2023年高考“概率統計”復習指導

魯和平 孫洪梅

【摘要】本文對2022年高考數學的“概率統計”試題作出了全面深入的分析，對2023年高考數學的“概率統計”試題命題趨勢作了初步的估計和預測.按照考思維考素養的原則出發，深刻領會“無情境不出題”“無創新不成題”的精神，編擬了“概率統計”題目，供大家專題復習選用.

【關鍵詞】高考試題；概率統計；情境；創新

12022年高考回顧和2023年高考分析

1.12022年“概率統計”試題特點分析

（1）題型穩定，題量穩定.選填題1—2道，解答題1道，分值17—22分.重點考查了古典概型、排列組合（相鄰問題）、正態分布、條件概率、頻率直方圖、期望、對立事件.

（2）情境真實，立德樹人.概率統計融合真實情境，是立德樹人的重要考查載體.如全國甲卷第2題的“垃圾分類”；全國乙卷第19題“荒山改造成綠水青山”；新高考Ⅰ卷的“地方性疾病防治與衛生習慣”.

（3）信息量大，綜合性強.概率統計試題閱讀量大，需要提取信息再對信息加工分析，對學生的綜合能力要求高.

1.22022年“概率統計”試題考查問題分析

（1）樣本估計總體的思想.主要以頻率分布直方圖、折線圖、雷達圖、條形圖、餅圖等圖表為載體，考查學生數據處理、數學運算素養.

（2）隨機事件的概率.主要考查的知識點：用頻率估計概率，古典概型，條件概率和全概率公式，互斥事件，對立事件，相互獨立事件.

（3）隨機事件及其分布列.主要考查二項分布、超幾何分布、正態分布.

（4）成對數據的統計分析.主要考查成對數據的統計習慣性，一元線性回歸模型及其應用，列聯表與獨立性檢驗.

1.32022年“概率統計”試題立意分析

（1）立德樹人，五育并舉，滲透社會主義核心價值觀.

（2）考查概率統計的基本思想方法和學科核心素養.

（3）注重生活背景，體現科技創新、中外優秀文化、經濟建設成果、跨學科整合，突出數學的應用價值.

1.4結合《中國高考報告2023》［1］，2023年“概率統計”命題趨勢分析

預計選填題（1—2道）和解答題（1道），總分值為17—22分.

（1）加強基本概念和基本的概率統計思想的考查.

（2）重視學生在復雜情境下，提取數據、分析數據及分析問題與解決問題的能力.

（3）高度重視數學建模、讀圖識圖能力的考查.

（4）注重與函數、導數、不等式、數列等知識的密切融合.

1.52023年高考（重點、難點、熱點）透視

重點：（1）古典概率；事件的相互獨立性；對立事件、條件概率；全概率公式.

（2）離散型隨機變量的分布列；期望與方差.

（3）二項分布；超幾何分布；正態分布.

（4）各種統計圖表的數據分析.

（5）2×2列聯表；獨立性檢驗.

難點：（1）條件概率.

（2）超幾何分布與二項分布的關系.

（3）數據分析中平均數、眾數、中位數、百分位數的含義及區別.

（3）遞推數列型概率；建立函數模型用導數法求解概率問題

熱點：（1）古典概率；對立事件；事件和的概率 .

（2）條件概率.

（3）獨立性檢驗.

（4）在復雜情境中分析數據，提出決策依據和風險評估.

22023年高考知識點復習試題

一、選擇（1—12為單選，13—18為多選）

1.（本題考查古典概型概率的計算）《周易》是我國古代漢民族思想與智慧的結晶，被譽為“大道之源”.其中的八卦（即乾卦、坤卦、震卦、巽卦、坎卦、離卦、艮卦、兌卦）蘊含深奧的哲理，所謂“太極生兩儀（即陰陽），兩儀生四象（即少陽，太陽，少陰，太陰），四象演八卦.每卦由3爻自下而上組成，稱為3爻卦，爻分陽爻和陰爻，分別用基本符號“”和“”表示：每兩卦自下而上疊加為六十四重卦，如由坤卦：和乾卦：自下而上疊加為一重卦：.現從所有的重卦中任取一卦，則其上卦為乾卦且下卦中至多含有一個陰爻的概率是（）.

A.12B. 18C. 116D. 364

2.（本題考查頻率分布直方圖的應用）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：

根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（）.

