2023年高考“立體幾何”復習指導

劉才華 王俊嶺 王傳鋒

【摘要】本文首先給出2022年高考立體幾何命題分析，然后給出2023年高考備考的六個重點提醒：（1）重視幾何體中基本量的運算；（2）重視以長方體和球為載體的綜合題；（3）重視解答題的規范性；（4）重視動態幾何問題；（5）重視立體幾何和其它章節知識的融合；（6）重視數學文化、數學建模和跨學科知識在立體幾何中的滲透.

【關鍵詞】立體幾何；命題分析；重點提醒；規范性；動態幾何；跨學科

立體幾何的研究對象是現實世界中物體的形狀、大小與位置關系，是高中數學教學的重要內容，也是高考考查的主要內容之一.課程標準在立體幾何學業要求上，有如下明確的要求：（1）能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實際問題；（2）能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關系和基本結果；（3）能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質定理），并會進行簡單應用；（4）能夠理解空間向量的概念、運算、背景和作用；（5）能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關系的想象力；（6）能夠掌握空間向量基本定理，體會其作用，并能簡單應用；（7）能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題，體會用向量解決一類問題的思路. 重點提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象等素養（見文［1］）.

12022年高考立體幾何命題分析

從2022年全國各套高考數學試題來看，立體幾何一般包括一至三道客觀小題，一道兩問或三問的主觀解答題，總分在22～27分之間，約占全卷總分的15%～18%，難度整體上相對保持穩定，難易適中，分文理科的題目相同，順序微調，或者題干條件相同，問題稍有區別，難度差逐漸縮小，有利于文理同卷的平穩過渡. 客觀題以單項選擇題、多項選擇題或填空題呈現，除了涉及三視圖、空間圖形翻折、數學文化時給出圖形外，其它情形一般不給出圖形，主要考查畫圖、識圖和用圖的能力，側重于簡單幾何體（柱、錐、臺，球）或簡單組合體基本量的計算，相關性質的考查等；主觀解答題以簡單幾何體（柱、錐、臺）或不規則幾何體為載體，主要采用“一半證明、一半計算”相結合的模式，第一問側重考查位置關系的證明，考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，第二問側重度量關系的計算，以角或距離的運算為主. 試題重點考查考生的直觀想象、數學運算、數學抽象、邏輯推理及數學建模等素養.

1.1新高考1卷

2022年“三小一大”（題4，8，9，19）.三小均無圖，分別以四棱臺、正四棱錐、球、正方體為載體，考查幾何體中基本量間的關系，四棱臺和四棱錐體積公式，異面直線所成角（實質是垂直）和直線與平面所成角等，其中第8題是單項選擇壓軸題，較為綜合，集正四棱錐和球于一身，同時考查了導數在立體幾何中的應用.解答題以直三棱柱為載體，第1問利用等體積法求點到平面的距離；第2問已知線段長度間的關系，二面角的大小和平面與平面垂直，求二面角的正弦值.

新高考1卷近三年考查的共同點：（1）小題一般不給圖形；（2）都考查了垂直關系；（3）解答題第2問條件都是已知線段長度間的關系.

1.2新高考2卷

2022年“兩小一大”（題7，11，20）.第7題（無圖）以正三棱臺和球的組合體為載體，考查幾何體中基本量間的關系和球的表面積公式；第11題（有圖）以底面為正方形的不規則幾何體為載體，考查錐體的體積公式和體積間的關系；第20題以底面為直角三角形的三棱錐為載體，第1問證明線面平行；第2問已知角的大小和線段長，求二面角的正弦值.

新高考2卷近三年考查的共同點：（1）小題一般不給圖形；（2）都考查了球；（3）解答題都是以錐體為載體.

1.3全國甲卷

2022年理科試卷“三小一大”（題4，7，9，18）.第4題已知三視圖求幾何體體積；第7題以長方體為載體考查線段長度間關系和直線與平面所成角（實質上是長方體體對角線與相交于同一個頂點的三個側面所成角的一個性質）；第9題以圓錐為載體考查基本量間的關系，側面展開圖，面積及體積間的關系；第18題是側棱與底面垂直，底面是等腰梯形的四棱錐，考查直線與直線垂直，直線與平面所成角的正弦值.

