剖析教學(xué)缺失之因提升理解教材之術(shù)

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)缺失是數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)或教學(xué)內(nèi)容不完整，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與素養(yǎng)提升產(chǎn)生不利影響的一種教學(xué)現(xiàn)象.數(shù)學(xué)教學(xué)缺失與數(shù)學(xué)教師“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”有關(guān).其中，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)缺失的主要原因是數(shù)學(xué)教師理解教材的水平偏低.規(guī)避數(shù)學(xué)教學(xué)缺失需要數(shù)學(xué)教師整體把握數(shù)學(xué)教材的邏輯結(jié)構(gòu)，局部研讀數(shù)學(xué)教材的匠心設(shè)計，不斷提升理解教材的水平、境界與道術(shù).

【關(guān)鍵詞】教學(xué)缺失；理解教材；數(shù)學(xué)教學(xué)

當(dāng)下，如何培育學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教育界談?wù)摰慕裹c.雖然大家的觀點不同，但是不能否認(rèn)的是，數(shù)學(xué)教學(xué)是發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的一條基本途徑.評判這條途徑是否有效的關(guān)鍵是數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.而以賽促教，提升數(shù)學(xué)教師的專業(yè)水平是保證數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的前提條件.

然而，在近期某校舉行的青年教師優(yōu)質(zhì)課比賽活動中，數(shù)學(xué)教學(xué)出現(xiàn)了不應(yīng)有的“缺失”：節(jié)引言缺失，學(xué)生摸不清研究問題的方向，頭腦中形不成研究問題的整體框架，只能被老師“牽”著走；承載概念內(nèi)涵的典型事例缺失，學(xué)生不能有效歸納概念的本質(zhì)屬性，導(dǎo)致概念學(xué)習(xí)的先天不足；數(shù)學(xué)規(guī)定合理性的解釋缺失，學(xué)生記住的只是一些冰冷的“告知”，無法感受“規(guī)定”背后所散發(fā)的“理性”魅力；性質(zhì)拓展的缺失，學(xué)生無法領(lǐng)會前后相關(guān)知識的內(nèi)在聯(lián)系，造成前后認(rèn)知的割裂等.這些缺失影響數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育.

本次活動采用無生上課的形式，課題分別為人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊“1.2集合間的基本關(guān)系”“2.2基本不等式”“3.3冪函數(shù)”“5.1.1任意角”.結(jié)合以上四個課題，談?wù)劗a(chǎn)生數(shù)學(xué)教學(xué)缺失的原因.

1剖析教學(xué)缺失之因

章建躍先生指出：“理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提.”[1]數(shù)學(xué)教材包含了課標(biāo)所要求的數(shù)學(xué)知識，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了基本素材.因此，數(shù)學(xué)教師理解教材的水平不高是產(chǎn)生教學(xué)缺失的首要原因.

1.1節(jié)引言絕非可有可無的“擺設(shè)”

新教材的節(jié)引言通常位于每節(jié)內(nèi)容的第一段（或前兩段），主要介紹本節(jié)內(nèi)容的邏輯起點、核心問題以及研究方法等，起到先行組織者的作用.然而，在本次活動上，節(jié)引言并未受到授課教師的重視，要么被直接跳過，要么雖被提及但也僅僅“點到為止”.那么，節(jié)引言是否真的是一種可有可無的“擺設(shè)”呢？

案例1理解“基本不等式”的節(jié)引言，需要明白三個問題：

問題1“乘法公式在代數(shù)式的運算中有重要作用”體現(xiàn)在哪里？

與利用多項式乘法法則相比，利用乘法公式可以省略多項式展開、合并同類項的步驟，起到簡化運算的作用.

問題2“基本不等式在解決不等式問題時的重要作用”體現(xiàn)在哪里？

基本不等式對具有“特殊結(jié)構(gòu)”的不等式問題也有簡化運算的作用.比如當(dāng)x>0時，求x+1x的最小值.通過配方，得x+1x=x－1x2+2≥2；若利用基本不等式，則無需“配方”直接得到結(jié)果.

