《復(fù)變函數(shù)論》課程思政元素探析

張偉偉

（濰坊學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 濰坊 261061）

《復(fù)變函數(shù)論》課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的專業(yè)主干課程，是數(shù)學(xué)分析課程的深入與延續(xù)，也是實(shí)變函數(shù)、泛函分析等后續(xù)課程的理論基礎(chǔ)，同時(shí)該課程也是研究生階段復(fù)分析方向的基礎(chǔ)先行課程。課程的主要內(nèi)容為復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示法、解析函數(shù)的洛朗展式與孤立奇點(diǎn)、留數(shù)理論及其應(yīng)用、共形映射等。

復(fù)變函數(shù)這門課的高度抽象性和復(fù)雜性又使其比較難與思政內(nèi)容相結(jié)合，這就需要專任教師深入透徹把握課程知識(shí)，在教學(xué)過程中恰當(dāng)挖掘能與思政元素有機(jī)結(jié)合的切入點(diǎn)，讓思政元素自然的隱性的融入到課堂教學(xué)，力求思政元素和教學(xué)內(nèi)容做到無痕對接，產(chǎn)生“潤物無聲”的效果。本文以鐘玉泉編寫的《復(fù)變函數(shù)論》[1]這本教材為例，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，深入挖掘課程中的思政元素，為復(fù)變函數(shù)課程的思政教學(xué)改革提供支撐材料。近年來，有關(guān)復(fù)變函數(shù)思政元素挖掘的文章也出現(xiàn)了一些[2-3]，但僅涉及到課程中的部分知識(shí)點(diǎn)，本文從不同的知識(shí)點(diǎn)入手，結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，深入挖掘其中的思政元素。

1 構(gòu)造解析函數(shù)所蘊(yùn)含的思政元素

復(fù)變函數(shù)這門課程的主要研究對象是解析函數(shù)，解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程,利用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)的特性,可以證明它們還滿足拉普拉斯方程,即為調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)、電磁場理論、控制論等學(xué)科中有重要應(yīng)用。解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)有密切的聯(lián)系,調(diào)和函數(shù)的許多重要性質(zhì)是由解析函數(shù)所得,而解析函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用要以調(diào)和函數(shù)為橋梁。

解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，由調(diào)和函數(shù)構(gòu)造解析函數(shù)的方法主要有三種，分別是線積分法、偏積分法和原函數(shù)法。我們以已知實(shí)部u，找解析函數(shù)為例，比較分析這三種方法的異同，線積分法的思路是先求出虛部v 的全微分，然后通過曲線積分把v 求解出來，最后再和實(shí)部u 結(jié)合得到解析函數(shù)。偏積分法的思想是先求出虛部v 的偏導(dǎo)數(shù)，再通過對偏導(dǎo)數(shù)求偏積分把v 求解出來，最后和實(shí)部u 結(jié)合得到解析函數(shù)。原函數(shù)法的思想是直接去求解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后再找導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，從而得到解析函數(shù)。

我們用這三種方法分別求解同一個(gè)例題，根據(jù)解題過程，很明顯的可以看出這三種方法中原函數(shù)法用起來最簡便，為什么呢？深入挖掘一下，我們發(fā)現(xiàn)這三種方法解決問題的思路是不同的，角度也是不同的，線積分法和偏積分法的著眼點(diǎn)在“局部”，已知實(shí)部u，缺虛部v，那就先把缺少的那一部分找出來，然后再和實(shí)部組合得到整體的解析函數(shù)。然而原函數(shù)法的思路卻是完全不同的，它的著眼點(diǎn)是“整體”，它直接從全局入手，先求的導(dǎo)函數(shù)，然后只需一步不定積分，就可以很容易的把求解出來。

通過這三種方法的比較，我們發(fā)現(xiàn)如果在解決問題的時(shí)候眼光放的長遠(yuǎn)一點(diǎn)，能夠從整體出發(fā)，從全局考慮，那么問題解決起來可能會(huì)事半功倍。事實(shí)上，這里面也蘊(yùn)含著我們的人生智慧， 正所謂“不謀全局者，不足謀一域”。結(jié)合數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的師范性特點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生要胸懷天下，構(gòu)建“大教育格局”。教育為公，以達(dá)天下為公，把天下為公看作是教育工作者應(yīng)該具備的“大德”。引導(dǎo)學(xué)生明白教育要有大情懷大格局，成功的教育也需要大格局。

