2023年高考“解析幾何”復習指導

周威 童繼稀 鄧捷敏 曾文樂 張妮

【摘要】2023年的高考備考要圍繞解析幾何研究的兩個問題——根據條件求曲線的方程、根據曲線方程研究性質來把握備考方向、備考常規及轉向；在備考實踐中，要把握“題”的分類與導向作用，選出具有代表性的、方向性的試題進行深入分析解析幾何的本質、基本思想與方法；同時，不同題型的解題教學要體現“從關注知識”到“關注人”的轉變.

【關鍵詞】素養立意;解析幾何;題型;實踐

回顧2022年解析幾何專題考查內容，依然表現在突出主干知識，重視解析幾何的本質、基本思想與方法，考查學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養以及分析問題、解決問題的能力[1].因此，2023年在注重備考策略、備考常規及轉向的同時，備考實踐中，要從這些方面去把握“題”的分類與導向作用，選出具有代表性的、方向性的試題深入分析解析幾何的本質、基本思想與方法，切忌“題海戰術”.

1素養立意下的備考分析

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確給出了解析幾何這一專題版塊的內容要求，即能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程，能夠運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題，從而可以從解析幾何研究的兩個問題——根據條件求曲線的方程、根據曲線方程研究性質來把握備考方向.

1.1總結歸納，把握備考方向

2022年高考數學對圓錐曲線與方程的考查，繼續以圓錐曲線的定義、標準方程和幾何性質為載體，以基本概念，通性、通法為考查重點，落實“基礎性、創新性、綜合性、應用性”的考查要求，實現了對學生必備知識、關鍵能力和學科素養的全面考查，對今后的課堂教學和復習備考都起到了積極的引導作用．為了方便把握備考復習方向，以下給出2022年各地高考試題中解析幾何專題內容的考查分析統計表（表1）.

從以上統計的結果來看，每套真題卷幾乎都能覆蓋解析幾何的所有知識點，其中基礎題依然考查根據條件求曲線的方程，以及根據曲線方程研究基本性質；綜合題還是聚焦幾種常見題型，即求方程與性質命題的證明、與解三角形融合的面積問題、與函數思想融合的最值問題、有關定點定值的探究性問題等．

對近幾年的高考命題特點以及備考策略，很多文獻已有精心探討（具體可參考文[1][2][3]）．針對2023屆高三數學的解析幾何專題的備考復習，除了夯實基礎知識，掌握思想方法，積累基本經驗外，相應專題復習時的重點、難點值得特別關注.

1.2類化解法，注重方法遷移

解析化是實現用代數方法解決幾何問題的關鍵環節，考查學生的推理論證和運算求解能力．在具體的解析化過程中，解題要能夠從數量與數量關系、圖形與圖形關系角度出發，挖掘數量與圖形及其關系的內涵特征，將幾何問題坐標化，并最終轉化為代數式，通過代數推理與運算得到代數結論，解決幾何問題．素養導向的高考試題不僅強調知識和智力，更強調知識的遷移和后天的習得.

例1（2022年浙江卷第21題）如圖1，已知橢圓x212+y2=1．設A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點，且點Q0，12在線段AB上，直線PA，PB分別交直線y=－12x+3于C，D兩點．

（1）求點P到橢圓上點的距離的最大值；

（2）求|CD|的最小值．

評注此題第（1）問考查兩點距離公式，第（2）問考查弦長公式，解題方法靈活，但兩問落腳點都是最值問題，將函數思想與解析幾何融合，突出了高考考查的綜合性與創新性．以下通過設問方式、情境設置的變化，創設新的情境，變換設問角度和知識的組合方式，提升學生的科學探究能力和創新能力，發展學生的數學核心素養．

