關(guān)于解直角三角形問題的探究與思考

［摘? 要］ 解直角三角形是中考常見的應(yīng)用型問題，類型多樣，解析突破需經(jīng)歷幾何建模、轉(zhuǎn)化構(gòu)建等思維過程. 理解對(duì)應(yīng)的概念，合理構(gòu)建模型是解題的關(guān)鍵. 文章以一道解直角三角形考題為例，解析問題，總結(jié)方法，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行多類型拓展探究.

［關(guān)鍵詞］ 解直角三角形；模型；角度；概念；數(shù)形結(jié)合

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“高質(zhì)量教學(xué)視域下初中課堂新教學(xué)樣態(tài)的構(gòu)建研究”（GH14-21-L161）.

作者簡(jiǎn)介：李超（1982—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲江蘇省“優(yōu)秀科技輔導(dǎo)員”、徐州市“彭成恩師”稱號(hào).

解直角三角形是中考必考內(nèi)容，問題難度不高，但類型多樣，涉及幾何、三角函數(shù)等知識(shí)，需要通過構(gòu)造模型、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化分析來推導(dǎo)線段或角度關(guān)系. 因此，對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行探究總結(jié)十分必要，下面以真題引例為切入點(diǎn)，逐步拓展探究.

真題解析

真題引例 （2022年連云港市中考卷第24題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔. 小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度. 如圖1所示，小明在點(diǎn)A處測(cè)得阿育王塔最高點(diǎn)C的仰角∠CAE=45°，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至B處測(cè)得最高點(diǎn)C的仰角∠CBE=53°，AB=10 m. 小亮在點(diǎn)G處豎立標(biāo)桿FG，小亮的所在位置點(diǎn)D、標(biāo)桿頂F、最高點(diǎn)C在一條直線上，F(xiàn)G=1.5 m，GD=2 m. （注：結(jié)果精確到0.01 m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）.

（1）求阿育王塔的高度CE；

（2）求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

分析：本題目為解直角三角形問題，涉及仰角與俯角知識(shí). 題設(shè)兩問，給出了相應(yīng)的測(cè)量條件，求塔高CE的長(zhǎng)度，以及人與塔之間的距離ED的長(zhǎng)度. 問題模型已經(jīng)構(gòu)建，通過數(shù)形結(jié)合理解題意，提取其中的直角三角形即可求解.

過程與解：（1）在Rt△CAE中，因?yàn)椤螩AE=45°，則CE=AE. 結(jié)合AB=10 m，可得BE=AE-10=CE-10.

教學(xué)思考

1. 理解概念，靈活運(yùn)用

解直角三角形問題是初中數(shù)學(xué)典型題，問題的應(yīng)用性極強(qiáng)，理解相關(guān)概念定義是探究的關(guān)鍵. 問題類型多樣，涉及俯角、仰角、方位角、坡度等概念，教學(xué)中教師需要指導(dǎo)學(xué)生掌握角度概念. 對(duì)于較為抽象的定義，教師可以結(jié)合示意圖，引導(dǎo)學(xué)生理解定義內(nèi)涵，靈活運(yùn)用. 解題教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生重新回顧概念，結(jié)合概念理解問題中的角度條件.

2. 數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)建模

數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建模型是解直角三角形問題的關(guān)鍵，學(xué)生解題時(shí)需要采用數(shù)形結(jié)合的方法理解圖形，并根據(jù)幾何條件構(gòu)建模型. 該過程中學(xué)生需完成“實(shí)際圖形”向“幾何模型”的轉(zhuǎn)化，掌握轉(zhuǎn)化思想，以及輔助線的添加技巧. 轉(zhuǎn)化思想的核心是結(jié)合實(shí)物構(gòu)建復(fù)合圖形，故學(xué)生需要關(guān)注圖形中的垂直以及平行等位置關(guān)系，合理連接形成特殊圖形. 具體構(gòu)圖時(shí)學(xué)生可以結(jié)合俯角、仰角、方位角的構(gòu)建方法，作水平線、垂線、延長(zhǎng)線，實(shí)現(xiàn)圖形的閉合.

3. 技巧總結(jié)，策略生成

解直角三角形的類型多樣，但解題的總體思路是一致的，學(xué)生需要完成條件解析、幾何建模、轉(zhuǎn)化構(gòu)建等思維過程，教學(xué)中教師可指導(dǎo)學(xué)生生成“程序性”的解題步驟. 第一步，題意理解，讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合分析；第二步，構(gòu)建模型，讓學(xué)生掌握建模的方法；第三步，提取直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生掌握特性分析的思路；第四步，結(jié)論推導(dǎo)，讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際圖形分析數(shù)值. 在策略分析過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題的關(guān)鍵點(diǎn)，并結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化思維.