文科試卷小題同理科，第19題以底面為正方形的不規則幾何體為載體，考查直線和平面平行，幾何體的體積.

1.4全國乙卷

2022年理科試卷“兩小一大”（題7，9，18）.第7題以長方體為載體考查平面與平面垂直，平面與平面平行；第9題以四棱錐和球體組合體為載體，考查體積最值問題，不等式和導數的應用；第18題以三棱錐為載體，考查平面與平面垂直，直線與平面所成角的正弦值，第2問以三角形面積最小作為題目條件.

文科試卷“兩小一大”（題9，12，18）同理科，第18題以三棱錐為載體，考查平面與平面垂直，三棱錐的體積，第2問以三角形面積最小作為題目條件.

1.5北京卷

2022年“一小一大”（題9，17）.第9題以正四面體為載體考查點的軌跡；第17題以三棱柱為載體，正方形面與平面垂直為條件，第1問證明直線與平面平行，第2問為結構不良題型，從直線與直線垂直和兩條線段相等中選擇一個，求直線與平面所成角的正弦值.

1.6天津卷

2022年“一小一大”（題8，17）.第8題是一道應用題，求組合體的體積；第17題以放倒的三棱柱為載體，第1問證明直線與平面平行，第2問求直線與平面所成角的正弦值，第3問求二面角的余弦值.

1.7浙江卷

2022年“兩小一大”（題5，8，19）.第5題以三視圖為載體，考查組合體的體積；第8題以正三棱柱為載體，考查異面直線所成角，直線與平面所成角和二面角，比較三個角的大小；第19題以不規則幾何體為載體，二面角大小作為條件，求直線與平面所成角的正弦值.

1.8上海卷

2022年“兩小一大”（題5，15，17）.第5題以圓柱為載體，已知高和底面積求其側面積；第15題以正方體為載體，給出新定義，考查空間兩條直線的位置關系；第17題以三棱錐為載體，給出線段中點，直線和平面垂直，部分線段長度，第1問求其體積，第2問求直線與平面所成角的大小.22023年考前重點提醒

對于2023年高考立體幾何備考，我們給出六個重點提醒：（1）重視幾何體中基本量的運算；（2）重視以長方體和球為載體的綜合題；（3）重視解答題的規范性；（4）重視動態幾何問題；（5）重視立體幾何和其它章節知識的融合；（6）重視數學文化、數學建模和跨學科知識在立體幾何中的滲透.供考前備考借鑒參考.說明：下面的選擇題，沒有注明的題目為單項選擇題.

2.1重視幾何體中基本量的運算

選擇簡單幾何體或簡單的組合體為載體，考查幾何圖形的概念、特征及基本元素之間的相互關系.對于不規則的組合體能進行合理的分割或補體.

2.1.1以簡單幾何體為載體的運算

題1在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，直線AA1與直線CC1所成角為π2，則直線AA1與BC所成角為（）.

A.π2B.π3C.π4D.π6

題2已知圓錐的頂點為S，其側面展開圖為一個半徑為2，角度為3π的扇形.過兩條母線SA，SB作截面得到△SAB，則△SAB的面積最大值為（）.

A.2 B.3C.4D.23

題3（多項選擇題）已知四邊形ABCD是等腰梯形（如圖1-1），AB=3，CD=1，∠BAD=45°，DE⊥AB.將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖1-2），連結AC，AB，設F是AB的中點.下列結論中正確的是（）.

A.CF∥平面ADE

B.AD⊥BC

C. 點F到平面AEC的距離為22

D.四面體AECB的外接球的體積為5π6

2.1.2以組合體為載體的運算

題4底角為60°的等腰梯形中，O1，O為上、下底邊的中點，上、下底邊長分別為4，8.現在以直線OO1為軸旋轉形成一個圓臺，過線段OO1的中點作平行底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，此圓柱的下底面在圓臺的下底面上，則所得圓柱與原圓臺的體積之比為（）.

A.2∶1B. 5∶3C.27∶56D.9∶16

題5某種建筑物是由一個半徑為2米的半球體挖去一個正四棱錐而成的幾何體，正四棱錐的頂點在半球面上，底面內接于半球底面的大圓面，則該建筑物的表面積為平方米（π=3.14，3=1.73）.

