考慮導引頭耦合作用的帶落角約束制導律設計

魯嬌嬌 董蒙 郭正玉

引用格式：魯嬌嬌，董蒙，郭正玉.考慮導引頭耦合作用的帶落角約束制導律設計［J］.航空兵器，2023，30（1）：44-50.

LuJiaojiao，DongMeng，GuoZhengyu.DesignofGuidanceLawswithFallingAngleConstraintandCouplingofSeekerDynamics［J］.AeroWeaponry，2023，30（1）：44-50.（inChinese）

摘要：針對制導火箭彈彈體與導引頭之間的動力學耦合等問題，提出了一種帶落角約束的制導律設計方法。首先，考慮到飛行過程中導引頭和彈體之間的耦合作用，建立了方位俯仰捷聯式導引頭的二自由度數學模型以及制導火箭彈的六自由度數學模型，然后，考慮到實際工程應用中導引頭與彈體之間的動力學耦合因素，將導引頭框架偏轉角作為制導信息，設計了一種帶落角約束的制導律，實現最大毀傷效果。最后，通過仿真分析驗證了所設計的帶落角約束制導律能夠在保證落角精度的同時降低脫靶量。

關鍵詞：制導火箭彈；方位俯仰捷聯式導引頭；落角約束；比例制導律；動力學滯后

中圖分類號：TJ765.3；V249.3

文獻標識碼：A

文章編號：1673-5048（2023）01-0044-07

DOI：10.12132/ISSN.1673-5048.2022.0110

0引言

制導火箭彈因其精度高、威力大、火力猛、射程遠、成本低等諸多優點，受到世界各國的廣泛重視。其命中精度是制導火箭彈的重要指標，主要由導引信號的精度決定，決定導引信號精度的主要功能組件是導引頭。隨著精確制導武器相關技術的不斷發展進步，對導引頭的研究已成為世界各國學者們的重要課題，并取得眾多的研究成果。在提高導引信號精度方面，趙毅鑫等［1］針對導引頭的結構特點，利用坐標變換法和泰勒公式建立了失調角的線性誤差模型。何壘等［2］為了研究導引頭在不同視線角速度提取方式下的隔離度特性，建立了基于慣性基準的典型導引頭隔離度模型和隔離度寄生回路模型。Liu等［3］基于導引頭兩環穩態跟蹤理論的工作原理，建立了具有交叉耦合、質量不平衡和擾動轉矩的兩軸速率陀螺導引頭的動力學模型。也有不少學者針對制導火箭彈建模進行了研究，郝曉兵［4］通過分析制導火箭彈在飛行過程中受到的力和力矩，采用牛頓歐拉法建立了可以準確描述制導火箭彈運動的數學模型。王志剛等［5］依據雙旋火箭彈的多體特點，采用凱恩方法建立了包含彈頭和后體動力學特征的雙旋火箭彈動力學模型。

目前，國內外對制導火箭彈建模和導引頭建模的研究較為深入，但大多數制導火箭彈建模并未對導引頭進行詳細的運動學模型和動力學模型分析。為了進一步分析制導火箭彈的性能，有必要針對考慮導引頭耦合作用的火箭彈建模。

為了提高制導火箭彈對諸如機場、指揮中心、現代軍艦、潛艇、坦克和大型建筑物等目標的殺傷力，希望制導火箭彈不僅能精確打擊目標，還能以期望的攻擊角度擊中目標。因此，帶有落角約束的制導律逐漸成為研究熱點。Vairavan等［6］針對具有末端落角約束的運動目標攔截問題，設計了一種基于比例導引法的閉環非線性自適應制導律。薛震［7］在最優制導律的基礎上加入落角約束，同時考慮由導引頭引起的動力學滯后問題，設計了帶落角約束的制導律。曾耀華等［8］以對落角進行控制的目標攻擊末制導律為設計對象，設計了比例導引加偏置項組合形式的末制導律。史紹琨等［9］為提高制導精度，推導了帶落角約束的偏置比例導引律。在實際應用中，導引頭的動力學滯后問題對制導性能可能存在一定影響。王輝等［10］對導引頭動力學滯后問題進行研究，將導引頭的滯后時間加入制導律的設計過程中，提高了制導精度。李宏宇等［11］在設計制導律時，俯仰角和彈目視線角的三角與反三角函數均采用不近似原則，設計了帶落角約束的最優制導律。但是其在考慮導引頭動力學滯后問題時，未對導引頭與彈體之間的耦合作用進行詳細分析，而是對滯后時間進行假設，完成相關的仿真分析。

