立足思維發展，促進素養生成

余葉軍

［摘? 要］ 文章以“勾股定理”復習教學為例，探討發展學生數學思維，提升學生數學素養的有效路徑，以幫助學生建構知識結構，形成數形結合思想，在感受數學文化中，培養學生的愛國情懷.

［關鍵詞］ 數學思維；核心素養；初中數學

近日，筆者上了一節“勾股定理”復習課，著重講解了勾股定理的發展歷程，勾股定理的研究方法，勾股定理的證明，勾股定理的現實意義. 通過本節課的教學，學生感受到了數學的博大精深，學習了幾何圖形的研究思路. 以下，筆者對教學設計進一步梳理與改進，整理成文，與同人切磋琢磨.

確立價值，明確方向

勾股定理源于生產生活，凝聚了勞動人民的聰明與智慧. 我國和世界其他國家的學者對于勾股定理的證明層出不窮，在五百多種證明勾股定理的方法中，思路各異，精彩紛呈，推動了數學的發展與進步.

由于勾股定理的發現，數的集合由有理數擴展到了實數，推動了開方術、割圓術、方程術、天元術的產生與發展. 我國對勾股定理的研究更多的是關注勾股定理解決實際問題的利用，如發明了勾股計算尺用來測量計算，從而有了勾股算法，這些理論都是運用勾股進行測量的基礎.

勾股定理及其逆定理，為后續研究幾何圖形，學習三角函數奠定了基礎. 學生對勾股定理的認識，應超出對定理本身的理解與應用，應關注勾股定理背后的文化價值，讓學生在潤物細無聲中感受數學的人文氣息.

根據方向，確定目標

一節有意義的數學課的標準是什么？應給學生留下些什么？教師只有想清楚了這些問題，才能知道這節課需要做什么，教學目標也就隨之確定.

（1）知識目標：勾股定理與其逆定理；勾股定理的應用.

（2）技能目標：掌握勾股定理的證明方法，培養學生的數形結合思想，發展學生的空間觀念.

（3）情感目標：了解文化背景，感受數學文化，培養學生的愛國情懷.

把脈問題，確定教學重難點

限于目前所學，學生研究幾何圖形的經驗比較少，數學學習缺少整體觀念與系統觀念. 因此，確定本節課的教學難點：理解幾何圖形的研究思路，發展學生的幾何直觀與邏輯推理能力.

教師給學生創設有關勾股定理的背景材料，可以讓學生對數學產生情感，所以本節課的教學關鍵在于展現有關勾股定理的歷史文化，從中找出有關勾股定理的育人元素；通過幾何圖形的面積關系證明勾股定理，從而提升學生的學習能力，落實教育部提出的“立德樹人”終極目標.

立足課堂，培養數學素養

1. 梳理勾股定理知識框架

師：對于勾股定理，我們學習了哪些內容？請用知識框圖的形式予以說明.

師生活動：教師引導，學生回答，復習有關勾股定理的內容“直角三角形斜邊的平方”“等于兩直角邊的平方之和”“如果一個三角形的三邊存在一邊的平方等于另外兩邊平方之和，那么這個三角形是直角三角形”“已知直角三角形兩邊的長，運用勾股定理，可以求出最后一邊的長”“畫長度分別為、、、的線段，在實際問題中求線段的長”“勾股數，如3，4，5；6，8，10；5，12，13”等. 使學生形成系統的知識結構，實現運用勾股定理解決問題能力的提升. 由于學生對于勾股定理的發展歷程沒有一定的認識，因此，需要教師進一步引導.

2. 尋找勾股定理的起源

師：我們現在學習的勾股定理是如何被發現的呢？

設計意圖? 通過了解勾股定理的形成、發展與演變，感受勾股定理發展的曲折經歷與無限魅力，感受數學知識來自生活又服務于生活的抽象本質，以提高學生的學習積極性，樹立學生學好數學的信心.