2.2重視以長方體和球為載體的綜合題

長方體（或正方體）和球是學生最熟悉的幾何體，雖然它們結構簡單，但卻具有豐富的幾何性質.借助長方體（或正方體）和球，能夠較好地認識和理解空間點、直線和平面間的位置關系和度量關系.幾何體中融入球后，可以使得幾何問題綜合性和靈活性更強，更好地考查學生直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學素養.

2.2.1以長方體（或正方體）為載體的綜合題

題6（多項選擇題）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1D1的中點，P為側面CD1的中心，AB=1，BC=2，BB1=1，則（）.

A.BE⊥CB1B.PE∥平面A1B1C

C.P到平面A1CD 的距離為63

D.B，C，P，E四點共面

題7（多項選擇題）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E為線段CB1的中點，點F和點P分別滿足FD1=λC1D1，PD1=μBD1，其中λ，μ∈［0，1］，則下列說法正確的是（）.

A.當λ=12時，三棱錐P-EFD的體積為定值

B.當μ=12時，四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是3π4

C．PE+PF的最小值為526

D．存在唯一的實數對（λ，μ），使得PE⊥平面PDF

題8在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M是線段AB的中點，點N是線段A1B1的中點.若點B到直線AC1的距離為63，則直線CM到平面ANC1的距離為.

2.2.2以球為載體的綜合題

一般地，在解答與球相關的問題時不需要畫球，關鍵是定球心的位置和球的半徑長，將球的問題化歸為由球心和其它點組成的多面體問題再解答，此時要用好球中垂徑定理.確定球心的方法有：（1）球心為幾何體中最長棱的中點；（2）將幾何體嵌入到長方體（或正方體）中，球心為長方體（或正方體）的體對角線的中點；（3）過幾何體兩個面的外心作對應平面的垂線，球心為兩條垂線的交點；（4）建立空間直角坐標系，布列關于球心坐標的方程組，通過解方程組確定球心；（5）正棱（圓）柱、（圓）錐、（圓）臺的球心都在其對應的高線上.

題9如圖2，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在同一個半球面上，AB=AC，側面BCC1B1是半球底面圓的內接正方形，若側面ABB1A1的面積為2，則球的表面積為（）.

A. 2π B. 4πC. 2π D.22π

題10如圖3，四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，且平面ABCD與平面BDEF互相垂直. 若多面體ABCDEF的外接球的體積為43π，則多面體ABCDEF的體積的最大值為（）.

A.33B.23C.433D.163

題11在邊長為2的正方形ABCD中，點E為線段AB的中點，點F為線段BC的中點，現將△ADE，△BEF和△CDF分別沿DE，EF和DF折起，使得A，B，C三點重合于一點G，則三棱錐G-DEF的外接球的的表面積為；三棱錐G-DEF的內切球的體積為.

2.3重視解答題的規范性

立體幾何解答題通常以簡單幾何體（柱、錐、臺）或不規則幾何體為載體，難度適中，重點考查考生的直觀想象、數學運算、數學抽象、邏輯推理及數學建模等素養.在審題時要學會“庖丁解牛”，觀察好幾何體紋理結構后再動手. 解題過程要使用準確的符號語言表達，在解答證明題型時，要重視平面幾何或解三角形等知識在幾何體某個面上的應用，說理時要寫全條件；在解答計算題型時要分析是采用幾何方法還是向量方法.

2.3.1以棱柱為載體的解答題

題12如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1的側面ACC1A1為邊長是2的菱形，AB=BC，頂點A1在底面ABC上的射影為線段AC的中點，點A到平面BCC1B1的距離為2155.

（1）求出線段AB的長度；

（2）求直線CB1與平面ABB1A1所成角的余弦值.

2.3.2以棱錐為載體的解答題

題13如圖5，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，側面PAD⊥底面ABCD，△PAD為正三角形.

（1）證明：平面PAB⊥平面PBC.

（2）求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.

2.3.3以棱臺為載體的解答題

題14如圖6，三棱臺ABC-A1B1C1中，AB=2，AC=4，A1C1=2.AB1與BA1相交于E，AC1與CA1相交于F，連接EF.

（1）證明：EF∥B1C1；

（2）若AA1⊥底面ABC， AA1=3，直線A1C1與BC所成角為30°，求二面角A-EF-C的正弦值.