本文考慮到制導火箭彈運動過程中，導引頭與彈體之間的動力學耦合作用，建立二自由度導引頭和六自由度制導火箭彈模型；并針對實際工程應用中導引頭的動力學滯后問題，設計帶落角約束的制導律，在保證落角精度、實現大落角約束的同時，對脫靶量進行了優化。

1建模

1.1導引頭建模

導引頭系統安裝于彈體頂端，平臺基座與彈體固連，通過一個二自由度的探測器實現目標的捕獲與跟蹤［12］，框架結構示意圖如圖1所示。Os點取在框架導引頭的質心處；ψG為方位框偏轉角，表示方位框架相對于彈體的轉角，繞Oszout軸順時針旋轉為正；θG為俯仰框偏轉角，表示俯仰框架相對于方位框架的轉角，繞Osyin軸逆時針旋轉為正。具體轉換關系如圖2所示［13］。所用坐標系定義如下：

（1）彈體坐標系Oxbybzb

原點O取在制導火箭彈質心處，坐標系與制導火箭彈固連，Oxb軸在制導火箭彈對稱平面內，并與制導火箭彈的理論縱軸平行且指向頭部；Oyb軸垂直于火箭彈的對稱平面，指向彈體右方為正；Ozb軸在火箭彈對稱平面內，與Oxb軸垂直，指向彈體的下方為正［14］。

（2）方位坐標系Osxoutyoutzout

Osxout軸垂直于俯仰框架，指向目標方向為正；Oszout軸與彈體坐標系的Ozb軸平行，并且指向為正的方向一致；Osyout軸在Oxbyb平面內，與其他兩軸構成右手坐標系。該定義中外框為方位框。

（3）俯仰坐標系Osxinyinzin

Osxin軸與光軸指向重合，指向目標方向為正；Osyin軸與Osyout軸重合；Oszin軸在Osxoutyout平面內，與其他兩軸構成右手坐標系。該定義中內框為俯仰框。

假設彈體角速度矢量在彈體坐標系的投影為［pqr］T，方位框角速度矢量在方位坐標系中的投影為ωout=［ωoutxωoutyωoutz］T，俯仰框角速度矢量在俯仰坐標系中的投影為ωin=［ωinxωinyωinz］T。根據坐標轉換關系可以得到，在慣性坐標系中，導引頭方位框角速度ωout為

ωout=pcosψG+qsinψG－psinψG+qcosψGr+ψ·G（1）

導引頭俯仰框角速度ωin為

ωin=（pcosψG+qsinψG）cosθG－（r+ψ·G）sinθG－psinψG+qcosψG+θ·G（pcosψG+qsinψG）sinθG+（r+ψ·G）cosθG（2）

通過彈體角速度與框架角速度之間的耦合關系，容易得到各框架在慣性坐標系中的角加速度表達式：

ω·out=（－psinψG+qcosψG）ψ·G+p·cosψG+q·sinψG（－pcosψG－qsinψG）ψ·G－p·sinψG+q·cosψGr·+ψ¨G（3）

ω·in=－ψ¨GsinθG

θ¨Gψ¨GcosθG+（p·cosψG+q·sinψG）cosθG－r·sinθG－p·sinψG+q·cosψG（p·cosψG+q·sinψG）sinθG+r·cosθG+

－（pcosψG+qsinψG）sinθG－（r+ψ·G）cosθG0（pcosψG+qsinψG）cosθG－（r+ψ·G）θ·GsinθGθ·G+（－psinψG+qcosψG）cosθG－pcosψG－qsinψG（－psinψG+qcosψG）sinθGψ·G（4）

假設框架質量分布均勻，框架質心與框架旋轉軸重合，因此根據動量矩定理可得

dHdt=δHδt+Ω×H=∑M（5）

式中：H為框架的動量矩；dH/dt為在地面坐標系中動量矩H的絕對導數；δH/δt為在動坐標系中動量矩H的相對導數；Ω為該矢量與坐標系的轉動角速度；∑M為所有施加在框架上的外力所產生的力矩之和。

