已知網(wǎng)絡結構下的銀行間債務網(wǎng)絡重構研究

黃巖渠 喻采平 湯春玲

摘要：銀行間債務網(wǎng)絡是系統(tǒng)性金融風險傳播的主要渠道之一，其具體網(wǎng)絡數(shù)據(jù)因商業(yè)秘密等原因需要采用網(wǎng)絡重構方法得出。重構結果直接關系到對系統(tǒng)性金融風險測度的研究。不同于已有的基于基礎約束條件和機構行為約束條件的銀行間債務網(wǎng)絡重構方法，本文提出了一種新的基于基礎約束條件和已知網(wǎng)絡結構下的銀行債務網(wǎng)絡重構方法，新方法在約束條件下通過數(shù)值分析和最大熵結合方法重構銀行間網(wǎng)絡。因為網(wǎng)絡結構是機構行為的結果，所以直接用網(wǎng)絡結構約束重構可以得到更真實的銀行間債務網(wǎng)絡。最后本文利用我國銀行機構的銀行間債務基礎約束數(shù)據(jù)和無標度異配網(wǎng)絡結構的約束條件，使用數(shù)值分析與最大熵結合方法重構了最可能的銀行間債務網(wǎng)絡，并解釋了重構結果。

關鍵詞：網(wǎng)絡結構；無標度網(wǎng)絡；網(wǎng)絡重構；最大熵

中圖分類號：F239? ? ? ? 文獻標識碼： A? ? ? ? 文章編號：1007-0753（2023）05-0042-12

一、引言

網(wǎng)絡重構有很多應用場景，如貨物運輸網(wǎng)絡、商品交易網(wǎng)絡、CDS網(wǎng)絡、支付網(wǎng)絡以及銀行間債務網(wǎng)絡等的重構。在對系統(tǒng)性金融風險的風險傳染測度以及壓力測試中，銀行間債務傳染是最基本的傳染渠道之一，然而在實際建模過程中，這些銀行間的債務連接往往不為人所知，銀行間的雙邊風險敞口只有交易對手知道。雖然在某些情況下可以從監(jiān)管備案或者信貸登記處得到相關資料，但更常見的情況是各國央行和監(jiān)管機構不對該網(wǎng)絡進行監(jiān)控，各金融機構并不報告雙邊風險敞口。為了進行風險傳染研究，學者們采用各種方法來重構金融系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡。

Upper和Worms（2004） 提出使用最大熵算法來重構德國銀行的同業(yè)債務網(wǎng)絡。該方法在已知各銀行機構銀行間總資產和總負債的約束下采用最大熵方法來重構網(wǎng)絡連接。初始網(wǎng)絡中，機構i與機構j的網(wǎng)絡連接采用機構i的銀行間總資產和機構j的銀行間總負債標準化后的乘積得到。最終網(wǎng)絡通過設置初始網(wǎng)絡的鄰接矩陣對角線為0，隨后采用RAS方法縮放，首先沿著行，然后沿著列，迭代直到滿足資產負債約束條件。Baral和Fique（2012）用二元copula來重構鄰接矩陣，豐富了最大熵方法。copula是一個累積分布函數(shù)，它生成了機構之間連接的概率，機構之間連接的概率被輸入到最大熵方法中，生成隨機鄰接矩陣以重構網(wǎng)絡。Drehmann和Tarashev（2013）通過擾動最大熵法來生成高密度網(wǎng)絡實現(xiàn)網(wǎng)絡重構。Halaj和Kok（2013）通過迭代分配網(wǎng)絡連接，以相等的概率隨機繪制，銀行間負債和資產的存量隨著分配減少，通過迭代分配直到銀行間負債被分配完畢，從而完成網(wǎng)絡連接的重構。Anand和Craig（2015）基于網(wǎng)絡連接代價最小原則提出了最小密度方法。該方法假定網(wǎng)絡連接是有代價的，在選擇網(wǎng)絡連接時，采用機構之間資產與負債差距最大的方法來選擇連接形成網(wǎng)絡，從而使重構得到的網(wǎng)絡代價最小。Cimini等（2015）采用適應度方法，在給定機構屬性（如資產）與連接屬性（出度與入度）的情況下，從統(tǒng)計物理學的角度校準連接，并計算連接強度。Squartini等（2017）提出了一種基于適應度的資產投資網(wǎng)絡重建方法。Anand等（2015）采用適應度模型重建了13個地區(qū)的金融網(wǎng)絡。Petropoulos等（2021） 基于XGBOOST法、最大熵法、最小密度法采用機器學習的方式重建了希臘的銀行間市場網(wǎng)絡。Engel等（2021） 采用隨機指數(shù)圖模型（ERGM）的方法研究了跨國金融網(wǎng)絡的重構。Maringer等（2022）在最小密度法的基礎上，提出了連接代價規(guī)模效益遞減的改進方式，利用隨機搜索啟發(fā)方法重構金融網(wǎng)絡。