2.3.4以圓柱為載體的解答題

題15如圖7，矩形ABCD是圓柱的軸截面，O為下底面的圓心，且AD=3，AB=2.點E在⊙O上，∠ABE=30°，EF=λFD（λ>0）.

（1）當λ=13時，證明：AF⊥BD；

（2）若二面角A-OF-E的余弦值為15，請求出λ的值.

2.3.5以圓錐（或圓臺）為載體的解答題

題16如圖8，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上異于A，B的動點，直線CP⊥平面ABC，E，F分別為線段PA，PC的中點.設平面BAC與平面BEF的交線為直線l.

（1）證明：l∥平面PAC且l⊥平面PBC；

（2）請從下列兩個條件中選擇一個作為已知條件，求二面角A-l-E的正切值.

①AB=PC=4，三棱錐C-PAB的體積取得最大值;

②AB=PC=4，S△PAC+S△PBC取得最大值.（注：如果選擇兩個條件分別解答，按照第一個解答記分）

2.3.6以不規則幾何體為載體的解答題

題17如圖9，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AB=BC=2AD.矩形CDEF⊥平面ABCD.

（1）若點P在直線BE上，滿足BP=λPE，是否存在實數λ，使得AP∥DF？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由；

（2）若AD=ED，求出平面ADE與平面BEF夾角的正切值.

2.4重視動態幾何問題

動態幾何問題是由空間點、直線、平面的平移或旋轉而形成的問題，包括：（1）定值問題（體積、面積、角、距離等）；（2）定性問題（平行、垂直等）；（3）范圍問題（最值、范圍、大小等）；（4）軌跡問題等.在解答此類問題時，要理清運動前后度量關系和位置關系的變化情況，對于定值、定性與軌跡問題常常和概念、性質等知識相關；對于范圍問題常常和函數、不等式等知識相關.

2.4.1點的運動

題18（多項選擇題）在棱長均為4的正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點，P，Q分別為棱BB1和棱CC1上的動點，滿足BP+CQ=4，則（）.

A. 三棱錐A-DPQ的體積為定值

B.平面DPQ⊥平面BCB1C1

C. 存在某個位置，使得PD⊥QD

D.平面DPQ與平面ABC所成銳二面角的最大值為45°

題19（多項選擇題）正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直，Γ1是正方形ABCD的邊界及其內部的點構成的區域，Γ2是正方形CDEF的邊界及其內部的點構成的區域，AB=2，則（）.

A.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得BQ∥EP

B.P∈Γ1，Q∈Γ2，PQ的最大值為4

C.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得直線BQ和直線EP所成角為45°

D.P∈Γ1，Q∈Γ2，使得BQ⊥EP

題20（多項選擇題）已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=2，動點P在上底面A1B1C1D1邊界及其內部運動，點Q為棱AA1的中點，則（）.

A.若PQ與平面ABCD 所成角為60°，則點P的軌跡的長度為33π

B.若直線PB與平面ABCD所成角等于二面角P-AD-B的大小，則點P的軌跡在一條拋物線上

C. AP+PC的最小值為26

D.若AP∥平面BDC1，直線AP與BD 所成角為θ，則cosθ的范圍為0，105

2.4.2平面的平移運動

題21（多項選擇題）在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，動平面α∥平面CB1D1，則（）.

A.若α與此正方體的截面為三角形，則三角形一定為銳角三角形

B.若α與此正方體的截面為三角形，則三角形的面積不可能為 23

C.若α∩平面 ABCD=a，α∩平面 ABB1A1=b，則a與b所成角為π3

D.α截此正方體所得截面面積的最大值為33

2.4.3平面的旋轉運動

題22（多項選擇題）在矩形ABCD中，AB=2AD=4，M為線段AB的中點，現將△ADM以直線MD為軸旋轉，構成四棱錐P-BCDM，N為線段PC的中點，則（）.

A. BN ∥平面PMD

B. 存在某個位置，使得PC⊥MD

C.存在某個位置，使得CM⊥PD

D.點P在半徑為2的圓周上運動

2.5重視立體幾何和其它章節知識的融合

近年來高考試題重視由知識立意向能力、素養轉化，在知識的交匯處精心設計試題，綜合考查考生的分析問題、探究問題、運用知識創新解決問題的能力.立體幾何在高中數學中有非常好的“人緣”，和其它章節知識都能“合得來”，以幾何體為載體考查其它章節知識，體現了數學知識間的綜合聯系.