由于框架一般采用軸對稱設計，即各軸的慣量積為零。根據式（1）～（5）可以得到導引頭俯仰框與方位框的動力學方程：

（Jinx-Jinz）（qsinψGcosθG－（r+ψ·G）sinθG）·qsinψGsinθG+（r+ψ·G）（Jinx－Jinz）（qsinψGcosθG－（r+ψ·G）sinθG）cosθG+Jiny（q·cosψG－qsinψGψ·G+θ¨G）=Miny（6）

Joutz（r·+ψ¨G）+（Jouty－Joutx）q2sinψGcosψG=Moutz（7）

從式（6）～（7）可以看出，導引頭系統是一個非線性系統，框架與框架、框架和彈體之間均存在耦合作用。框架的運動信息不僅受驅動電機的影響，還受彈體運動速度以及框架運動速度的影響。框架間的轉動慣量影響比較小，彈體與框架之間的耦合力矩比較大。為了提高系統精度，隔離彈體運動對導引頭框架的影響，有必要設計相關控制器控制導引頭可以快速穩定地跟蹤目標的位置信息，準確提供制導信息。基于PID控制方法設計的力矩控制器如下：

Miny=KθG1（θG－θGN）+KθG2（θ·G－θ·GN）

Moutz=KψG1（ψG－ψGN）+KψG2（ψ·G－ψ·GN）（8）

式中：θGN，ψGN分別為彈目視線角；θ·GN，ψ·GN分別為彈目視線角速率。

1.2制導火箭彈建模

本文研究的是一種具有面對稱結構的制導火箭彈。為了便于分析，需要對其進行化簡建模，假設：

（1）制導火箭彈無發動機，即推力為零，且在每一瞬時，把制導火箭彈看成是一個質量不變的剛體；

（2）制導火箭彈的慣性積為零。

基于上述假設，對制導火箭彈進行運動學和動力學分析，可以得到速度坐標系下制導火箭彈質心運動的動力學方程［15］：

V·α·β·=（Fx+Fytanβ+Fztanα）/（mQαβ）

cos2αFzQαβmV－ptanβ+q－sinαcosαFxQαβmV+rtanβ

cos2βFyQαβmV+ptanα－r－sinβcosβFxQαβmV－qtanα（9）

式中：Qαβ=1+tan2α+tan2β；Fx=Fx1－mgsinθ=-QA·

（Cdap+Cday+CD）－mgsinθ；Fy=Fy1+mgcosθsinφ=QCNy+

mgcosθsinφ；Fz=Fz1+mgcosθcosφ=QCNz+mgcosθcosφ；

Fx1，Fy1，Fz1分別為彈體坐標系下制導火箭彈所受的空氣動力；Cdap，Cday，CNy，CNz，CD為關于三個氣動舵的偏轉量以及攻角α和側滑角β的函數；Q=0.5ρV2為動壓（ρ為制導火箭彈飛行高度處的空氣密度）；A為制導火箭彈特征面積；m為制導火箭彈的質量；V為制導火箭彈的飛行速度。φ，θ為制導火箭的飛行姿態角。

在彈體坐標系下，制導火箭彈繞質心轉動的動力學方程為

MxMyMz=QAd（CL，δRδR+Cl，pdp/2V）

QAd（CMαα+CMδPδP+CMtddq/2V）QAd（CMββ+CMδYδY+CMtddr/2V）（10）

式中：d為制導火箭彈的特征長度；CL，δR，Cl，p，CMα，CMδP，CMtd，CMβ，CMδY為制導火箭彈的氣動參數。

2制導律設計

制導火箭彈和目標相對運動幾何關系如圖3所示。Ogxgygzg為地面坐標系；Oxlylzl為視線坐標系；Oxl軸與彈-目連線重合，指向目標的方向為正；Oyl軸位于Ogxgyg平面內，且與Oxl軸垂直；Ozl軸垂直于Oxlyl平面，其方向按照右手定則來確定；γm為彈道傾角，是Vm與地平面的夾角，制導火箭彈向上飛行時為正；χm為彈道方位角，是Vm在地平面上的投影與地面坐標軸xg之間的夾角，投影在xg軸右側為正；γt為目標速度傾角，是Vt與地平面的夾角；χt為目標速度方位角。