綜上，已有文獻的重構方法一般可以歸納為三種：一是根據(jù)金融網(wǎng)絡的基礎約束特性，如在已知各機構的銀行間資產與負債的基礎上采用最大熵、最小密度法來重建金融網(wǎng)絡；二是通過各機構的特性，如總資產、出度、入度等，利用適應度方法來估計各機構之間的網(wǎng)絡連接概率，在此基礎上重構網(wǎng)絡連接；三是利用網(wǎng)絡約束、機構特性、網(wǎng)絡行為（互惠、傳遞等）等方法來重構網(wǎng)絡連接，如指數(shù)隨機圖模型。這些方法都是在已知網(wǎng)絡約束條件、機構相關特性、機構行為方式的基礎上進行的重構。用上述方法構造的網(wǎng)絡在滿足基礎約束條件的情況下，符合金融機構的部分行為特征，但由于只考慮了部分行為因素，重構的銀行間債務網(wǎng)絡不是異配無標度網(wǎng)絡。然而，已有研究表明銀行間債務網(wǎng)絡是異配無標度網(wǎng)絡。如Cont等（2013）研究了巴西的銀行間債務網(wǎng)絡，發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡是無標度網(wǎng)絡。Inaoka等（2012）研究了日本銀行間支付網(wǎng)絡的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)該網(wǎng)絡是無標度網(wǎng)絡；Fricke等（2013）發(fā)現(xiàn)金融網(wǎng)絡的形成是異配的，如小銀行機構傾向于向大銀行機構借款。在已知金融網(wǎng)絡結構的情況下，利用適應度、指數(shù)隨機圖等基于機構特性、機構行為約束條件的方法重構得到一個不符合觀測結構的網(wǎng)絡是不合理的。

鑒于此，本文在滿足基礎約束條件的情況下，依據(jù)附加網(wǎng)絡是“異配無標度網(wǎng)絡結構”的約束條件，提出了一種采用數(shù)值分析和最大熵方法重構最可能網(wǎng)絡的方法，并利用我國的銀行機構數(shù)據(jù)重構最可能的銀行間債務網(wǎng)絡。

二、基礎約束條件下的網(wǎng)絡重構

（一） 基礎約束條件模型

考慮由n個金融機構組成的金融機構間債務形成網(wǎng)絡，銀行之間的相互借貸形成一個n×n的網(wǎng)絡，用矩陣X表示。

采用最大熵方法重構網(wǎng)絡時，網(wǎng)絡連接xij的大小可以直接由xij = ailj給出，這是一個非常好的特性，可以大大減少求解方程的計算工作量。但正如上文討論的，缺點是利用最大熵結果得到的網(wǎng)絡與實際網(wǎng)絡情況有很大差距，需要改進。

（三）基礎約束條件下的網(wǎng)絡連接數(shù)量區(qū)間

在已知網(wǎng)絡結構約束時，實際上給出了網(wǎng)絡連接數(shù)量約束的條件。為了保證施加網(wǎng)絡結構約束后網(wǎng)絡重構能夠進行，式（２）仍然存在解，需要研究基礎約束條件下的網(wǎng)絡連接數(shù)量區(qū)間。

假如每家銀行機構均存在同業(yè)業(yè)務，ai，li均大于0，此時網(wǎng)絡的連接數(shù)為n2-n。在采用最大熵方法求解時，首先求得網(wǎng)絡連接數(shù)量n2，然后令對角線上的元素值為0，通過RAS方法將網(wǎng)絡連接數(shù)調整為n2-n，采用RAS方法時只需要通過左乘行乘數(shù)對角矩陣，右乘列乘數(shù)對角矩陣進行迭代，主要執(zhí)行n階矩陣乘法。也可以采用最大熵法直接求解，但需要求一個n2-n個網(wǎng)絡連接的解，該方程組的解沒有解析函數(shù)表達式，時間和空間復雜度都比較高。

考慮到網(wǎng)絡連接成本問題，保持最小的連接數(shù)對機構的成本分攤是有益的。在機構i和機構j之間沒有連接的情況下，xij = 0，因此希望盡量保持更多的xij為0。考慮到方程組的通解為式（9），可以令x22 = 0，…， x2n = 0， x32 = 0，…， x3n = 0， x42 = 0，…， xnn = 0，通過式（9）可以直接得到方程中其他2n-1個未知數(shù)x11， x12，…， x1n， x21，…， xn1 的值，得到不少于2n-1個網(wǎng)絡連接。

考慮限制為基礎約束（6）的情況，并假定銀行不向自己借貸，對角線元素為0，也就是說，網(wǎng)絡連接數(shù)分布區(qū)間為[2n-1， n2-n]。在網(wǎng)絡連接數(shù)為k時（n2-n≥k≥2n-1），可以自由選擇的網(wǎng)絡連接數(shù)為k-2n+1，此時解空間的維度為k-2n+1。

在實際的網(wǎng)絡中，很多情況下由于機構行為的原因，例如維持網(wǎng)絡連接需要成本，小機構多選擇大機構進行交易，因此網(wǎng)絡連接的分布并不是均勻的，即每個網(wǎng)絡結構出現(xiàn)的概率并不相等。實際的網(wǎng)絡分布主要為無標度網(wǎng)絡（冪律網(wǎng)絡）、小世界網(wǎng)絡、中心外圍式網(wǎng)絡等。即網(wǎng)絡中出現(xiàn)結構性網(wǎng)絡的概率更大，需要在給定的網(wǎng)絡結構下研究網(wǎng)絡連接的計算。給定網(wǎng)絡結構時，實際上就是給定了網(wǎng)絡連接數(shù)k的約束，這也是討論網(wǎng)絡連接數(shù)量區(qū)間的意義。已知網(wǎng)絡結構的網(wǎng)絡連接數(shù)在區(qū)間[2n-1， n2-n]時，網(wǎng)絡重構一定是可行的，否則不能重構。

三、基礎約束與網(wǎng)絡結構約束下的網(wǎng)絡重構方法

基礎約束與網(wǎng)絡結構約束下的網(wǎng)絡重構分為兩個步驟：第一步是根據(jù)已知信息確定具體的網(wǎng)絡結構，第二步是根據(jù)給定的網(wǎng)絡結構與最大熵方法用數(shù)值分析方法計算重構網(wǎng)絡的網(wǎng)絡連接強度。在確定網(wǎng)絡結構時使用以下已知信息進行重構：一是網(wǎng)絡為無標度網(wǎng)絡，二是小機構通常情況下更愿意選擇與大機構交易。因為大機構更穩(wěn)定，可以減小風險，大機構通常能滿足小機構的借貸需求，而大機構也通常選擇大機構進行借貸。在計算網(wǎng)絡連接強度時，采用網(wǎng)絡連接強度數(shù)值滿足最大熵要求的方法。為了將網(wǎng)絡結構、機構行為、借貸限制以及最大熵方法結合，本文將連接的重構分為兩個步驟來完成：第一步是重構滿足網(wǎng)絡連接異配條件的無標度網(wǎng)絡；第二步是在無標度異配網(wǎng)絡的基礎上，利用借貸限制以及最大熵方法重構網(wǎng)絡連接強度。

（一）異配無標度網(wǎng)絡的生成方法

Barabasi和Albert（1999）指出無標度網(wǎng)絡是社會網(wǎng)絡的固有特征，并提出了使用BA算法生成無標度網(wǎng)絡，此后很多權威期刊如《自然》《科學》《物理評論快訊》都發(fā)表了相關的研究成果。后續(xù)無標度網(wǎng)絡的生成算法主要研究動態(tài)增加節(jié)點與邊（Albert和Barabási，2002）邊連接的概率與節(jié)點的度數(shù)成正比（Bollobási和Riordan，2004）、無標度網(wǎng)絡的生成效率等內容（Albert和Barabási，2000）。本文從網(wǎng)絡成長的角度來構建無標度網(wǎng)絡，先生成一個很少節(jié)點數(shù)（m個節(jié)點）的完全網(wǎng)絡，然后增加一個新的網(wǎng)絡節(jié)點，新節(jié)點與老節(jié)點之間形成m0條邊（m0＜m），新節(jié)點與前面的網(wǎng)絡之間邊的連接概率與原網(wǎng)絡中節(jié)點的度數(shù)成正比，Barabasi和Albert（1999）證明了當網(wǎng)絡節(jié)點不斷增長時形成的網(wǎng)絡為無標度網(wǎng)絡。

針對本文的情況，首先，為了保證網(wǎng)絡重構結果存在，網(wǎng)絡連接數(shù)需保持在[2n-1， n2-n]區(qū)間。Barabasi和Albert（1999）生成的網(wǎng)絡連接數(shù)為m0（m0-1） + m（n-m0） 。也就是說，構建無標度網(wǎng)絡時需要選擇合適的m和m0。當m0很小時，為了保證連接數(shù)大于2n-1，須有m0＞3。

其次，要在連接形成時讓小機構優(yōu)先選擇大機構。假定有n個銀行機構，各銀行的借出信息為ai，首先選擇借出數(shù)量最大的銀行（ai）形成完全網(wǎng)絡，然后按照機構從小到大的順序，將各個金融機構加入到網(wǎng)絡中來，這樣形成的網(wǎng)絡就是異配的。大銀行先加入網(wǎng)絡，具有更高的網(wǎng)絡節(jié)點度數(shù)；小銀行后加入網(wǎng)絡，具有的網(wǎng)絡節(jié)點度數(shù)小，優(yōu)先與大銀行形成網(wǎng)絡連接。本文模擬初始銀行為6個金融機構的完全網(wǎng)絡，初始銀行都是大銀行，然后將各金融機構的借出數(shù)量（ai）按照從小到大的順序加入到這個網(wǎng)絡中形成無標度網(wǎng)絡。這樣，小金融機構有著更大的概率與大金融機構連接，同時又符合無標度網(wǎng)絡的生成規(guī)律。

（二）給定網(wǎng)絡結構下的網(wǎng)絡重構方法

由于給定的網(wǎng)絡是無標度網(wǎng)絡，不是全連接網(wǎng)絡，采用解析函數(shù)方法得不出一個完美的解析表達式解。本文中采用數(shù)值方法求解無標度網(wǎng)絡連接強度，主要是基于迭代方法求解。這里主要討論以下幾個內容：一是極值函數(shù)的變形，降低計算的空間與時間復雜度；二是如何選取初始迭代點，使迭代能夠進行（xij＞0）且計算時間更短；三是采用迭代方法求最大熵的結果及其驗證。

首先，為了改善計算性能效果，本文對網(wǎng)絡連接的重構最大熵方法進行變形。連接主要采用式（12）作為極值條件，采用式（13）作為限制，如果直接使用拉格朗日法求極值得到式（14），則需要用數(shù)值方法求解一個包含n2-2n個未知數(shù)（xij， λj， βi），由n2-2n個非線性方程組成的方程組（其中2n個方程為線性）。為了簡化計算，將式（9）的2n-1個線性方程代入極值表達式（12），得到：

從迭代表格（見表1）中可以發(fā)現(xiàn)，在各個不同自變量的方向上，收斂速度是不一樣的，有的在第4次已經收斂，有的在第5次才完成收斂（x23， x32， x33， x34方向）。重復迭代直到極值函數(shù)的值不再降低，整個函數(shù)的迭代在第5步才收斂完成，并取得與解析函數(shù)法一樣的最大熵結果。

在迭代完成后，根據(jù)式（9）求解其余的自變量，得到：

x22 = 0.180， x12 = 0.060， x13 = 0.100，? x14 = 0.060，

x21 = 0.081， x31 = 0.099， x41 = 0.090

在給定網(wǎng)絡結構情況下進行網(wǎng)絡連接重構的思路是，在鄰接矩陣中將不在無標度網(wǎng)絡中出現(xiàn)的邊全設置為0，出現(xiàn)的邊設置為未知數(shù)xij或約束表達式，并以此為基礎構造求最大熵的極值表達式，然后再利用表達式求偏導得到雅可比矩陣與海森矩陣，并設置初始值進行迭代得到極值表達式的極小值，返回此時的各網(wǎng)絡連接的數(shù)值。

由于限制條件的方程數(shù)目為2n-1，在重構網(wǎng)絡為無標度網(wǎng)絡時，網(wǎng)絡連接的邊數(shù)要大于2n-1才有解。在初始網(wǎng)絡過小時，方程組可能出現(xiàn)無非負數(shù)解的情況；在初始網(wǎng)絡較大時，運算需要計算的邊數(shù)（未知數(shù)）呈線性增長，計算時間也呈線性增長。按照本文生成無標度網(wǎng)絡的方式，初始6個機構共30條邊，然后每增加一家機構，增加10條邊（其中借入5條邊，借出5條邊），總共邊的數(shù)目為10（n-6）+30=10n-30條邊，然后根據(jù)式（9）有2n-1個方程可以減小未知數(shù)的數(shù)目。實際上，解空間的自由度為10n-30-（2n-1）= 8n-29個（機構數(shù)目n≥6），也就是說，本文要計算一個包含8×62-29=467個未知數(shù)的非線性表達式的極值。

實際上求解的表達式中未知數(shù)的計算復雜度是O（n）級別的，這和無標度網(wǎng)絡是一個稀疏網(wǎng)絡有關。當n較大時，實際邊的數(shù)目遠遠小于n2，可以用最大熵方法直接求解方程組。方法是將式（19）中等于0的xij移出極值表達式，在定義求導參數(shù)時將xij移出變量列表，對式（19）求極值時，由于有8n-29個自變量，即有8n-29個偏導數(shù)方程，利用迭代法可以求出該函數(shù)的極值點。

對于極值表達式的具體構造，因所求無標度網(wǎng)絡對應的矩陣是一個稀疏矩陣，該稀疏矩陣中有2n-1個未知數(shù)用式（6）替代，替代后生成一個包含8n-29個未知數(shù)的極值表達式。極值表達式構造算法流程如下：

1.從無標度網(wǎng)絡的鄰接矩陣第2行、第1列開始將n-1個不為0的元素替換為資產表達式，替換后鄰接矩陣元素標記為2，記錄替換位置，替換后的元素值為xik = ai-∑ j≠k xij {xij≠0}，總共替換的元素有n-1個，相當于應用了式（9）中資產方程組通解的結果。

2.從無標度網(wǎng)絡的鄰接矩陣第2列、第1行開始將n-1個不為0的元素替換為負債表達式，替換后鄰接矩陣元素標記為3，記錄替換位置，替換后的元素值為xik = li-∑? i≠k xij {xij≠0}，總共替換的元素為n-1個，相當于應用了式（9）中負債方程組通解的結果。

3.因為在步驟1中的表達式中可能有元素在步驟2中被替換，也就是說步驟1中被替換的表達式中的元素有的可能不是未知數(shù)（只有被替換后剩余的元素才是未知數(shù)），需再次執(zhí)行步驟1，使步驟1中出現(xiàn)在表達式中的未知數(shù)全部為解空間的基向量。

4.因為在步驟2中的表達式可能有元素在步驟3中被替換，需要再次執(zhí)行步驟2，使步驟2中出現(xiàn)在表達式中的未知數(shù)全部為解空間的基向量。

5.本文已經替換了2（n-1）個變量，剩下的一個變量替換分3步完成：

6.替換完成后，對矩陣的6n-12個元素求最大熵，組成的極值表達式只包含4n-11個自變量（未知數(shù)）以及ai，lj（2n個已知數(shù)），對極值表達式求偏導可以得到4n-11個方程，可以用式（15）通過迭代方法求得最大熵時4n-11個變量的值，然后利用上述步驟2、3、4中的表達式得到2n-1個未知數(shù)的值，至此稀疏矩陣6n-12個元素被完全求解。

四、我國銀行間債務網(wǎng)絡的重構

本文選取我國62家銀行2022年的年報數(shù)據(jù)生成無標度網(wǎng)絡，初始的完全網(wǎng)絡由農業(yè)銀行（Yny）、中國銀行（Yzg）、工商銀行（Ygs）、建設銀行（Yjs）、國開銀行（Ygk）、交通銀行（Yjt）6個銀行節(jié)點組成（按借出金額從大到小排列，標準化后借出數(shù)量都大于0.07），然后按照各銀行的借出金額從小到大順序依次構建網(wǎng)絡（Yqh、Yjh、Ywl、Ybb、Ylz、Yxm、Yhk、Yfh、Yjj、Yft、Yql、Ynx、Ync、Ygz、Ydw、Ylh、Ygy、Ygh、Ynu、Yhr、Yqz、Yca、Yzy、Ysx、Yqd、Yhb、Ycs、Yzz、Ywz、Ysz、Yxa、Ynb、Ygo、Yhs、Yhe、Ybs、Yhz、Ytj、Ycd、Ygf、Ycq、Yxy、Yjo、Ynj、Ysj、Ysh、Yhx、Ynf、Ypa、Ybj、Yzs、Yjc、Ypf、Ygd、Yzx、Yms），圖2為生成無標度網(wǎng)絡的算法流程圖，圖3為按照規(guī)則生成的62個節(jié)點的銀行間債務網(wǎng)絡（無標度網(wǎng)絡）。

在網(wǎng)絡中，在銀行代碼前加Y，表示機構是銀行，從圖3中可以看到，中國銀行、工商銀行、建設銀行、農業(yè)銀行、國開銀行、交通銀行位于網(wǎng)絡的中心，小銀行優(yōu)先與大銀行連接，說明生成的無標度網(wǎng)絡是異配的，即小銀行優(yōu)先連接大銀行機構。

在圖3的網(wǎng)絡結構下，利用最大熵方法求得該網(wǎng)絡的連接數(shù)值。首先由2022年各銀行年報得到銀行間市場借入、借出數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)標準化（各機構銀行間資產除以銀行間總資產）。然后利用國有大銀行農業(yè)銀行（Yny）、中國銀行（Yzg）、工商銀行（Ygs）、建設銀行（Yjs）、國開銀行（Ygk）、交通銀行（Yjt）形成初始完全網(wǎng)絡。最后將銀行機構借款數(shù)目按照從小到大的順序進行排序，形成一個包含機構代碼的三維數(shù)據(jù)框。數(shù)據(jù)框數(shù)據(jù)按順序對賦值，以便在生成無標度網(wǎng)絡時滿足銀行機構網(wǎng)絡連接異配的要求。

無標度異配網(wǎng)絡的連接計算流程見圖4。采用上文中極值表達式生成的6個步驟，構造出極值表達式（包含ai，lj以及467個未知數(shù)xij的表達式），并對極值表達式求導得到雅可比矩陣與海森矩陣，最終得到迭代表達式。銀行間網(wǎng)絡連接的迭代初值有8n-29=467個，初值的選取需滿足保證各網(wǎng)絡連接數(shù)為正數(shù)。首先采用無標度網(wǎng)絡邊xij = γ * ailj，其余值為0。然后通過RAS方法對γ * ailj為元素的矩陣進行迭代，得到xij的一個初值，計算得到該初值下的網(wǎng)絡連接的熵-∑ni=1∑n j=1xijln（xij），此時極值表達式的值為-5.071 511。最后再對ai，lj賦初值，給個未知網(wǎng)絡連接xij賦給初值，并在得到雅可比矩陣與海森矩陣的基礎上，使用式（21）進行迭代，經過1 347次迭代后收斂時，極值表達式得到最小值-5.325 441，并得到返回的各銀行機構網(wǎng)絡連接的具體數(shù)據(jù)。

經過驗證，本文通過迭代得到的各銀行機構網(wǎng)絡連接數(shù)據(jù)的值均為正數(shù)，網(wǎng)絡連接鄰接矩陣行、列的和滿足限制條件式（6），重構得到的網(wǎng)絡是無標度且異構的網(wǎng)絡。網(wǎng)絡連接值的熵-∑ni=1∑n j=1xijln（xij）為5.325 441是最大的，是滿足約束條件下最可能出現(xiàn)的網(wǎng)絡。求解無標度網(wǎng)絡連接的運行結果以銀行間的連接拓撲圖方式展現(xiàn)，見圖5。

實際上在給定網(wǎng)絡結構（給定鄰接矩陣連通性）的情況下，不管給定的網(wǎng)絡是無標度網(wǎng)絡、小世界網(wǎng)絡還是中心外圍式網(wǎng)絡，都可以用本文中的數(shù)值計算方法使用最大熵方法來求解表達式的極值，計算得到網(wǎng)絡連接強度的數(shù)值。因為極值表達式的構造只與鄰接矩陣的連通性有關，采用最大熵方法可以得到網(wǎng)絡連接強度數(shù)值的唯一解。

五、結論

本文的貢獻在于提出了一種新的基于基礎約束條件和網(wǎng)絡結構約束條件的網(wǎng)絡銀行債務重構新方法，網(wǎng)絡重構由網(wǎng)絡結構與網(wǎng)絡連接強度兩個步驟組成，這兩個步驟都直接影響到網(wǎng)絡重構的效果。在該方法下重構的網(wǎng)絡具備更接近真實網(wǎng)絡的網(wǎng)絡特征，即在滿足基礎約束條件的情況下，還滿足網(wǎng)絡是無標度異配的。由于網(wǎng)絡結構直接影響系統(tǒng)性金融風險的測度，在經新方法重構的網(wǎng)絡下測度系統(tǒng)性金融風險，能夠得到更接近真實風險狀況的測度結果。

網(wǎng)絡連接的形成不僅與當前的環(huán)境有關，還與歷史情況有關，本文只考慮了影響當前網(wǎng)絡連接的因素，沒有考慮網(wǎng)絡連接的歷史因素影響，下一步的研究可以在考慮當前與歷史選擇的情況下（使用指數(shù)隨機圖模型）重構更為現(xiàn)實的金融網(wǎng)絡，并展示網(wǎng)絡連接情況的演化歷史。

參考文獻：

[1] UPPER C，WORMS A. Estimating bilateral exposures in the German interbank market：Is there a danger of contagion？[J].European Economic Review，2004，48（04）：827-849.

[2] BARAL P，F(xiàn)IQUE J.Estimation of bilateral exposures-a copula approach an extended abstract and brief overview[J].Economics，2012.

[3]DREHMANN M，TARASHEV N.Measuring the systemic importance of interconnected banks[J].Journal of Financial Intermediation，2013，22（04）：586-607.

[4] HALAJ G， KOK C.Assessing interbank contagion using simulated networks[J].Computational Management Science，2013，10（02）：157-186.

[5] ANAND K， CRAIG， B. Filling in the blanks： Interbank linkages and systemic risk[J]. In Proceedings of the BIS working paper， 2015， 15： 625-636.

[6] CIMINI G，SQUARTINI T，GARLASCHELLI D，et al.Systemic risk analysis on reconstructed economic and financial networks[J].Scientific Reports，2015，5（01）：1-12.

[7]SQUARTINI T，ALMOG A，CALDARELLI G，et al.Enhanced capital-asset pricing model for the reconst?

ruction of bipartite financial networks[J].Physical Review E，2017，96（03）：032315.

[8] ANAND K，VAN LELYVELD I，BANAI ?，et al.The missing links：A global study on uncovering financial network structures from partial data[J].Journal of Financial Stability，2018，35：107-119.

[9] PETROPOULOS A，SIAKOULIS V，LAZARIS P，et al.Re-constructing the interbank links using machine learning techniques.An application to the Greek interbank market[J].Intelligent Systems With Applications，2021，12：200055.

[10] ENGEL J，PAGANO A，SCHERER M.A block-structu?red model for banking networks across multiple countries[J]. Journal of Network Theory in Finance，2021，3：1–33.

[11] MARINGER D，CRAIG B，PATERLINI S.Constructing banking networks under decreasing costs of link formation[J].Computational Management Science，2022，19（01）：41-64.

[12] CONT R， MOUSSA A， SANTOS E B.Network structure and systemic risk in banking systems[M]//Handbook on Systemic Risk. Cambridge： Cambridge University Press，2013：327-368.

[13]? INAOKA H，TAKAYASU H，SHIMIZU T，et al.Self -similarity of banking network[J].Physica A Statistical? Mechanics and Its Applications，2012，339（03/04）：621-634.

[14] FRICKE D， FINGER K， LUX T.On assortative and disassortative mixing in scale-free networks：The case of interbank credit networks[R]. Kiel Working Papers，2013.

[15] BARABASI A L， ALBERT R. Emergence of scaling in random networks[J]. Science，1999，286（5439）：509-512.

[16]ALBERT R， BARAB?SI A L. Statistical mechanics of complex networks[J].Reviews of Modern Physics，2002，74（01）：47-97.

[17] BOLLOB?SI B， RIORDAN O. The diameter of a scale-free RandomGraph[J].Combinatorica，2004，24（01）：5-34.

[18] ALBERT R， BARAB?SI A L. Topology of evolving networks： Local events and universality[J]. Physical Review Letters，2000，85（24）：5234-5237.

（責任編輯： 唐詩柔/校對：曾向宇）