A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%

B. 該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%

C. 估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D. 估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間

3.（本題考查條件概率的計算，二項分布的方差，超幾何分布的概率計算）已知袋子中有a個紅球和b個藍球，現從袋子中隨機摸球，則下列說法正確的是（）.

A.每次摸1個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第2次摸到紅球的概率為ba+b

B. 每次摸1個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為a（a-1）（a+b）（a+b-1）

C. 每次摸出1個球，摸出的球觀察顏色后放回，連續摸n次后，摸到紅球的次數X的方差為naa+b

D. 從中不放回摸n（n≤a）個球，摸到紅球的個數x=k的概率是P（X=k）=CkaCn-kbCna+b

4.（本題考查二項分布、正態分布的有關知識）下列命題中，不正確的命題是（）.

A.已知隨機變量X服從二項分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，則p=23

B. 已知P（BA）=0.34，P（B）=0.71，則P（BA）=0.37

C. 設隨機變量ξ服從正態分布N（0，1），若P（ξ>1）=p，則P（-1<ξ<0）=12-p

D. 某人在10次射擊中，擊中目標的次數為X，X～B（10，0.8），則當X=8時概率最大

5.（本題考查平均數、方差的性質以及樣本數據中的最大值的求法）水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病，易在春天爆發．市疾控中心為了調查某校高一年級學生注射水癥疫苗的人數，在高一年級隨機抽取5個班級，每個班抽取的人數互不相同，若把每個班級抽取的人數作為樣本數據．已知樣本平均數為7，樣本方差為4，則樣本數據中的最大值是（）．

A.11B.10C.8D. 9

y1y2x1acx2bd6.（本題考查獨立性檢驗）為直觀判斷兩個分類變量X和Y之間是否有關系，若它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，通過抽樣得到如右表，則下列哪兩個比值相差越大，可判斷兩個分類變量之間的關系應該越強（）.

A.ab+d與ba+c B. aa+b與cc+d

C. ac+d與ba+bD. aa+d與bb+c

7.（本題考查獨立性檢驗的應用）在對吸煙與患肺病這兩個分類變量的獨立性檢驗中，下列說法正確的序號是（）.

（參考數據：p（χ2≥6.635）=0.01）

A.若χ2的觀測值滿足χ2≥6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病沒有關系

B. 若χ2的觀測值滿足χ2≥6.635，那么在100個吸煙的人中約有99人患有肺病

C. 從獨立性檢驗可知，如果有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，那么我們就認為：每個吸煙的人有99%的可能性會患肺病

D. 從統計量中得知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，是指有1%的可能性使推斷出現錯誤

8．（本題考查相關系數、線性回歸直線方程等）下列命題中不正確的是（）.

A．在回歸分析中，相關系數r的絕對值越大，兩個變量的線性相關性越強

B．對分類變量X與Y，它們的隨機變量K2的觀測值k越小，說明“X與Y有關系”的把握越大

C．線性回歸直線=x+恒過樣本中心，

D．在回歸分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好

9．（本題考查超幾何分布、古典概型）袋中有6個大小相同的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10，現從中任取4個球，則下列結論中正確的是（）.

①取出的最大號碼X服從超幾何分布；

②取出的黑球個數Y服從超幾何分布；

③取出2個白球的概率為114；

④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為114.

A．①②B．②④C．③④D．①③④

10．（本題考查條件概率、全概率公式）甲箱中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有3個紅球，3個白球和3個黑球，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以A1，A2和A3分別表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結論正確的是（）.

A．事件B與事件Ai（i=1，2，3）相互獨立

B．P（A1B）=845

C．P（B）=13

D．P（A2|B）=431

11．（本題考查數據的數字特征）根據氣象學上的標準，連續5天的日平均氣溫低于10℃即為入冬，將連續5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是自然數）作為一組樣本，現有4組樣本①、②、③、④，依次計算得到結果如下：

①平均數<4；

②平均數<4且極差小于或等于3；

③平均數<4且標準差s≤4；

④眾數等于5且極差小于或等于4．

則4組樣本中一定符合入冬指標的共有（）.

A．1組B．2組C．3組D．4組

12．（本題考查中位數和方差的定義與應用）第24屆冬季奧運會于2022年2月4日至20日在北京舉行，中國代表團取得了9枚金牌，4枚銀牌，2枚銅牌的歷史最好成績.已知六個裁判為某一運動員這一跳的打分分別為95，95，95，93，94，94，評分規則為去掉六個原始分中的一個最高分和一個最低分，剩下四個有效分的平均數即為該選手的本輪得分.設這六個原始分的中位數為a，方差為s2；四個有效分的中位數為a1，方差為s21.則下列結論正確的是（）.