zm=－hm，則制導火箭彈對于地面坐標系的位移運動為［x·my·m－h·m］T。利用地面坐標系和彈道坐標系之間的關系可以得到制導火箭彈的質心運動方程為

x·m=Vmcosγmcosχm

y·m=Vmcosγmsinχm

h·m=Vmsinχm（11）

目標的質心運動方程為

x·t=Vtcosχt

y·t=Vtsinχt

z·t=0（12）

制導火箭彈和目標的相對距離為

R=R2x+R2y+R2z（13）

式中：Rx=xt－xm；Ry=yt－ym；Rz=zt－hm。

采用一種改進的比例制導法［6］，實現以指定角度命中目標，即

γ·m=－KzθGNθ·GN（14）

對式（14）兩邊進行微分可得

∫γmγm0dγm=－Kz∫θGNθGN0θGNdθGN（15）

即

γm=-0.5Kzθ2GN+0.5Kzθ2GN0+γm0（16）

在命中目標時刻，有γm=γmf，θGN=θGNf，聯立式（16）可得

Kz=2（γm0－γmf）（θ2GNf－θ2GN0）－1（17）

根據文獻［4］，在命中目標時刻有

θGNf=arctansinγmf－υsinγtfcosγmf－υcosγtf（18）

式中：v為目標速度與制導火箭彈的速度之比。

根據式（14）～（18）可以得到縱向平面內帶落角約束的制導律，即

γ·m=-2（γm0－γmf）θGNθ·GNarctansinγmf－υsinγtfcosγmf－υcosγtf2－θ2GN0（19）

制導火箭彈在彈道坐標系上的動力學方程為

V·mχ·mγ·m=axay/（Vmcosγm）az/Vm（20）

式中：ax，ay，az分別為制導火箭彈的負載加速度在速度方向、速度側向和速度法向上的三個分量。

在制導火箭彈發射之后，導引頭不斷測出框架和彈體的相對角位置信息以及彈體在慣性空間的運動信息，并在捕獲到目標之后通過計算獲得光電探測器應當轉動的角位置ψG和θG，或者角速率ψ·G和θ·G。式（19）所設計制導律是將視線角以及視線角速率作為制導信息，然而在實際的工程應用中，制導律的輸入信息為導引頭框架偏轉角或者偏轉角速率。

同時考慮到實際的工程應用中，關于落角約束，僅需要考慮對于縱向平面的角度約束，橫向平面內實現命中即可，故在橫向平面采用比例制導律，縱向平面采用帶落角約束的制導律。由式（19）～（20）可以得到考慮導引頭動力學滯后帶落角約束的制導律表達式：

aycmd=Kyψ·GVm

azcmd=－2（γm0－γmf）θGθ·GVmarctansinγmf－υsinγtfcosγmf－υcosγtf2－θ2G0（21）

式中：Ky為導引系數；θG為導引頭俯仰框偏轉角；ψG為導引頭方位框偏轉角。

3仿真分析

3.1導引頭耦合作用對制導精度的影響

為了驗證所設計制導律的有效性及導引頭耦合作用對制導精度的影響，針對是否考慮導引頭耦合作用的兩種制導情況進行仿真。仿真所采用的模型為前文所搭建的二自由度導引頭模型以及六自由度制導火箭彈非線性模型。內回路控制器設計采用自適應控制方法，對制導火箭彈飛行過程中的姿態進行控制［16］。

設制導火箭彈的初始位置為（0m，0m，7620m），速度為1020.9m/s，彈道傾角初始值為0°，彈道方位角初始值為5°；目標在地面上作速度為20m/s的勻速直線運動，初始位置為（40000m，-1000m，0m）；落角約束為-90°。仿真結果如圖4～8和表1所示。

根據圖4～8和表1可知，不考慮導引頭動力學滯后時，所設計的制導律可以很好地求得落角，但脫靶量大于6m。考慮到實際工程應用中導引頭的動力學滯后問題，將導引頭的框架偏轉角及框架偏轉角速率作為制導信息時，脫靶量有很好的改善，從原先的6.92m減小到0.17m。從圖7～8可以看出，導引頭在0.05s內跟蹤上目標的運動信息，并在隨后的運動過程中實現了良好的跟蹤效果。

3.2滯后時間對制導性能的影響

為了研究導引頭滯后時間長短對制導性能的影響，分別對滯后時間τ=0.05s和τ=5s兩種情況進行仿真。設置目標在地面上作速度為20m/s的勻速直線運動，速度方位角為-60°，初始位置為（40000m，-1000m，0m）；制導火箭彈的初始位置為（0m，0m，7620m），初始速度為1020.9m/s，攻角初始值α0=-5°，彈道傾角初始值γm0=5°；落角約束為-45°。仿真結果如圖9～12和表2所示。