例2已知橢圓x212+y2=1．設A，B是橢圓上異于P（0，1）的兩點，且點Q0，12在線段AB上，直線PA，PB分別交直線y=－12x+3于C，D兩點．

（1）證明：kAP·kBP為定值；

（2）若直線BC過橢圓的下頂點H，求|CD|的值．

例3（長沙市2023屆適應性考試第21題）設A，B是橢圓x22+y2=1上異于P（0，1）的兩點，且直線AB經過坐標原點，直線PA，PB分別交直線y=－x+2于C，D兩點．

（1）求證：直線PA，AB，PB的斜率成等差數列；

（2）求△PCD面積的最小值．

說明例2依然是例1中的橢圓方程，第（1）問是常規的定值問題，體現的是例1中性質的結論，簡單考查了直線代入橢圓方程的一般計算步驟，同時也為第（2）問計算奠定基礎，減少運算量．例3中改變了橢圓的方程與直線方程，命題立意與例1的探究結論保持一致．因此，本題很好的將最值問題遷移到了命題的證明，以及特殊情形時的幾何量求值．

1.3強化運算，突破運算難點

在解析幾何綜合問題的解決過程中，直觀想象和數學運算兩大核心素養有著非常充分的體現．解析幾何問題的解決一般是在幾何分析的基礎上通過運算達成的，而學生在運算方面的表現具有很大的差異．教師要把運算能力的培養貫穿于整個課堂教學，著重分析“如何想、怎樣算”，讓學生理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法等，而不是把數學運算降格為數學計算，機械的套路化的解題訓練．

例4（2022年新高考Ⅰ卷第11題）已知O為坐標原點，點A（1，1）在拋物線C：x2=2py（p>0）上，過點B（0，－1）的直線交C于P，Q兩點，則（）.

A.C的準線為y=－1

B. 直線AB與C相切

C.|OP|·|OQ|>|OA|2

D. |BP|·|BQ|>|BA|2

評注本題強化對基礎知識、基本技能和關鍵能力的考查．試題中的A選項實質考查拋物線的方程和準線，B選項判定直線AB為拋物線的切線方程，而C、D選項展示了直線與拋物線相交時的兩個特殊性質．試題的四個選項涉及常規算法，如直線與曲線的位置關系，需要聯立直線與曲線方程，利用韋達定理整體代換進行求解，所得表達式有時候可以很快求解，有時候就需要一些技巧，此時考生容易卡殼．

2知識點與試題類型預測

2.1選擇題型（含多選）

試題1（本題考查直線平行的關系）已知直線l1：3x+（m+1）y－2=0與l2：mx+2y+2=0平行，則實數m的值是（）.

A．2B．-3

C．2或-3D．-2或-3.

試題2（本題考查直線與圓的位置關系）已知直線l：（x－1）cosθ+ysinθ=1，圓C：（x－1）2+y2=1，則直線與圓的位置關系為（）.

A．相交? B．相切? C．相離? D．不能確定

試題3（本題考查橢圓定義的應用）設F1，F2是橢圓C：x25+y2=1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上，且|OP|=2，則△PF1F2的面積為（）.

A．12B．1C．2D．3

試題4（本題考查拋物線定義的應用）設F為拋物線C：x2=2y的焦點，點A在C上，點B0，32，若AF=BF，則AB=（）.

A．1B．2C．32D．322

試題5（本題考查拋物線的焦點）設O為坐標原點，直線x=4與拋物線C：y2=2px（p>0）交于D，E兩點，若∠DOE=60°，則C的焦點坐標為（）.

A．14，0B．13，0

C．12，0D．（2，0）

試題6（本題考查雙曲線的基本性質與直接法求曲線方程）設F1，F2分別為雙曲線x216－y2b2=1的左右焦點，已知雙曲線的離心率為54，若點P滿足kPF1·kPF2=－925，則點P的軌跡方程為（）.

A．x225+y216=1B．x225－y216=1

C．x225+y29=1D．x225－y29=1

試題7（本題考查橢圓的焦點三角形的性質）已知M（x0，y0）是橢圓C：x24+y2=1上的一點，F1，F2是C上的兩個焦點，若MF1·MF2>0，則y0的取值范圍是（）.

