關于解直角三角形問題的探究與思考

［摘? 要］ 解直角三角形是中考常見的應用型問題，類型多樣，解析突破需經歷幾何建模、轉化構建等思維過程. 理解對應的概念，合理構建模型是解題的關鍵. 文章以一道解直角三角形考題為例，解析問題，總結方法，并結合實例進行多類型拓展探究.

［關鍵詞］ 解直角三角形；模型；角度；概念；數形結合

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“高質量教學視域下初中課堂新教學樣態的構建研究”（GH14-21-L161）.

作者簡介：李超（1982—），本科學歷，中小學一級教師，從事初中數學教學與研究工作，曾獲江蘇省“優秀科技輔導員”、徐州市“彭成恩師”稱號.

解直角三角形是中考必考內容，問題難度不高，但類型多樣，涉及幾何、三角函數等知識，需要通過構造模型、數形結合、轉化分析來推導線段或角度關系. 因此，對該部分知識進行探究總結十分必要，下面以真題引例為切入點，逐步拓展探究.

真題解析

真題引例 （2022年連云港市中考卷第24題）我市的花果山景區大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區現存最高和最古老的寶塔. 小明與小亮要測量阿育王塔的高度. 如圖1所示，小明在點A處測得阿育王塔最高點C的仰角∠CAE=45°，再沿正對阿育王塔方向前進至B處測得最高點C的仰角∠CBE=53°，AB=10 m. 小亮在點G處豎立標桿FG，小亮的所在位置點D、標桿頂F、最高點C在一條直線上，FG=1.5 m，GD=2 m. （注：結果精確到0.01 m，參考數據：sin53°≈0.799，cos53°≈0.602，tan53°≈1.327）.

（1）求阿育王塔的高度CE；

（2）求小亮與阿育王塔之間的距離ED.

分析：本題目為解直角三角形問題，涉及仰角與俯角知識. 題設兩問，給出了相應的測量條件，求塔高CE的長度，以及人與塔之間的距離ED的長度. 問題模型已經構建，通過數形結合理解題意，提取其中的直角三角形即可求解.

過程與解：（1）在Rt△CAE中，因為∠CAE=45°，則CE=AE. 結合AB=10 m，可得BE=AE-10=CE-10.

教學思考

1. 理解概念，靈活運用

解直角三角形問題是初中數學典型題，問題的應用性極強，理解相關概念定義是探究的關鍵. 問題類型多樣，涉及俯角、仰角、方位角、坡度等概念，教學中教師需要指導學生掌握角度概念. 對于較為抽象的定義，教師可以結合示意圖，引導學生理解定義內涵，靈活運用. 解題教學中，教師應讓學生重新回顧概念，結合概念理解問題中的角度條件.

2. 數形結合，數學建模

數形結合、構建模型是解直角三角形問題的關鍵，學生解題時需要采用數形結合的方法理解圖形，并根據幾何條件構建模型. 該過程中學生需完成“實際圖形”向“幾何模型”的轉化，掌握轉化思想，以及輔助線的添加技巧. 轉化思想的核心是結合實物構建復合圖形，故學生需要關注圖形中的垂直以及平行等位置關系，合理連接形成特殊圖形. 具體構圖時學生可以結合俯角、仰角、方位角的構建方法，作水平線、垂線、延長線，實現圖形的閉合.

3. 技巧總結，策略生成

解直角三角形的類型多樣，但解題的總體思路是一致的，學生需要完成條件解析、幾何建模、轉化構建等思維過程，教學中教師可指導學生生成“程序性”的解題步驟. 第一步，題意理解，讓學生通過數形結合分析；第二步，構建模型，讓學生掌握建模的方法；第三步，提取直角三角形，引導學生掌握特性分析的思路；第四步，結論推導，讓學生結合實際圖形分析數值. 在策略分析過程中，教師應引導學生總結解題的關鍵點，并結合實例幫助學生積累經驗，強化思維.