利用極點極線探究從“圓”開始的定點問題

廣東省汕頭市澄海中學 (515800) 林建群 陳煥濤

在圓錐曲線問題中常常考察定點定值問題,很多定點定值問題隱藏在相關幾何關系中.圓具有完美的對稱性以及豐富的幾何性質,我們可以考察圓的相關問題,再猜想其在一般圓錐曲線中的相關結論.本文以一道圓中的定點問題為起點,利用極點極線理論發掘一般圓錐曲線中的定點問題.

一、試題的分析與求解

題目過直線x+y=4上一動點M,向圓O:x2+y2=4引兩條切線,A,B為切點,求圓C:(x+3)2+(y-3)2=1上的動點P到直線AB距離的最大值.(華中師大一附中2021-2022學年高二期考題).

分析:本題有兩個難點,一是求解直線AB的方程,二是動點到直線的距離問題.本題涉及到的直線與點都是運動的,本題的解題關鍵則在于發現運動中的不變性.

解析:設點M的坐標為(x0,y0),設切點A,B的坐標為(x1,y1),(x2,y2),設過點A的切線方程為lA,根據圓的幾何性質可得OA⊥lA.結合點A的坐標可得切線方程lA為x1x+y1y=4.因為點M∈lA,可得x1x0+y1y0=4(1).同理可得x2x0+y2y0=4(2).為此構造直線l:x0x+y0y=4,由上兩式可得A∈l,B∈l,即可得直線l即為直線AB.因為點M在直線x+y=4上,可得x0+y0=4,代入直線l可得x0(x-y)+4y-4=0,所以該直線過定點N(1,1).

反思:在本題中出現了兩個圓,直線AB為圓O的切點弦,其主要意義在于發現直線AB過定點.圓C的意義在于求解最值,而圓O也可承擔圓C的功能,所以此題略顯復雜.

筆者認為可以將原問題改編如下:

筆者在求解該問題后,再提出了如下的思考:(1)在本題中出現的直線x+y=4,圓O:x2+y2=4以及定點N(1,1)三者有什么必然聯系呢?(2)當將圓轉化為其他的圓錐曲線時,是否存在這樣的定點呢?

二、問題的本質探究

極點極線的幾何定義[1]:如圖1,P是不在圓錐曲線上的點,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點P對應的極線.

圖1

圖2

特別地對于高中常用的圓錐曲線:

(1)圓(x-a)2+(y-b)2=r2,點P(x0,y0)對應的極線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;

(4)拋物線y2=2px,對應的極線為y0y=p(x0+x).

極點與極線的基本性質:

定理2(1)當點P在圓錐曲線Γ上時,其極線l是曲線Γ在點P處的切線;(2)當點P在Γ外時,其極線l是切點弦所在的直線;(3)當點P在Γ內時,其極線l是過點P的弦兩端點的切線的交點所構成的集合;

定理3 (配極原則)點P關于圓錐曲線Γ的極線p經過點Q,點Q關于Γ的極線q經過點P;由此可知,共線點的極線必共點;共點線的極點必共線.

回到上文中的問題應用上述極點極線的結論可得:點M與直線AB(切線弦)即為一組極點極線;根據上述配極原則,我們可知點N(1,1)與直線x+y=4也是關于是圓O:x2+y2=4的一組極點極線.

三、一般圓錐曲線中的結論

例3 過直線l:2x-y+4=0上一動點M,向拋物線C:y2=4x引兩條切線,A,B為切點,求點P(-1,0)到直線AB距離的最大值.

注意到上述問題中出現的點P均是一個定點,當曲線為雙曲線及拋物線時,當點P為動點時,對應的距離的最大值不存在;當曲線為橢圓時,存在最大值,但表達式過于復雜,本文不再探究.

接下來,我們通過特殊化來研究橢圓條件下的最大值問題.

根據該定理,即可命制出如下問題: