聚焦思維品質 優化解題教學

李麗萍

［摘 要］數學解題教學的關鍵是提高學生的思維能力，而思維品質是思維能力的集中表現。聚焦思維品質，優化數學解題教學，對提升數學解題教學質量大有裨益。

［關鍵詞］思維品質；解題教學；思維能力

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0004-03

數學解題教學是指教師以數學問題為載體，引導學生探究問題解決的基本規律，發現解題的一般方法的教學過程。解題教學不能只關注求解的“結果”，應從“教解題”向“教想法”轉變，讓學生學會思考，提高思維能力。聚焦思維品質，優化解題教學，對提升數學解題教學質量大有裨益。

一、問題驅動，讓思維更加深刻

思維的深刻性即思維活動的深廣度，是思維品質培養的立足點和突破口。思維的深刻性主要表現在善于透過問題表象，揭示問題的內在本質和規律，成熟而又老練地掌握解決問題的一般方法。在解題教學中，教師可通過設置系列問題驅動學生深入思考。在好問題的引領下，學生的思維會更加深刻。

［例1］函數[]，滿足[f（a-1）+f（2a2）≤0]，求實數[a]的取值范圍。

問題1（理解問題）：這是一個什么問題？你學過哪些可求實數[a]的取值范圍的方法？（該問題有助于學生理解字母[a]是一個有別于常量與變量的參數）

問題2（理解條件）：題中給出了哪幾個條件？（該問題有助于學生明白哪些條件可用于推理）

問題3（理解關系）：求實數[a]的取值范圍會受到哪些因素的制約？（該問題有助于學生弄清條件與結論之間的關系）

問題4：函數值怎樣限制自變量的取值？（該問題有助于學生分析函數的單調性）

問題5：函數值的限制有何規律？（該問題有助于引導學生研究不等式的性質）

問題6：題中的函數有何特點？（該問題便于引導學生發現確定制約條件的方法）

問題7：你能獲得怎樣的解題思路？（該問題有助于引導學生探尋可能的解題路徑）

在解題教學中，有些教師常會預設過度，千方百計地讓學生按照自己的方法去推理和解題，嚴重影響了學生思維的深刻性。上述系列問題的設計具有一般思維的特點，不完全是解決某一問題的思維方式，而是一種通用思維，通過反推影響參數范圍的各種約束條件，最終讓問題獲得解決。這種思維的訓練，有助于學生掌握分析問題的方法，抓住問題涉及的主要知識和函數的單調性、奇偶性等核心概念，不論解題是否成功，對提高學生思維的深刻性都具有重要的作用。

二、多解多變，讓思維更為靈活

思維的靈活性即思維活動的智力靈活程度，是學生創新能力的關鍵點。思維的靈活性主要表現在善于根據客觀條件的發展與變化規律，靈活地改變原有的方法與途徑去解決問題。在解題教學中，教師要注意從思維起點、思維過程、思維遷移等角度深入了解學生思考問題的特點及思維發展狀況，為學生的思維訓練提供合理的素材與良好的條件，讓學生的思維更為靈活。

對于同一問題，思維切入方式、思考過程不同，往往會得到不一樣的結果，而采用多種思維切入方式能有效促使學生整合知識和發散思維，使學生充分體驗問題解決方式的多樣性。根據問題編制背景進行一題多變，讓學生思維遷移，能開闊學生解決問題的視野，揭示問題精髓，挖掘問題之源，引導學生靈活地掌握知識的縱橫聯系，培養思維的靈活性。

三、整體感知，讓思維更加敏捷

思維的敏捷性即思維活動中表現出來的時間維度，也就是在思考問題時，能周密而迅速地獲得結果。思維的敏捷性主要表現為聯想的迅速性、操作的快速性、表達的流暢性等。在解題教學中，教師要善于引導學生從整體上思考問題，迅速抓住問題的本質和規律，把握問題類型，形成思想方法。

上述解法通過整體感知，聯想相關概念及原理，不僅快速獲解，而且表達簡約。讓學生抓住問題的本質和規律，用整體思考的方法，是培養學生數學思維品質的好策略。

四、反思總結，提升思維的批判性

思維的批判性即敢于對解題結果或方法發表自己的看法或評價，包括思維過程中洞察、分析和評估的過程。具有思維批判性的學生主要表現為能對自己的思維進行改進，對現有解法進行歸納總結，對已有結論進行驗證，對出現的錯誤進行反思。在解題教學中，要提高學生思維的批判性，就要讓學生切實理解數學核心知識，在解題過程的反思中積累基本經驗，尤其要對數學思想方法進行深刻體悟。

本題可以引導學生從三個角度進行反思總結。從問題理解的角度看，該題是含參的復合函數問題，求值域和參數的最大值均能通過函數極值獲解。根據三角函數的有界性可知，極值一定存在，題中[ω>0]讓問題變得簡單。從求解方法的角度看，可通過化簡利用三角函數的圖象與性質求解，也可以利用導數法獲解，且更有一般性。從過程評價的角度看，解答過程不夠簡潔，若能根據要求直接構建不等關系式，問題的解答更為自然、合理。通過上述反思，讓學生悟透推理的嚴謹性和答題的規范性，了解有無思維回路，有無簡化或變換的途徑。尤其要重視學生對錯解的反思，讓其知道為什么錯，怎樣改正，不斷提升學生思維的批判性。

五、自我調節，讓思維更顯獨立

思維的獨立性即能夠依據所求問題信息的變化對思維過程進行自主調節的能力，是創造性解決問題必須具備的思維品質，它取決于思維的靈活性。具有思維獨立性的學生，主要表現為具有突破傳統解題思維約束的能力善于挖掘問題隱含的內在關系，發現問題的本質，能夠有的放矢地轉化解題方法。在解題教學中，教師若能從題目解讀、方法運用、過程監控和自我反思等方面引導學生進行自我調節，對提高學生思維的獨立性很有幫助。

例如，針對例4第（2）問的解題過程，教師可指導學生從以下三個角度進行思維調節。

（一）思路調節

學生解題通常是從自己的最近發展區出發，尋找問題的突破口，但最容易想到的解題方法并非是最優的解題方法，往往需要進行調整。比如有些學生一遇到求極值立刻想到導數法，然而求導后的代數式變形復雜，容易出現解題錯誤，對此教師有必要引導學生調整為通過三角函數恒等變換的途徑獲解，或者利用數形結合的方法進行值域估算，再探索特殊解法或驗證前面的方法等。

（二）情緒調節

學生在解題時常常會因為問題的抽象性、轉化的局限性和運算的復雜性而產生畏難情緒，因此教師有必要對他們進行情緒上的調節。如該題通常能夠利用簡化策略來削弱思維障礙對學生情緒的負面作用。先利用數形結合方法作出函數的圖象，促進學生對問題的理解和感悟，再對函數表達式變形，以減少條件限制，讓問題得到簡化，接著探究如何解決增加條件后的問題。利用這些方法實現情緒調節目標。

（三）過程調節

解題過程的表達既要有邏輯性，又要注意簡潔性；既可以利用文字表述，也可以利用符號表述；既可以采用歸納推理的方式，也可以采用演繹推理的方式。如例4第（2）問提供的解題過程是從正弦函數定義出發，根據函數增區間的要求獲得參數需要滿足的條件。但這種過程表達涉及三角函數的周期性，相對比較煩瑣，若直接從問題條件出發，通過“函數[f（x）]為增函數”與其對應的“導函數[f（x）≥0]”的關系，則可直接獲得參數限制的不等式，從而大大簡化解題過程的表述。在解題過程中，學生會因各種因素的影響而產生解題偏差，教師有必要引導學生對自己的解題方向、解題方法、解題方案等進行及時有效的調整。

思維的各種品質是一個密不可分的整體，它們相互促進、相互補充。學生思維品質的培養不能一蹴而就，教師要在日常教學實踐中，堅持以學生為主體，引導學生充分發掘問題內涵，把問題用活、用深、用夠。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 李浩然.在生成性追問中提升學生的數學思維品質［J］.中學數學研究， 2018（10）：1-4.

［2］? 張彬政.學科核心素養理念下提升高中學生數學思維品質的教學策略［J］.數學教學通訊， 2022（12）：38-39.

（責任編輯 黃桂堅）