師生活動：以視頻的形式向學生展示勾股定理的發展歷史. 《周髀算經》中商高對周公說：“……故折矩，勾廣三，股修四，經隅五. ”即當直角三角形的兩條直角邊分別為3和4時，弦則為5. 也就是常說的“勾三股四弦五”，因此，此定理被稱為勾股定理或商高定理. 三國時期的趙爽在《九章算術》中說“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽還創制了一幅“勾股圓方圖”，證明了勾股定理. 在西方最早提出并證明勾股定理的是公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，所以這個定理又被稱為“畢達哥拉斯定理”. 不難發現，學生對于勾股定理的來源比較感興趣，表現出了探究的欲望與需求.

3. 證明勾股定理

如何證明勾股定理呢？千百年來，人們樂此不倦，上至國家總統，下至黎民百姓，證明勾股定理的方法已達500多種. 教師可列舉幾種典型的勾股定理證法，引導學生發現證明方法的思路以及特殊之處.

方法一：鄒元治的證明方法.

如圖1所示，以a，b為直角邊，以c為斜邊作四個全等的直角三角形，按圖1所示的方式拼成一個大正方形，因為Rt△HAE≌Rt△EBF，所以∠AHE=∠BEF. 因為A，E，B共線，所以∠HEF=90°. 根據有一個角是直角的菱形是正方形，得四邊形EFGH為正方形，觀察圖形可以發現，外圍大正方形的面積等于外圍四個直角三角形面積與中間小正方形面積之和，即（a+b）2=4×ab+c2，整理得a2+b2=c2.

設計意圖? 鄒元治是我國著名數學家，其利用圖形整體與部分的關系，巧妙證明了勾股定理，圖形直觀簡潔，數形結合，是東方無字證明勾股定理的代表作之一，在圖形結論的推導與證明中有積極的引導作用.

方法二：加菲爾德總統的證明方法.

如圖2所示，將兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形，易得△DCE是等腰直角三角形，因為梯形ABCD的面積等于兩個直角三角形面積與等腰直角三角形面積之和，即（a+b）（a+b）=2×ab+c2，整理得a2+b2=c2.

設計意圖? 加菲爾德總統的證明方法簡潔明了，通過部分圖形與整體圖形的關系，證明勾股定理，身為總統的他仍癡迷于數學. 由此，激發學生樂于探究數學的精神.

4. 勾股定理有何用途呢？

問題1：如果直角三角形的兩邊長分別是5和12，那么其第三邊的長度為多少呢？

問題2：現將一支長16 cm的金屬筷子（粗細忽略不計）放入一個底面長和寬分別為8 cm，6 cm的長方體水槽中，要使水完全淹沒筷子，則水槽中的水深至少為多少厘米？

問題3：已知圓柱的底面周長為10 cm，高AB為12 cm，BC是底面的直徑，一只螞蟻沿著圓柱側面從點C爬到點A覓食，則螞蟻爬行的最短路程為多少？

設計意圖? 第1個問題考查基礎知識，第2個問題側重于考查學生的識圖能力，第3個問題考查學生的空間想象能力，能否把空間問題轉化為平面問題，培養學生解決實際問題的能力及創新能力，體現立德樹人的育人理念.

5. 勾股定理的拓展延伸

問題4：從勾股定理的內容可以看出，分別以任何直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形，再以斜邊為邊向外作正方形，兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積. 向外作三個正方形變為向外作三個等邊三角形，這三個等邊三角形的面積有何數量關系呢？正六邊形呢？半圓呢？

問題5：直角三角形的三邊之間的數量關系是兩直角邊的平方和，恰好等于斜邊的平方，如果將銳角三角形的三邊長也分別平方，這三條邊長的平方有何數量關系呢？如果將鈍角三角形的三邊長分別平方，這三條邊長的平方又有何數量關系呢？

設計意圖? 此環節旨在拓展學生的視野，讓學生學會多角度思考問題，學會數學抽象與歸納，學會類比，發展學生的探究意識與能力，培養學生的理性思維.

關注勾股定理的產生與發展，以上五個步驟為學生提供了有效的學習途徑與方法，幫助學生建構知識體系，形成數形結合思想. 在感受數學文化的過程中，發展學生的數學思維，提升學生的數學素養，培養學生的愛國情懷.