A．a≠a1，s21

C．a=a1，s2

13.（本題考查數據的離散程度）下列統計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是（）.

A．樣本x1，x2，…，xn的極差

B．樣本x1，x2，…，xn的中位數

C．樣本x1，x2，…，xn的標準差

D．樣本x1+1，x2+1，x3+1，…，xn+1的方差

14．（本題考查線性回歸方程的應用）已知由樣本數據點集合{（xi，yi）|i=1，2，…，n}，求得回歸直線方程為=2x－1，且=3，現發現兩個數據點（2.2，3.3）和（3.8，6.7）誤差較大，去除后重新求得的回歸直線l的斜率為1.2，則（）.

A．變量x與y具有正相關關系

B．去除后的回歸方程為=1.2x+1.4

C．去除后y的估計值增加速度變慢

D．去除后相應于樣本點（2.5，4）的殘差為0.4

15．（本題考查概率的性質）已知事件A，B，C，且P（A）=0.5，P（B）=0.3，則下列結論正確的是（）.

A．如果P（A∪B∪C）=1，那么P（C）=0.2

B．如果A與B互斥，那么P（A∪B）=0.8，P（AB）=0

C．如果BA，那么P（A∪B）=0.5，P（B|A）=0.6

D．如果A與B相互獨立，那么P（A∪B）=0.65，P（）=0.35

16．（本題考查獨立事件和二項分布）在某獨立重復實驗中，事件A，B相互獨立，且在一次實驗中，事件A發生的概率為p，事件B發生的概率為1－p，其中p∈（0，1）.若進行n次實驗，記事件A發生的次數為X，事件B發生的次數為Y，事件AB發生的次數為Z.則下列說法正確的是（）.

A．E（X）=E（Y）B．D（X）=D（Y）

C．E（Z）=D（X）

D．n·D（Z）=D（X）·D（Y）

17．（本題考查均值和方差的計算）已知兩組樣本數據x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5的均值和方差分別為，和s21，s22，若xi+yi=100且xi>yi（i=1，2，3，4，5），則（）.

A．> B．+=100

C．s21>s22D．s21=s22

18．（本題考查正態分布）已知ξ～N（μ，σ2），則ξ－μσ～N（0，1）．某次數學考試滿分150分，甲、乙兩校各有1000人參加考試，其中甲校成績X～N（90，302），乙校成績Y～N（95，202），則（）.

A．甲校成績在80分及以下的人數多于乙校

B．乙校成績在110分及以上的人數少于甲校

C．甲、乙兩校成績在90～95分的人數占比相同

D．甲校成績在85～95分與乙校成績在90～100分的人數占比相同

二、填空（1—11為單空，12—16為雙空）

1. （本題考查古典概型和排列組合）新冠疫情期間，網上購物成為主流．因保管不善，五個快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個快遞應分別送去甲乙丙丁戊五個地方，全部送錯的概率是.

2. （本題考查分類加法計數原理） 十二生肖是中國特有的文化符號，有著豐富的內涵，它們是成對出現的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對．現有十二生肖的吉祥物各一個，按照上面的配對分成六組．甲、乙、丙三位同學依次選一組作為禮物，甲同學喜歡龍和馬，乙同學喜歡牛、羊和猴，丙同學喜歡兔、馬、狗．如果甲、乙、丙三位同學選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數為．

3．（本題考查百分位數和平均數的計算）以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數據：

甲組：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；

乙組：17，22，32，43，45，49，b，56．

若甲組數據的第40百分位數和乙組數據的平均數相等，則8a－2b=．

4．（本題考查二項式定理）設整數n>4，（x+2y－1）n的展開式中xn－4與xy兩項的系數相等，則n的值為 .

5. （本題考查回歸直線方程的應用）已知x與y之間的一組數據如表所示：

當m變化時，回歸直線=x+必經過定點．

6.（本題考查正態分布曲線的特點以及曲線所表示的意義）現實世界中的很多隨機變量遵循正態分布．例如反復測量某一個物理量，其測量誤差X通常被認為服從正態分布．若某物理量做n次測量，最后結果的誤差，Xn ～N0，2n，則為使|Xn|≥14的概率控制在0.0456以下，至少要測量的次數為.

