一類具有時滯和修正Leslie-Gower項捕食模型的Hopf分支

王雅迪 袁海龍

摘 要：主要研究在齊次Neumann邊界條件下的一類帶有修正Leslie-Gower項和Beddington-DeAngelis功能反應的時滯擴散捕食模型。首先，以時滯參數作為分支參數，研究了時滯效應對該捕食模型正常數平衡點穩定性的影響，并得到了產生Hopf分支的條件；其次，利用偏泛函微分方程的規范型理論和中心流形定理，給出了Hopf分支方向和分支周期解的穩定性；最后，借助MATLAB軟件進行數值模擬，驗證結論。

關鍵詞：Hopf分支； 時滯；捕食-食餌模型； 修正Leslie-Gower；穩定性

中圖分類號：O175.12文獻標志碼：A文章編號：1001-2443（2023）01-0022-13

引 言

捕食關系作為自然界中最重要和最廣泛的種間關系之一，在生物種群現象的研究中起到至關重要的作用。近年來，眾多學者通過對捕食-食餌模型的探討，取得了非常豐富的研究成果［1-4］。2011年，Melese和Gakkhar［5］研究了如下帶有修正Leslie-Gower項和Beddington-DeAngelis功能反應函數的捕食-食餌模型

其中[u]和[v]分別表示食餌和捕食者的種群數量；[r1]和[r2]分別表示食餌和捕食者的內稟增長率；[K]表示食餌的最大環境容納量；[g]表示最大消耗速率；[α]表示飽和常數；[m]代表捕食者干擾；模型中所有參數均為正數。其中[gu/α+u+mv]是Beddington-DeAngelis功能反應函數，反映了捕食者的捕食能力對食餌數量規模的飽和反應；修正Leslie-Gower項[βv/u+b]的建立是基于當捕食者在所偏愛的食餌匱乏情況下，轉向去獲取其它食物來源的假設。

考慮（1）在齊次Neumann邊界條件下的擴散系統

其中[Ω?RN（N≥1）]為具有光滑邊界[?Ω]的有界開集；[ν]是[?Ω]上的單位外法向量；[Δ]是拉普拉斯算子；[D1]和[D2]分別表示食餌和捕食者的擴散系數，均為正常數。

對于系統（2），Melese和Gakkhar［5］討論了唯一正平衡點的局部漸近穩定性，并指出在某些條件下Turing不穩定將不會在該平衡點處產生；Yang［6］利用比較原理方法研究了唯一正平衡點的全局漸近穩定性；陳平和胡廣平［7］則研究了Turing不穩定出現的條件及時空模式的存在性，并對無擴散影響的空間齊次系統，分析了正平衡點的穩定性以及Hopf分支的存在性；此外，Li［8］等人研究了一類脈沖擴散捕食系統，利用比較原理和Lyapunov函數得到了系統存在唯一全局穩定周期解的條件。

在現實自然界中，時間滯后現象普遍存在，因此將時滯效應引入到生物模型中，有利于對系統動力學行為做更深入、全面的研究。Yang和Wei［9］在系統（2）的基礎上，考慮了如下時滯反應擴散模型

其中[τ]代表時滯參數，對于此系統，他們研究了時滯對非負平衡點穩定性的影響以及Hopf分支.Yang和Zhang［10］則考慮在時滯模型（3）基礎上加入食餌避難常數后系統的動力學行為。此外，Liu［11］考慮給系統（1）引入反饋時滯，則有

并研究了其系統的局部穩定性和Hopf分支。

基于以上分析，本文在系統（2）的基礎上考慮如下模型

其中，時滯[τ]代表捕食者的成熟期。為了書寫方便，作無量綱變換，令

受生物種群在繁衍過程中成熟期的影響，當前時態的種群增長率總是與之前某一時態的種群數量有關。在此生物學背景下，考慮給系統（2）中捕食者種群引入時滯后，本文分別對常微和偏微系統研究了時滯效應對正常數平衡點穩定性的影響，以及在正常數平衡點處Hopf分支產生的條件，并計算了分支周期解的穩定性和分支方向.結果表明，當時滯參數[τ]在經過某一臨界值時，系統會由穩定狀態變為不穩定狀態，并產生Hopf分支。文中分別用[?0]和[?+]表示非負整數集和正實數集。

1 正常數平衡點的穩定性和Hopf分支的存在性

1.1 帶時滯的常微分系統

本節考慮如下帶有時滯參數的常微分系統

取[τ=3.46>τ0]和初值[u（x，t）=u*+0.05tsin（0.54x）]，[v（x，t）=v*+0.05tsin（0.54x）]，因此由定理1.4和定理2.1可知系統（14）在正常數平衡點[（u*，v*）]處產生Hopf分支，如圖4。

4 結 論

本文提出了一個帶有修正Leslie-Gower項和Beddington-DeAngelis功能反應的時滯擴散捕食模型，研究時滯對該模型動力學行為的影響。利用穩定性理論討論了該系統平衡點處局部穩定性和Hopf分支發生的條件，并通過中心流形定理和規范型理論分析了Hopf分支的方向和周期解的穩定性。數值模擬出該系統在不同時滯作用下的時間序列圖。從數值模擬結果中可以看出，系統（6）和（14）中時滯參數發生變化時其生態意義有如下變化：當時滯參數小于某個臨界值時，捕食者和食餌的種群密度會在特定區域內趨于一個正平衡態，保持穩定；而當時滯參數超過該臨界值時，兩種群的密度變化會呈現周期振蕩模式。因此時滯效應是影響捕食系統種群密度變化的一個重要因素。

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Hopf Bifurcation Analysis of a Predator-Prey Model with Modified Leslie-Gower Functional Response and Time Delay

WANG Ya-di， YUAN Hai-long

（School of Mathematics and Data Science， Shaanxi University of Science and Technology， Xi'an 710021， China）

Abstract： In this paper， a diffusive modified Leslie-Gower-type predator-prey model with time delay and Beddington-DeAngelis functional response subject to Neumann boundary condition is considered. By choosing the time delay as the bifurcation parameter， the stability/instability of the unique positive constant equilibrium and the existence of Hopf bifurcation are investigated. In addition， the formulae to determine the direction of the Hopf bifurcations and the stability of the bifurcating periodic solutions by applying the theory of normal form and center manifold for partial differential equation are derived. Finally， some numerical simulations are carried out to support the analytical results.

Key words： Hopf bifurcation； time delay； predator-prey model； modified Leslie-Gower； stability

（責任編輯：馬乃玉）