問題3二者有何聯(lián)系？

乘法公式屬于等式范疇，基本不等式屬于不等式范疇.等式與不等式具有諸多相似之處，乘法公式與基本不等式也應(yīng)具有相似之處.因此，類比乘法公式在多項式乘法中的作用，基本不等式在解決不等式問題時也有重要的作用.

因此，該引言絕不是“擺設(shè)”.它可以作為培育學(xué)生“發(fā)現(xiàn)與提出問題”意識的素材，也可以作為本節(jié)內(nèi)容的一條暗線，指引學(xué)生思維的方向.

1.2承載概念本質(zhì)屬性的典型事例一個也不能少

概念是思維的細(xì)胞，……，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，概念不清就無法進(jìn)一步開展其他教學(xué)活動[2].數(shù)學(xué)概念需要豐富而典型的事例作為載體.這里的“豐富而典型”滿足三點：一是所舉的事例要兩個或兩個以上，二是能涵蓋數(shù)學(xué)（幾何與代數(shù)）、生活等領(lǐng)域，三是能承載概念的本質(zhì)屬性.

案例2“集合間的基本關(guān)系”一課是通過對“觀察”欄目中的三個事例的觀察、分析、比較、歸納等思維活動，抽象概括出子集的定義.然而在此次活動中，一些教師只利用前兩個事例就得到子集的定義，是有問題的.

首先，三個事例分別選自代數(shù)、實際生活以及幾何領(lǐng)域.如果舍棄了事例3，那么就失去了數(shù)學(xué)情境中的幾何情境，事例將不再“豐富而典型”.

其次，子集是“真子集”與“集合相等”的統(tǒng)稱[3].而前兩個事例的共性是每一個事例中的前一個集合中的元素都是后一個集合的元素，而后一個集合中的元素不全是前一個集合的元素.因此，由這兩個事例得到的是真包含關(guān)系，而不是包含關(guān)系.只有三個事例共同“作用”，才能得到完整的子集.當(dāng)然，新教材給出子集的Venn圖（教材第7頁的圖1.21）只有真包含而沒有相等的情形，也是值得思考的.

對于新教材中承載概念內(nèi)涵的事例，數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)真揣摩每一個事例的意義與用途，不能隨意舍棄每一個事例.

1.3不講“規(guī)定”的理由不是無知就是“耍無賴”

數(shù)學(xué)教材中的“規(guī)定”是不可缺少的內(nèi)容，通常有兩種：只能如此，唯一選擇；若干種可能，任選其一．教師在解釋數(shù)學(xué)規(guī)定時，不僅要講推理更要講道理；倘若教師不講規(guī)定的理由，那不是無知就是耍無賴[4].

案例3在本次活動中，選擇“課題4”的參賽教師大都是由生活中的“體操名稱”和雙齒輪旋轉(zhuǎn)模型，得出角不僅有旋轉(zhuǎn)量，還有旋轉(zhuǎn)方向，然后“規(guī)定”正角、負(fù)角和零角.然而，通過這兩個事例，學(xué)生雖然能感知到存在超出范圍（0°～360°）和不同旋轉(zhuǎn)方向的角，但是不能真切感受到旋轉(zhuǎn)方向?qū)堑囊饬x.如果就此“規(guī)定”角，那么學(xué)生只知其然，卻不知其所以然，從而使“規(guī)定”變成“命令”.這是不是意味著數(shù)學(xué)教師在“耍無賴”呢？

理解該“規(guī)定”，需要弄清楚三個問題：

問題1為什么要規(guī)定旋轉(zhuǎn)方向？

有兩個原因，一是生活中存在帶有方向的角；二是推廣角的需要.角的推廣是為了描述作圓周運動的點的位置，進(jìn)而刻畫圓周運動的變化規(guī)律，從而把握現(xiàn)實世界中“周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)”的現(xiàn)象.因此，只有把角置于圓周運動的背景中，學(xué)生才能真正認(rèn)識到旋轉(zhuǎn)方向?qū)c的位置的影響，才能真正感受到“旋轉(zhuǎn)方向”對角的意義.比如圓周上的點P從點O出發(fā)分別做逆時針、順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，此時點P的位置差別很大.