題23有一種透明的裝飾品，其形狀大致是由一個正四棱錐和其外接球組成.現有邊長為2的正方形，經如圖10所示的方式裁剪后，做成這種裝飾品，則該裝飾品外接球的表面積的最小值為（）.

A. 23π9B.43π9

C.? （8－43）πD. （8－23）π

題24在下列空白處，填寫適當的符號語言，使其為真命題.命題：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，CB=CC1，若，則CA1⊥平面BDC1.

題25已知AB是圓臺的底面直徑，M是圓臺母線AD的中點，AB=8，上底面半徑為2，AD=4，點N在下底面圓周上，且∠ABN=30°，則M、N兩點在圓臺表面上所連線長的最小值為.

題26從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點能構成三棱錐的概率為.

2.6重視數學文化、數學建模和跨學科知識在立體幾何中的滲透

我們生活在一個三維空間中，創設生活實踐情景，將實際問題抽象成一個立體幾何問題，或者選取古代著名的具有美學價值的建筑物等方式，考查考生的數學抽象、數學建模等素養，在解決問題中深入體會感悟數學基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗的重要意義.

題27某學校修建有一個“勵志亭”，該亭的外形近似看作是一個緊密相連的組合體，其中上面是一個正六棱錐，下面是一個正六棱柱，六棱柱的上底面和六棱錐的底面重合.若正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正方形，且正六棱錐的高是正六棱柱的高的一半，則正六棱錐與正六棱柱的側面積之比為（）.

A.2∶1B.3∶2

C.5∶4D.7∶8

題28對24小時內降水在平地上單位面積的積水厚度（mm）進行如下規定：

積水厚度區間［0.1，

10.0）［10.0，

25.0）［25.0，

50.0）［50.0，

100.0）級別小雨中雨大雨暴雨如圖11，高一6班一位同學用一個圓臺形容器接了24小時雨水，則這天的降雨屬于哪個等級（）.

A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨

題29（多項選擇題）如圖12，街心花園里有多個石凳，每個石凳都是這樣的幾何體：將正方體沿交于同一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到一個新的多面體.則下列結論正確的是（ ）.

A. 該多面體共有24條棱

B.直線PB與直線EH異面

C.異面直線BC和FN所成角為π3

D.平面PAB與平面PEF所成的銳二面角的余弦值為13

題30現有兩個容器，甲容器是軸截面為正方形的圓柱形容器，正方形邊長為20cm；乙容器是圓錐形容器，錐頂向下，底面直徑為403cm，高度為20cm.若將甲容器注滿水，并將甲容器中一部分水，倒入乙容器中，使得兩個容器的水面高度相同，則此時水面的高度為cm.

參考答案

1.B；2.A；3.AC；4.C；5.43.52；6.ABD；7.ACD；

8.66；9.B；10.D；11.6π，π48；12.（1）AB=2；（2）155；

13.（1）略；（2）64；14.（1）略；（2）32114；15.（1）略；（2）1；16.（1）略；（2）①22；②22；17.（1）1；（2）25；18.ABD；19.AC；20.BD；21.ACD；22.ACD；23.B；

24.CB=CD且∠BCC1=∠DCC1=∠BCD，答案不唯一; 25.225－123;26.2935;27.D;28.B；29.ACD；30.10.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.5.

［2］教育部考試中心.創設情境發揮育人作用深化基礎考查核心素養——2022年高考數學全國卷試題評析［J］.中國考試，2022（07）：14-19.

作者簡介

劉才華（1969—），男，山東寧陽人，中學高級教師，泰山名師，泰安市優秀教師；研究方向為初等數學研究和高中數學教學；發表論文200余篇.

王俊嶺（1975—），女，山東寧陽人，中學一級教師，泰安市教學工作先進個人，泰安市學科能力大賽特等獎，寧陽縣優秀教師；研究方向為高中數學教學.

王傳鋒（1974—），男，山東寧陽人，中學高級教師，山東省優秀班主任，泰安市教學管理先進個人，泰山英才教師;研究方向為高中數學教學.