（附：隨機變量X～N（μ，σ2），則P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.9544，P（u－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974）

7.（本題考查離散型隨機變量的分布列、二項分布等）一次拋擲兩顆質地均勻的正方體骰子，若出現的點數是2倍關系，則稱這次拋擲“漂亮”．規定一次拋擲“漂亮”得分為3，否則得分為－1．若拋擲30次，記累計得分為ξ，則E（ξ）＝.

8.（本題考查回歸直線方程的應用）某工廠為研究某種產品的產量x（噸）與所需某種原材料的質量y（噸）的相關性，在生產過程中收集4組對應數據（x，y），如下表所示．（殘差=觀測值-預測值）

根據表中數據，得出y關于x的經驗回歸方程為=0.7x+.據此計算出在樣本（4，3）處的殘差為-0.15，則表中m的值為．

9．（本題考查正態分布曲線的應用）已知隨機變量X服從正態分布N（μ，σ2），有下列四個命題：

甲：P（X>m+1）>P（X

乙：P（X>m）=0.5；

丙：P（X≤m）=0.5；

丁：P（m－1

如果只有一個假命題，則該命題為.

10．（本題考查均值與方差的關系和性質）已知變量X，Y滿足回歸模型Y=aX2+b+e，

E（e）=0，D（e）=σ2，令Z=X2，利用=11，=15的樣本數據得到經驗回歸直線方程=16Z－9，則根據樣本數據估計變量X的方差為.

11. （本題考查平均數和方差的公式的運用）已知樣本數據x1，x2，…，xn的平均數與方差s2滿足如下關系式：

s2=∑ni=1（xi-）2n=∑ni=1（x2i）-n·2n．

若已知15個數x1，x2，…，x15的平均數為6，方差為9；現從原15個數中剔除x1，x2，x3，x4，x5這5個數，且剔除的這5個數的平均數為8，方差為5，則剩余的10個數x6，x7，…，x15的方差為．

12. （本題考查回歸直線方程）在一次考試中，5名學生的數學和物理成績如下表：（已知學生的數學和物理成績具有線性相關關系）

現已知其線性回歸方程為=0.36x+，則=，根據此線性回歸方程估計數學得90分的同學的物理成績為．

13. （本題考查利用頻率分布直方圖求中位數、平均數）某校從參加學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖2所示，這次測試數學成績的中位數為（精確到（0.1），這次測試數學成績的平均數為．

14.（本題考查數據的中位數與標準差的應用問題）已知總體的各個個體的值由小到大依次為3，7，a，b，12，20，且總體的中位數為12，若要使該總體的標準差最小，則a=，b=．

15.（本題考查分層抽樣的平均數和方差的計算）某學校為了了解教師職稱的年齡分布情況，對全校中級教師和高級教師采用分層抽樣的方法進行抽樣分析，抽得中級教師的人數為50人，其平均年齡為36歲，方差是2；抽得高級教師的人數為10人，其平均年齡為48歲，方差是8，則估計該校全體中級教師和高級教師年齡的平均數為，方差為．

16.（本題考查全概率和條件概率）有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%；加工出來的零件混放在一起，且第1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的25%，30%，45%.現從加工出來的零件中任取一個零件，則取到的零件是次品的概率為，取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為．

3解答題

1.（本題考查獨立重復事件概率、數學期望、概率中的函數模型、導數法解決概率問題、通過概率計算指導決策）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一件產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中取出20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0.

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（ⅰ）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否對這箱余下的所有產品檢驗？

2.（本題考查互斥事件的概率、遞推數列、數列型概率）棋盤上標有第0，1，2，…，100站，棋子開始時位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲.若拋擲出正面，棋子向前跳出一站；若拋擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時，游戲結束.設棋子跳到第n站的概率為Pn.

（1）求P3的值；（2）證明：Pn+1－Pn=－12（Pn－Pn－1）（2≤n≤99）；（3）求P99，P100的值.