問題2為什么要規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)？

如果規(guī)定逆時針方向為負(fù)，順時針方向為正，那么會有什么問題呢？舉兩個例子，一是三角函數(shù)的定義會出現(xiàn)矛盾，影響整個三角函數(shù)概念體系的構(gòu)建.比如圖1，射線OA繞著點O順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，交單位圓于點A′12，-32，則由三角函數(shù)的定義，得sin60°=－32，這與初中的三角函數(shù)知識不符；二是給傾斜角的定義帶來困擾.根據(jù)新教材中傾斜角的定義，如果讓x軸（正向）繞著交點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線l重合，那么得到角的范圍是-180°～0°；順時針方向旋轉(zhuǎn)得到角的范圍是180°～360°.無論把哪種旋轉(zhuǎn)情況作為傾斜角的范圍都會給直線斜率的學(xué)習(xí)帶來困擾.

問題3如何自然地“規(guī)定”角？

首先舉生活中的事例以及圓周上點的（正反）運動，讓學(xué)生感受推廣角的必要性；其次，引導(dǎo)學(xué)生回憶初一正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的（數(shù)軸）規(guī)定：數(shù)軸上點P從原點O出發(fā)，如果沿著x軸正向運動到點P1，那么點P1表示的數(shù)就是正數(shù)；如果沿著x軸反向運動到點P2，那么點P2表示的數(shù)就是負(fù)數(shù)；如果沿著x軸正、反向不運動，那么該點表示的數(shù)就是零.然后類比正數(shù)、負(fù)數(shù)和零的規(guī)定，自然地引出正角、負(fù)角和零角的規(guī)定.

因此，教師要具有深入研讀的眼光和仔細(xì)研磨的匠心，挖掘“規(guī)定”背后的理性資源，給學(xué)生一個合理的解釋，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)“冰冷”面具下的“溫度”.

1.4講解一般冪函數(shù)的單調(diào)性也未嘗不可

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一.掌握了函數(shù)的單調(diào)性也就把握了客觀事物的變化規(guī)律（增減）.

案例4從教材內(nèi)容的編排看，冪函數(shù)是在函數(shù)的概念、表示以及基本性質(zhì)之后，指數(shù)的擴(kuò)充之前.因此，學(xué)生不具備學(xué)習(xí)一般冪函數(shù)的單調(diào)性的知識儲備（實數(shù)指數(shù)冪）.從課標(biāo)的內(nèi)容要求看，學(xué)生需要“結(jié)合y=x，y=1x，y=x2，y=x，y=x3的圖象，理解它們的變化規(guī)律，理解冪函數(shù)”.[5]

因此，執(zhí)教本課題的參賽教師只講五個簡單冪函數(shù)的單調(diào)性，而不介紹一般冪函數(shù)的單調(diào)性.那么，有沒有必要講一般冪函數(shù)的單調(diào)性呢？

要回答這個問題，首先要解決兩個問題：

問題1沒有實數(shù)指數(shù)冪作為學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，講一般冪函數(shù)的單調(diào)性是否合適？

新教材指出“S也可以表示為S12”.在得到冪函數(shù)的概念后，再次指出“冪的指數(shù)除了可以取整數(shù)之外，還可以取其他實數(shù)，當(dāng)它們?nèi)∑渌麑崝?shù)時也具有各自的含義，這些會在后面學(xué).”既然教材已經(jīng)明確指出實數(shù)指數(shù)冪有意義，那么“順?biāo)浦邸苯榻B一般冪函數(shù)的單調(diào)性也未嘗不可.

