解決高中數(shù)學(xué)恒成立問題的策略選擇

陳亦勇

高中數(shù)學(xué)恒成立問題是高中教學(xué)中的一個重要問題，同時每年的高考也是一個必考的考點，它既是可以對學(xué)生單獨知識考點，也可以是把函數(shù)、方程等高中數(shù)學(xué)的重點問題聯(lián)合一起考查，故此學(xué)生對學(xué)習(xí)過程中普遍覺得困難頗大。這就要求教師從學(xué)生的現(xiàn)狀出發(fā)，然后根據(jù)實際問題采用相對應(yīng)的方法來解題。以下介紹幾種常見的解決高中數(shù)學(xué)中“恒成立”問題的手段。

一、函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)性質(zhì)法，往往是根據(jù)題意首先構(gòu)造一個函數(shù)，再根據(jù)這個函數(shù)的性質(zhì)來解題，強化“數(shù)”與“形”結(jié)合并互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

例1.若對于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，求x的取值范圍。

分析：本題可以構(gòu)造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)思想，從一次函數(shù)性質(zhì)出發(fā)求解。

解：若對于m∈[-2，2]，不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立，即mx2-mx+m-6<0恒成立，所以（x2-x+1）m-6<0恒成立，令函數(shù)f（m）= （x2-x+1）m-6， m∈[-2，2]，因為（x2-x+1）＝（x-1/2）2+3/4>0恒成立，所以函數(shù)? ? f（m）= （x2-x+1）m-6， 在m∈[-2，2]上單調(diào)遞增，所以只需要函數(shù)的最大值小于0即可，所以f（2）= （x2-x+1）×2-6<0，即x2-x-2<0，解得-1

對于此類恒成立問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生這樣思考：把二次不等式轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)，最后再根據(jù)函數(shù)圖像的單調(diào)性來處理。采用這種方法，關(guān)鍵在于把不等式、方程與函數(shù)之間關(guān)系靈活運用，并會相互轉(zhuǎn)化，突出解題采用的方法。

二、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法就是把參數(shù)分離出來以后，用變量和相對應(yīng)的函數(shù)來觀察主變量的大小的變化，從而判別參數(shù)的取值范圍。因此它是一種比較獨特的解法。

例２.若關(guān)于x的不等式 x2-2mx+1>0在[1/2，2]內(nèi)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。

分析：本題求字母m的范圍，可以在不等式中對字母m與變量x左右分離，再求解。

解：關(guān)于x的不等式x2-2mx+1>0在[1/2，2]內(nèi)恒成立，即m0，解得1

在二次不等式恒成立問題中，若原問題中限制自變量x在某個指定范圍內(nèi)取值，則最好先分離參數(shù)，然后構(gòu)造新函數(shù)，這樣解決問題比較方便。

三、判別式法

判別式法就是運用一元二次方程當(dāng)中的判別式來解決其他的數(shù)學(xué)問題的方法。利用判別式及它的推廣可以求某些參數(shù)的值或取值范圍。

例3.已知函數(shù)f（x）=x2-（m+5）x+2（m+5）在其定義域內(nèi)恒為非負(fù)，求關(guān)于x的方程2x/（m+1）=|m-2|+1的根的取值范圍。

分析：本題可以用二次函數(shù)中的判別式求出m的取值范圍，再確定2m的范圍，進而由值域求出定義域的取值范圍。

解：因為f（x）=x2-（m+5）x+2（m+5）在其定義域內(nèi)恒為非負(fù)，則Δ=（m+5）2-8（m+5）≤0，解得-5≤m≤3。

方程化為：2x=（m+1）（|m-2|+1）。當(dāng)-5≤m≤2時，2x=（m+1）（2-m+1），所以2x=-m2+2m+3=-（m-1）2+4，所以2x≤4，x≤2。當(dāng)2

此種方法利用了二次函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)或恒為非正數(shù)時，Δ≤0，求出m的范圍。

四、主參換位法

有一些包含參數(shù)的不等式恒成立問題，我們在把參數(shù)分離的時候是非常復(fù)雜，非常困難的，要求出某些函數(shù)的最大值或最小值的時候也有很大的難度，那么我們只有變換問題思考的方向：就是將所求的參數(shù)和主元的位置調(diào)過來，然后利用其他的已知條件解答出來。

例4.若不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的取值范圍。

解：原不等式化為關(guān)于m的不等式（x2-1）m-2x+1<0。設(shè)f（m）=m（x2-1）-2x+1，則要使f（m）<0，|m|≤2恒成立，只要f（-2）<0，f（2）<0，即-2（x2-1）-2x+1<0， 2（x2-1）-2x+1<0，解得（-1+ √7）/2

這道題主要是用參數(shù)作為自變量而建立了一個新的函數(shù)，將常見的不等式問題變?yōu)楹瘮?shù)在所在的區(qū)間上的值域問題。

責(zé)任編輯 徐國堅