另外，我們發(fā)現(xiàn)雖然利用原函數(shù)法構(gòu)造解析函數(shù)更簡便，但是它在使用起來卻有個(gè)難點(diǎn)，那就是如何把x，y 的表達(dá)式表示成z 的形式，如果這個(gè)問題解決不了，那么原函數(shù)就很難求出來。這里我們可以給學(xué)生拓展一個(gè)簡便的方法，即如果解析函數(shù)的解析區(qū)域包含實(shí)軸的某一小段的話，可直接令y=0，x=z，則得z 的表達(dá)式。要想透徹理解這種方法，就需要解析函數(shù)的惟一性定理，也就是說想掌握好原函數(shù)法，必須要有更豐富更扎實(shí)的知識(shí)儲(chǔ)備。人生往往也是如此，我們要想看的遠(yuǎn)，就必須站的高，正所謂“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽縱山小”。 借此引導(dǎo)學(xué)生要不斷努力學(xué)習(xí)、不畏艱難、堅(jiān)持不懈、永攀高峰，只有站的高，才能看的遠(yuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生弘揚(yáng)偉大的創(chuàng)造精神、偉大的奮斗精神、偉大的夢想精神。結(jié)合數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的師范性特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生作為未來潛在的人民教師，更應(yīng)該努力學(xué)習(xí)、提高自己的本領(lǐng)，才能成為一名合格的人民教師，正所謂學(xué)高為師，身正為范。

2 柯西積分定理所蘊(yùn)含的思政元素

柯西積分定理是復(fù)變函數(shù)論的基本定理，也是研究復(fù)變函數(shù)論的鑰匙。它揭示了復(fù)積分的值與路徑無關(guān)的條件與被積函數(shù)的解析性及解析區(qū)域的單連通性有關(guān)，并給出了肯定的回答。通過定理內(nèi)容和證明的講解，教師可以適時(shí)引入柯西、古薩等人物的個(gè)人事跡，讓學(xué)生從這些名人數(shù)學(xué)家的故事中汲取精神營養(yǎng)，努力學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生不畏艱險(xiǎn)、敢于創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的人生觀、價(jià)值觀、世界觀。

如果把單連通區(qū)域解析推廣到多連通區(qū)域解析，就得到復(fù)周線上的柯西積分定理，這就是推廣之后的柯西積分定理。在講解閉路變形原理的證明時(shí)，需要用到“剪一刀”的方法，對多連通區(qū)域剪了一刀之后，就破壞了洞的存在，從而變成了單連通區(qū)域。通過這種方法就可以把多連通區(qū)域的問題轉(zhuǎn)化為已知的單連通區(qū)域的問題，這里面就蘊(yùn)含了化歸的思維方法。解決問題就是把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，借機(jī)培養(yǎng)學(xué)生的化歸思維，提高和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生用化歸的思維解決問題的能力。

另外，閉路變形原理揭示了解析函數(shù)的一個(gè)良好性質(zhì)，那就是解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。在講解該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考為什么必須是連續(xù)變形？為什么變形的過程中不能遇到奇點(diǎn)呢？奇點(diǎn)的價(jià)值和意義在哪？我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，影響復(fù)積分結(jié)果的恰恰就是這些特殊的另類的點(diǎn)——奇點(diǎn)。結(jié)合奇點(diǎn)的定義，引導(dǎo)學(xué)生深入思考奇點(diǎn)的特別之處和重要意義。其實(shí)人生也往往如此，如果你想成為那個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，你就要努力成為與眾不同的點(diǎn)，要獨(dú)具一格，有自己的獨(dú)特價(jià)值，盡量做到讓自己獨(dú)一無二、無可替代，否則就僅僅只是無數(shù)個(gè)點(diǎn)中普普通通的一個(gè)而已，終將成為被替代的那一個(gè)。引導(dǎo)學(xué)生找到自己身上的閃光點(diǎn)并不斷放大，最終讓自己成為一個(gè)自帶光芒的人，引導(dǎo)學(xué)生要不斷奮斗、頑強(qiáng)拼搏，培養(yǎng)學(xué)生的奮斗精神，激發(fā)學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，努力讓每一個(gè)學(xué)生都發(fā)展成為擁有自己光環(huán)的不可替代的一份子。

3 結(jié)束語

在《復(fù)變函數(shù)論》這門課程中，思政元素還有很多的挖掘空間，在復(fù)變函數(shù)的教學(xué)過程中，要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)的去思考挖掘思政元素，將課程思政以潛移默化、潤物無聲的融入德育教學(xué)之中，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，塑造學(xué)生品格、品行，實(shí)現(xiàn)“知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)與價(jià)值引領(lǐng)”三位一體思考問題和解決問題的能力進(jìn)行培養(yǎng)，而這種能力的培養(yǎng)的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直接告訴學(xué)生公式的內(nèi)容。當(dāng)然對于泰勒公式，要給出一些具體的案例，開拓學(xué)生視野，加深對公式內(nèi)涵的理解，以至于碰到一些難題時(shí)，不會(huì)感到惘然。