問題2一般冪函數(shù)的單調(diào)性“超標(biāo)”了，還有沒有必要講？

首先，北師大數(shù)學(xué)系教授保繼光認(rèn)為，課標(biāo)給出了數(shù)學(xué)教學(xué)的最低標(biāo)準(zhǔn)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)高于課標(biāo)要求.人教社李海東老師也認(rèn)為，歸納也是代數(shù)教學(xué)的核心，“歸納地想”“歸納地發(fā)現(xiàn)規(guī)律”做得多了，思想也就體現(xiàn)出來了[6].由五個簡單冪函數(shù)的單調(diào)性歸納猜想出一般冪函數(shù)的單調(diào)性，有助于學(xué)生感悟歸納思想.再次，對于新教材“4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的課后練習(xí)“比較下列各題中兩個值的大小：（1）62，72”，“教師教學(xué)用書”指出：“利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小，進(jìn)一步熟悉指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可結(jié)合例3完成[7].”雖然我們可構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y=6x，y=7x，借助它們的圖象與直線x=2交點的位置關(guān)系解決，但是這種解法并不符合教材的設(shè)計意圖（利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小）.可構(gòu)造冪函數(shù)y=x2，利用冪函數(shù)的單調(diào)性處理.然后把該解法與“利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小”的方法作比較，能讓學(xué)生認(rèn)識到冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)差別，從而深化對指數(shù)函數(shù)的理解.在這里用到了指數(shù)是無理數(shù)的冪函數(shù)的單調(diào)性.

因此，無論是出于學(xué)生發(fā)展的需要，還是出于強(qiáng)化前后知識相互聯(lián)系的需要，講解一般冪函數(shù)的單調(diào)性都是適宜的.

2提升理解教材之術(shù)

如前所述，數(shù)學(xué)教師對教材理解的不到位是造成數(shù)學(xué)教學(xué)缺失的首要原因.因此，教師應(yīng)該認(rèn)真鉆研教材，不斷提升理解教材的技術(shù)，這樣才能有效規(guī)避教學(xué)缺失.那么，數(shù)學(xué)教師如何提升理解教材的技術(shù)呢？

2.1整體把握數(shù)學(xué)教材的邏輯結(jié)構(gòu)

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，單元教學(xué)是一條有效途徑.單元教學(xué)注重整體關(guān)聯(lián)性，表現(xiàn)在知識內(nèi)容的整體性、教學(xué)安排的整體性、對學(xué)生認(rèn)知把握的整體性[8].教學(xué)中首先應(yīng)是在見樹木更見森林，見森林才見樹木下整體構(gòu)建知識體系[9].單元教學(xué)的整體性首先要求數(shù)學(xué)教師整體把握數(shù)學(xué)教材的邏輯結(jié)構(gòu)，包括主題與主題之間、主題內(nèi)部的章與章之間、章內(nèi)部的節(jié)與節(jié)之間的邏輯關(guān)系.在整個邏輯框架下理解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展、地位與作用、課程要求與育人價值.以任意角的定義為例（如圖2）.

主題之間：主題二是以主題一為基礎(chǔ)，并作為主題三的基礎(chǔ)，是架設(shè)在二者之間的橋梁.主題二內(nèi)部的章與章之間：第三章研究的是一般函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，是第四、五章的理論基礎(chǔ)，第四、五章是以第三章為指導(dǎo)，是對第三章的應(yīng)用與深化，第四章與第五章是介紹三種基本初等函數(shù)，是并列關(guān)系.雖然兩者研究的內(nèi)容與路徑基本一致，但是研究方法差別很大，前者重在研究增減變化規(guī)律，后者主要借助單位圓來研究周期性變化規(guī)律，并且三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系比較特殊，無法借助運算來表征.第五章內(nèi)部的節(jié)與節(jié)之間：角是基于實際需要而擴(kuò)充到任意角，并作為三角函數(shù)概念體系的構(gòu)建基礎(chǔ).缺少了任意角，就無法實現(xiàn)對“周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)”的數(shù)學(xué)刻畫.所以，任意角是“三角函數(shù)”一章的基石.

2.2局部研讀數(shù)學(xué)內(nèi)容的“匠心”設(shè)計

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)教育專家逐字逐句、反復(fù)打磨而成的，其結(jié)構(gòu)體系、概念與原理、例習(xí)題都是經(jīng)過精挑細(xì)選與精雕細(xì)琢的，每一個插圖、每一句提示語、甚至每一個標(biāo)點符號都有其特定的意義.“細(xì)節(jié)決定成敗”，數(shù)學(xué)教師不僅要整體把握，更要拿著“放大鏡”，仔細(xì)研讀數(shù)學(xué)教材設(shè)計的細(xì)微之處，領(lǐng)會編者的匠心獨運.比如研讀“基本不等式”的引言能發(fā)現(xiàn)：基本不等式不僅是推導(dǎo)其他一些不等式的基礎(chǔ)，其蘊含的“簡化運算”思想更是作為一條暗線貫穿本節(jié)的始末.研讀“集合間的基本關(guān)系”的“觀察”能發(fā)現(xiàn)：三個事例的數(shù)學(xué)價值不同，不可或缺.研讀“簡單的冪函數(shù)”中對“冪的指數(shù)”給出的說明，能夠解決學(xué)生心中的困惑（學(xué)生已有的認(rèn)知是冪的指數(shù)只能取整數(shù)），體現(xiàn)教材的細(xì)節(jié)處理.

2.3境界提升教材理解的道術(shù)

數(shù)學(xué)教師要從宏觀與微觀兩種視角理解數(shù)學(xué)教材，既要整體把握數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)體系，也要局部研讀數(shù)學(xué)教材的“細(xì)枝末葉”.教師必須局部與整體兼顧，努力達(dá)到以下四重境界，即要善于在高等數(shù)學(xué)的觀點指導(dǎo)下研讀教材;要善于揭示片段知識之間的內(nèi)部聯(lián)系;要善于在知識演化過程中理解片段內(nèi)容;善于挖掘片段知識所蘊含的文化價值[10].提升境界，磨礪理解教材的眼光，領(lǐng)悟理解教材的內(nèi)核，提升理解教材的道術(shù).

3結(jié)束語

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)教材發(fā)生了很大變革，情境現(xiàn)實化、知識問題化、結(jié)構(gòu)邏輯化都對數(shù)學(xué)教師的教學(xué)提出了更高的要求.數(shù)學(xué)教師要努力豐富“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”，促進(jìn)個人專業(yè)化成長，提升理解教材的水平、境界和道術(shù)，為更好地教數(shù)學(xué)而理解，為數(shù)學(xué)更好地育人而理解.

參考文獻(xiàn)

［1］章建躍.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提[J].數(shù)學(xué)通報，2015（01）：61-63.

［2］曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論（第三版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.7：282285.

［3］陸學(xué)政.“集合間的基本關(guān)系”觀課思考與教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（05）（上旬）：13-16.

［4］任念兵.深度研讀教材，促進(jìn)專業(yè)成長[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2020（09）：81-83.

［5］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.5：20.

［6］李海東.“理解數(shù)學(xué)”是教好數(shù)學(xué)的前提[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（04）：2-4.

［7］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書教師用書·數(shù)學(xué)·第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019.7：175-176.

［8］呂世虎，楊婷，吳振英.數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵、特征以及基本操作步驟[J].當(dāng)代教育與文化，2016（04）：41-46.

［9］章建躍.基于數(shù)學(xué)整體性的“四邊形”課程、教材及單元教學(xué)設(shè)計[J].數(shù)學(xué)通報，2020（06）：4-9+36.

［10］劉耀斌.鉆研數(shù)學(xué)教材的四重境界[J].數(shù)學(xué)通報，2022（01）：15-19.

作者簡介

安振亞（1981—），男，安徽臨泉人，中學(xué)高級教師;阜陽市骨干教師，臨泉縣學(xué)科帶頭人;主要研究數(shù)學(xué)教育教學(xué)與信息技術(shù)應(yīng)用；發(fā)表文章20余篇，其中有兩篇被人大復(fù)印資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.