3.（本題考查獨立重復事件的概率、二項分布換元法、基本不等式和二次函數在概率中的運用）某中學為宣傳未成年人保護法，特舉行一次未成年人保護法知識競賽，比賽規則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數不少于3題，被稱為“優秀小組”，已知甲、乙兩位同學組成一組，且同學甲和同學乙答對每道題的概率分別為p1，p2，若p1+p2=65，且每輪競賽互不影響，如果甲、乙同學在此次競賽活動中要想獲得“優秀小組”的次數為9次，那么理論上至少要進行多少輪競賽？

4.（本題考查條件概率、二項分布、概率中的不等式模型）某電臺舉辦有獎知識競賽，選手答題規則相同.選手甲每道題自己有把握獨立答對的概率為12，若甲自己沒有把握答對，則在規定時間內連線親友團尋求幫助，其親友團每道題能答對的概率為p，假設每道題答對與否互不影響.

（1）當p=15時，

①若甲答對了某道題，求該題是甲自己答對的概率；

②甲答了4道題，計甲答對題目的個數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和數學期望E（X）.

（2）選手乙答對每道題的概率為23（含親友團），現甲、乙兩人各答兩個問題，若甲答對題目的個數比乙答對題目的個數多的概率不低于1536，求甲的親友團每道題答對的概率p的最小值.

5．（本題考查古典概型、分布列、期望、條件概率、概率證明問題）某大學有A，B兩個餐廳為學生提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晚餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統計如下：

假設甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率.

（1）分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率和乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；

（2）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數，求X的分布列和數學期望E（X）;

（3）假設M表示事件“A餐廳推出優惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，P（M）>0，一般來說在推出優惠套餐的情況下學生去該餐廳的概率會比不推出優惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：P（M|N）>P（M|）.

6.（本題考查隨機抽樣2×2列聯表、獨立性檢驗、概率最值問題）我市為了解學生體育運動的時間長度是否與性別因素有關，從某幾所學校中隨機調查了男、女各100名的平均每天體育運動時間，得到如下數據：

根據學生課余體育運動要求，平均每天體育運動時間在（60，120］內認定為“合格”，否則被認定為“不合格”，其中，平均每天體育運動時間在（90，120］內認定為“良好”.

（1）完成下列2×2列聯表，并依據α=0.005的獨立性檢驗，分析學生體育運動時間與性別因素無關聯：

（2）從上述100個女生平均每天體育運動時間在（0，40］，（40，60］，（60，90］，（90，120］的人中用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取2人，記X為2人中平均每天體育運動時間為“良好”的人數，求X的分布列及數學期望；

（3）從全市學生中隨機抽取100人，其中平均每天體育運動時間為“良好”的人數設為ξ，記“平均每天體育運動時間為‘良好的人數為k”的概率為P（ξ=k），視頻率為概率，用樣本估計總體，求P（ξ=k）的表達式，并求P（ξ=k）取最大值時對應的k的值.

7.（本題考查回歸分析、最小二乘法、回歸方程、擬合效果）為調查某地區植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數量y的關系，某研究小組將該地區等面積劃分為200個區塊，從中隨機抽取20個區塊，得到樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，20），部分數據如下：

經計算得∑20i=1xi=60，∑20i=1yi=1200，

∑20i=1（xi－）2=80，∑20i=1（xi－）（yi－）=640.

（1）利用最小二乘法估計建立y關于x的線性回歸方程；

（2）該小組又利用這組數據建立了x關于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標系xoy下，橫坐標x、縱坐標y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數量y一致.

（ⅰ）比較前者與后者的斜率大小，并證明；

（ⅱ）求這兩條直線的公共點坐標.

（附：y關于x的回歸方程=+x中，斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

=∑ni=1（xi－）（yi－）∑ni=1（xi－）2，=－.）

參考答案

一、選擇題

1.C；2.C；3.D；4.A；5.B；6.B；7.D；8．B；9．B；10．B；11．B；12．D；13.ACD；14．ABC；15．BCD；16．BC；17．ABD；18．AB.

二、填空題

1. 1130 ；2. 12；3．200；4．51；5.32，5；6.128；

7.-10；8.4.5；9．丁；10．23；11.8；12.40.8，73.2；

13.73.3，72；14.12，12；15.38，23；16.0.0525，37.

三、解答題

略.

參考文獻

［1］中國高考報告學術委員會.中國高考報告2023[M].北京：新華出版社，2023.

作者簡介

魯和平（1964—），男，湖北天門人，湖北省特級教師；主要研究高中數學解題方法；主持浙江省教科研規劃課題1項，市級教科研規劃課題2項；發表論文80余篇.

孫洪梅（1983—），女，山東曲阜人，中學高級教師；主要研究數學課堂教學藝術；發表論文4篇.