A．－22，22B．－33，33

C．－66，66D．－223，223

試題8（本題考查雙曲線的離心率）已知F1，F2是雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為235的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）.

A．2B．3C．2D．3

試題9（本題考查雙曲線的性質）設O為坐標原點，直線x=b與雙曲線C：y2a2－x2b2=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別交于D，E兩點，若△ODE的面積為6，則C的焦距的最小值為（）.

A．2B．4C．43D．8

試題10（本題考查橢圓的離心率）設P是橢圓C：x2a2+y2=1（a>1）的上頂點，若存在以P為圓心的圓與橢圓C有四個公共點，則C的離心率的取值范圍是（）.

A．0，22B．0，12

C．12，1D．22，1

試題11（長沙市2023屆高三適應性考試第8題，本題考查圓與圓的位置關系）在平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，t）（t>0），若該平面中不存在點P，同時滿足兩個條件|PA|2+2|PO|2=12與|PO|=2|PB|，則t的取值范圍是（）.

A．0，62－1B．62+1，+∞

C．62－1，62+1

D．0，62－1∪62+1，+∞

試題12（本題考查曲線方程的特征）已知方程x2cosα+y2=1，則（）.

A．當α=0°時，方程表示圓

B．當0°<α<90°時，方程表示焦點在y軸上的橢圓

C．當α=90°時，方程表示平行于y軸的兩條直線

D．當90°<α≤180°時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線

試題13（本題考查雙曲線的基本性質）已知M，N為雙曲線4x2－y2+64=0的兩個頂點，P是雙曲線上的動點，則下列結論正確的是（）.

A. 漸近線方程為y=±12x

B. 離心率為52

C.直線PM與PN的斜率之積為14

D. 點P到兩漸近線的距離之積為645

試題14（本題考查直線與橢圓方程的綜合應用）已知點A為橢圓x24+y22=1的右頂點，O為坐標原點，過橢圓左焦點的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，則（）.

A．|PQ|有最小值2

B．若OP⊥OQ，則直線l的斜率為2

C．直線AP與AQ的斜率之積為定值

D．△APQ的面積有最大值2+2

試題15（本題考查直線與拋物線相交時的性質探究）已知拋物線E：y2=2px經過點P（2，2），過點Q（0，1）的直線l與拋物線有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N，設O為原點，QM=λQO，QN=μQO．以下結論正確的是（）.

A．拋物線E的方程為y2=4x

B．直線PQ與拋物線E相切

C．直線l的斜率范圍為（－∞，0）∪0，12

D．1λ+1μ=2

2.2填空題型（含一題多空題）

試題1（本題考查拋物線和雙曲線的定義）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是雙曲線x23p－y2p=1的一個焦點，則p=．

試題2（本題考查雙曲線的性質關系）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為3，則C的漸近線為．

試題3（本題考查點到直線的距離公式）拋物線C：y2=2x上的點到直線y=x+3的距離的最小值為．

試題4（本題考查動直線與圓的位置關系）若直線l：x－my+m－1=0與圓C：（x－1）2+y2=4相交于A，B兩點，則△ABC的面積的最大值為．

試題5（本題考查直線與圓相交時的性質）已知圓x2+y2=4上恰有四個點到直線y=x+b的距離都等于1，則實數b的取值范圍是．

試題6（本題考查兩圓的公切線方程）寫出一條圓x2+y2=1與圓（x－4）2+y2=4均相切的直線方程．

試題7（本題考查圓的幾何意義及基本不等式的應用）已知x，y∈（0，2），那么x2+y2+x2+（y－2）2+（x－2）2+y2+（x－2）2+（y－2）2的最小值為．

試題8（本題考查圓的方程）已知等腰三角形ABC的頂點A（2，0），底邊一個端點B（1，3），C點的軌跡方程為．

試題9（本題考查直接法求點的軌跡方程）已知橢圓x225+y216=1與直線l：y=kx+m有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別交x軸、y軸于A（x，0），B（0，y）兩點．當點M運動時，點P（x，y）的軌跡方程為 ．

試題10（本題考查雙曲線的離心率）雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為－14，則C的離心率為．

分析由kAP·kAQ=yA2－xA2+a2=－b2（a2－x12）a2－xA2+a2=－b2a2=－14，可求C的離心率e=52．

試題11（本題考查拋物線焦半徑的長度關系）過拋物線y2=2px（p>0）焦點的直線AB交拋物線于A、B兩點，若滿足|AF|<|BF|，且|AF| 、|BF| 、|AB|成等差數列，則直線的斜率為．

分析由|AF|+|AB|=2|BF|，得|BF|=2|AF|，|AB|=2|AF|，結合拋物線的定義可得kAB=±22．試題12（本題考查直線與曲線的位置關系）已知橢圓Γ：x2m2+y23=1（m>0，m≠3）．過橢圓Γ上一點P作斜率為3的直線，與雙曲線y25m2－x25=1有一個公共點，則m的取值范圍為．

分析設直線y=3x+t，聯立橢圓方程整理得（3m2+3）x2+23tm2x+（t2－3）m2=0，由Δ≥0，可得t2<3m2+3①；聯立雙曲線整理得（3－m2）x2+23tx+（t2－5m2）=0，由Δ=0，可得t2=5m2－15②．綜合①②，解得m∈（3，3．

試題13（本題考查直線與雙曲線相交時的定值問題）過雙曲線x25－y24=1的右焦點F的直線與雙曲線右支相交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點D，則|AB||DF|= ．

試題14（本題考查直線與直線，圓與圓的對稱性）已知直線l：3x－4y+5=0，則與直線l關于x軸對稱的直線的方程為 ；與圓x2+y2+4x－12y+39=0關于直線l對稱的圓的方程．

圖2試題15（本題考查幾何法定義橢圓的方程）如圖2是數學家Germinal Dandelin用來證明一個平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型．在圓錐內放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側面與截面都相切，設圖中球O1，球O2的半徑分別為4和2，球心距離|O1O2|=210，截面分別與球O1，球O2相切于點E，F，則截口橢圓的焦距為 ；橢圓的長軸為．

分析設O1O2與EF相交于點M，由Rt△O1EM∽Rt△O2FM，可得|MF|=23，|ME|=43，則2c=|EF|=2；設球O1，球O2與圓錐母線分別相切于點T，S，可求得2a=|TS|=6．

試題16（本題綜合考查直線與圓的位置關系）已知圓M：（x－1）2+（y－1）2=4，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，則|PM|的最小值為；過點P作圓l的兩條切線，切點為A，B，當四邊形MAPB的周長最小時，直線AB的方程為．

分析如圖3，結合題意，當|PM|最小時，四邊形MAPB的周長最小，且|PM|min=5，此時AB‖l．結合勾股定理，利用點到直線的距離公式可求得直線AB的方程．

試題17（本題考查拋物線的正交弦長關系）已知F為拋物線C：y2=2x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，①1AB+1DE=；②AB+DE的最小值為．

分析設直線l1方程為y=kx－12 ，聯立方程利用韋達定理求得AB=2k2+2．同理，DE=2k2+2．從而1AB+1DE=12k2+2+12k2+2=12；AB+DE=2k2+2k2+4≥8，當且僅當k=±1時等號成立，即AB+DE的最小值為8．

2.3解答題型

試題1（本題考查了定義法求曲線的軌跡方程，以及直線與曲線的位置關系等）已知圓C1：（x+5）2+y2=25和圓C2：（x－5）2+y2=1，動圓C同時與這兩個圓相外切．

（1）求動圓圓心C的軌跡Γ；

（2）過點B（1，0）的兩條直線l1，l2，其中l1與Γ相切于點A，l2與Γ相交于的P，Q兩點．求證：|BP|·|BQ|>|BA|2．

試題2（本題以拋物線為背景，考查對定點定值問題的處理求法）已知O為坐標原點，過點P（1，0）的直線l與拋物線E：y2=6x相交于A，B兩點．

（1）判斷直線OA與直線OB的斜率之積是否為定值；

（2）若點Q（2，0），連接AQ并延長交E于點C，連接BQ并延長交E于點D，求證：直線CD過定點，并求出定點坐標．

試題3（長沙市2023年適應性考試第21題，本題以橢圓為背景，考查相關性質的證明以及最值問題的求解）設A，B是橢圓x22+y2=1上異于P（0，1）的兩點，且直線AB經過坐標原點，直線PA，PB分別交直線y=－x+2于C，D兩點．

（1）求證：直線PA，AB，PB的斜率成等差數列；

（2）求△PCD面積的最小值．

試題4（本題以雙曲線為背景的結構不良形式呈現，考查相關性質的推理論證）已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的實軸長為2，且焦點到漸近線的距離為3．

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若直線l與雙曲線左右兩支分別交于M，N兩點，給出下列三個論斷：

①直線l過雙曲線C的焦點； ②直線l與圓O：x2+y2=a2相切； ③|MN|=3．

以其中的一個論斷作為條件，證明余下的兩個論斷互為充要條件．

3結語

素養立意的高考命題重視學科觀念、規律的考查，考查學生扎實的學科基礎，引導他們去形成思維中的慣性觀念，并且能夠合理的進行轉化，將這些學科知識作為素養養成和發展的基礎和先決的條件[4].由于不同的教學經驗、不同的學生都會產生不同的解題教學過程，再加之從能力立意到素養立意的轉變體現了“從關注知識”到“關注人”的轉變，因此，備考實踐中，一定要根據不同學校、不同層次學生的基礎實踐，聚焦“最近發展區”，才能起到“事半功倍”的效果.

參考答案

一、選擇題

1.A；2.B;3.B;4.B；5.B；6.C;7.B;8.C;9.C;10.D;11.D;12.ACD；13.BD;14.ACD;15.BD.

二、填空題

1.16;2.y=±2x；3.524；4.2；5.（－2，2）；

6.y=1515x+41515，y=－1515x－41515，y=377x－477，y=－377x+477，寫其中一條即可.

7.42；8.x2+y2－4x－6=0（x≠1）；9.25x281+16y281=1（y≠0）；10.52;11.±22；12.（3，3］；13.253；

14.3x+4y+5=0；（x－4）2+（y+2）2=1（或x2+y2－8x+4y+19=0）；15.2，6；16.5；2x+y+1=0；17.12；8.

三、解答題

略.

參考文獻

［1］周威.素養立意下解析幾何專題復習常規與轉向[J].中學數學雜志，2022（03）：62-65.

［2］周遠方，張園園，范俊明.2021年高考“圓錐曲線與方程”專題命題分析[J].中國數學教育，2021（18）：18-25.

［3］聞巖.領悟標準精神 把握教材教學——2022年高考“平面解析幾何”專題命題分析[J].中國數學教育，2022（20）：47-54.

［4］任子朝.從能力立意到素養導向[J].中學數學教學參考，2018（13）：1.

作者簡介

周威（1985—），男，中學一級教師，基礎數學碩士，湖北省恩施州教育科學研究院高中數學教研員，恩施州高中數學教學指導委員會秘書;研究方向為教育評估與高中數學教育.

童繼稀（ 1984—） ，男，中學一級教師，基礎數學碩士，長沙市首批基礎教育兼職教研員;研究方向為高中數學教育教學;發表論文近30篇．

曾文樂（1995—），女，湖南衡山人，中學二級教師;研究方向為高中數學教育教學．

鄧捷敏（1996—），女，湖南永州人，中學二級教師;研究方向為高中數學教育教學.

張妮（1994—），女，湖北恩施人，中學一級教師;研究方向為高中數學教育教學.