服務(wù)于生活的抽象本質(zhì)，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，樹(shù)立學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

師生活動(dòng)：以視頻的形式向?qū)W生展示勾股定理的發(fā)展歷史. 《周髀算經(jīng)》中商高對(duì)周公說(shuō)：“……故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五. ”即當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3和4時(shí)，弦則為5. 也就是常說(shuō)的“勾三股四弦五”，因此，此定理被稱(chēng)為勾股定理或商高定理. 三國(guó)時(shí)期的趙爽在《九章算術(shù)》中說(shuō)“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”，趙爽還創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，證明了勾股定理. 在西方最早提出并證明勾股定理的是公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，所以這個(gè)定理又被稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯定理”. 不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于勾股定理的來(lái)源比較感興趣，表現(xiàn)出了探究的欲望與需求.

3. 證明勾股定理

如何證明勾股定理呢？千百年來(lái)，人們樂(lè)此不倦，上至國(guó)家總統(tǒng)，下至黎民百姓，證明勾股定理的方法已達(dá)500多種. 教師可列舉幾種典型的勾股定理證法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明方法的思路以及特殊之處.

方法一：鄒元治的證明方法.

如圖1所示，以a，b為直角邊，以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，按圖1所示的方式拼成一個(gè)大正方形，因?yàn)镽t△HAE≌Rt△EBF，所以∠AHE=∠BEF. 因?yàn)锳，E，B共線(xiàn)，所以∠HEF=90°. 根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，得四邊形EFGH為正方形，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，外圍大正方形的面積等于外圍四個(gè)直角三角形面積與中間小正方形面積之和，即（a+b）2=4×ab+c2，整理得a2+b2=c2.

設(shè)計(jì)意圖? 鄒元治是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家，其利用圖形整體與部分的關(guān)系，巧妙證明了勾股定理，圖形直觀簡(jiǎn)潔，數(shù)形結(jié)合，是東方無(wú)字證明勾股定理的代表作之一，在圖形結(jié)論的推導(dǎo)與證明中有積極的引導(dǎo)作用.

方法二：加菲爾德總統(tǒng)的證明方法.

如圖2所示，將兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)直角梯形，易得△DCE是等腰直角三角形，因?yàn)樘菪蜛BCD的面積等于兩個(gè)直角三角形面積與等腰直角三角形面積之和，即（a+b）（a+b）=2×ab+c2，整理得a2+b2=c2.

設(shè)計(jì)意圖? 加菲爾德總統(tǒng)的證明方法簡(jiǎn)潔明了，通過(guò)部分圖形與整體圖形的關(guān)系，證明勾股定理，身為總統(tǒng)的他仍癡迷于數(shù)學(xué). 由此，激發(fā)學(xué)生樂(lè)于探究數(shù)學(xué)的精神.

4. 勾股定理有何用途呢？

問(wèn)題1：如果直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和12，那么其第三邊的長(zhǎng)度為多少呢？

問(wèn)題2：現(xiàn)將一支長(zhǎng)16 cm的金屬筷子（粗細(xì)忽略不計(jì)）放入一個(gè)底面長(zhǎng)和寬分別為8 cm，6 cm的長(zhǎng)方體水槽中，要使水完全淹沒(méi)筷子，則水槽中的水深至少為多少厘米？

問(wèn)題3：已知圓柱的底面周長(zhǎng)為10 cm，高AB為12 cm，BC是底面的直徑，一只螞蟻沿著圓柱側(cè)面從點(diǎn)C爬到點(diǎn)A覓食，則螞蟻爬行的最短路程為多少？

設(shè)計(jì)意圖? 第1個(gè)問(wèn)題考查基礎(chǔ)知識(shí)，第2個(gè)問(wèn)題側(cè)重于考查學(xué)生的識(shí)圖能力，第3個(gè)問(wèn)題考查學(xué)生的空間想象能力，能否把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力及創(chuàng)新能力，體現(xiàn)立德樹(shù)人的育人理念.

5. 勾股定理的拓展延伸

問(wèn)題4：從勾股定理的內(nèi)容可以看出，分別以任何直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形，再以斜邊為邊向外作正方形，兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積. 向外作三個(gè)正方形變?yōu)橄蛲庾魅齻€(gè)等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的面積有何數(shù)量關(guān)系呢？正六邊形呢？半圓呢？

問(wèn)題5：直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系是兩直角邊的平方和，恰好等于斜邊的平方，如果將銳角三角形的三邊長(zhǎng)也分別平方，這三條邊長(zhǎng)的平方有何數(shù)量關(guān)系呢？如果將鈍角三角形的三邊長(zhǎng)分別平方，這三條邊長(zhǎng)的平方又有何數(shù)量關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖? 此環(huán)節(jié)旨在拓展學(xué)生的視野，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象與歸納，學(xué)會(huì)類(lèi)比，發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)與能力，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維.

關(guān)注勾股定理的產(chǎn)生與發(fā)展，以上五個(gè)步驟為學(xué)生提供了有效的學(xué)習(xí)途徑與方法，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，形成數(shù)形結(jié)合思想. 在感受數(shù)學(xué)文化的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷.