圓錐曲線的又一奇妙性質

湖南省瀏陽市長郡瀏陽實驗學校 (410329) 李剖華

受文[1]啟發,筆者最近探得了圓錐曲線的過頂點且互相垂直的兩弦的一個統一性質,現以定理形式介紹如下:

圖1

(2)證明見文[2]．

圖2

(2)證明見文[2]．

證明過程可類比定理2給出,本文不再贅述．

定理4 如圖4,點M、N分別是拋物線y2=2px上不同于頂點O的兩點,且滿足NO⊥MO,則(1)直線MO與過點N且與x軸平行的直線m的交點R在定直線l:x=-2p上;

圖4

(2)直線MN過定點Q(2p,0).

(2)證明見文[2]．

由于x軸正方向無窮遠處可視為拋物線另一虛擬的頂點,過點N平行于x軸的直線m可視為過點N和拋物線(虛擬)頂點的一條直線,因此,定理1～4是關于圓錐曲線的一個統一的性質,可敘述為:

設A1、A2是圓錐曲線C在同一條對稱軸上的兩個頂點(若曲線C為拋物線,則A2是其對稱軸上無窮遠處(虛擬)的頂點),M、N是曲線C上異于A1、A2的兩點,且MA1⊥NA1,則

(1)直線MA2與直線NA1的交點R在與A1A2垂直的一條定直線上;

(2)直線MN與直線A1A2的交點是定點．