從仿真結果可以看出，相較于滯后時間τ=0.05s的情況，當滯后時間τ=5s時，制導火箭彈的運動軌跡發生變化。從表2可以看出，當落角約束為-45°時，在同等的初始條件下，滯后時間τ=5s時，制導火箭彈的落

角為-41.5°，落角誤差為3.5°，脫靶量為8.72m；滯后時間τ=00.5s時，制導火箭彈的落角為-44.3°，落角誤差為0.7°，脫靶量為0.38m。即隨著滯后時間的增長，制導火箭彈的落點精準度隨之降低。

3.3與傳統制導律對比分析

設制導火箭彈的初始位置為（0m，0m，3000m），速度為500m/s，彈道傾角初始值為10°；目標為地面靜止目標，位置為（6000m，0m，0m）。針對改進的比例制導律，選取期望落角為-30°，-45°，-60°，-75°，-90°，通過仿真對比傳統比例制導律和本文所設計的制導律，結果如圖13～14所示。

由圖13～14可知，在相同條件下，采用傳統的比例制導律時，落角的變化范圍為（-63.12°，-26.56°），無法滿足大落角要求；本文所設計的制導律中，導航比Kz與所期望落角γmf相關，即可以通過改變γmf的大小實現大落角的要求，增強制導火箭彈的毀傷效果。

3.4制導律的抗干擾能力驗證

為了驗證所設計制導律的抗干擾能力，對目標位置信息加入高斯白噪聲信號干擾，與無干擾的情況進行對比仿真。仿真條件同3.1節，落角約束設置為-75°，仿真結果圖15～16和表3所示。

從圖15可以看出，加入干擾前后，制導火箭彈的運動軌跡變化不大。從圖16及表3可知，無干擾情況下，落角誤差為0.62°，脫靶量為0.73m；有干擾情況下，落角誤差為1.21°，脫靶量為1.05m，兩種情況落角誤差和脫靶量相差不大。綜上分析，所設計的制導律具有一定的抗干擾能力。

4結論

本文以考慮導引頭耦合作用的火箭彈為研究對象，對考慮導引頭動力學滯后下帶落角約束制導律的設計進行了研究。仿真結果證明，所設計的制導律有效提高了制導火箭彈的落角精度，且導引頭動力學滯后時間越短，落角精度越高。但文中在設計制導律時僅對縱向平面進行了落角約束，橫向平面采用了傳統的比例導引律。在后續工作中，可以考慮在橫向平面和縱向平面均對制導火箭彈進行帶落角約束的制導律設計。

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DesignofGuidanceLawswithFallingAngleConstraintand

CouplingofSeekerDynamics

LuJiaojiao1*，DongMeng2，GuoZhengyu1，3

（1.ChinaAirborneMissileAcademy，Luoyang471009，China;

2.TheFirstMilitaryRepresentativeOfficeofAirForceEquipmentDepartmentinLuoyangDistrict，Luoyang471009，China;

3.NationalKeyLaboratoryofSpaceBasedInformationPerceptionandFusion，Luoyang471009，China）

Abstract：Aimingattheproblemsofthedynamiccouplingbetweentheguidedrocketprojectilebodyandtheseeker，aguidancelawdesignmethodwithfallingangleconstraintisproposed.Firstly，consideringthecouplingeffectbetweentheseekerandtheprojectilebodyduringflight，thetwo-degree-of-freedommathematicalmodelofazimuth-pitchstrapdownseekerandthesix-degree-of-freedommathematicalmodelofguidedrocketareestablished.Then，consideringthedynamiccouplingfactorbetweentheseekerandtheprojectilebodyinpracticalengineeringapplications，thedeflectionangleoftheseekerframeisusedastheguidanceinformation，andaguidancelawwithfallingangleconstraintsisdesignedtoachievethemaximumdamageeffect.Finally，thesimulationanalysisverifiesthatthedesignedguidancelawwithfallingangleconstraintcanreducethemissdistancewhileensuringthefallingangleaccuracy.

Keywords：guidedrocket;azimuth-pitchstrapdownseeker;fallingangleconstraint;proportionalguidancelaw;dynamicslag

收稿日期：2022-05-25

基金項目：航空科學基金項目（202001012004）

作者簡介：魯嬌嬌（1995-），女，河南周口人，碩士。