注重過程 優(yōu)化設(shè)計(jì) 指向素養(yǎng)
——以“球的體積”教學(xué)為例*

劉權(quán)華

(江蘇省南京市教育科學(xué)研究所 212002)

1 引言

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)應(yīng)是通過知識(shí)、技能、思想和方法的教學(xué),最終指向?qū)W生核心素養(yǎng)的培育,因此要關(guān)注思維過程教學(xué).如果不把知識(shí)和方法作為思維過程“暴露”在學(xué)生面前,而是作為結(jié)果拋給學(xué)生,那么這種“奉送”的做法,雖能節(jié)約課堂教學(xué)時(shí)間,短時(shí)間內(nèi)效果可能較好,但回避了數(shù)學(xué)思想方法的經(jīng)歷、體驗(yàn)和感悟過程,很難形成一個(gè)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu),學(xué)生所得到的知識(shí)很可能就是“殘知”“假知”或不是學(xué)生所想要的知識(shí),這樣的知識(shí)對(duì)學(xué)生不具有“意義”,學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就難以得到提高．如何優(yōu)化設(shè)計(jì),注重過程是核心素養(yǎng)背景下教師應(yīng)該不斷思考和優(yōu)化的問題．本文以“球的體積”教學(xué)為例探討這個(gè)問題．

2 基本情況

2.1 教材分析

“球的體積”是蘇教版(2005年6月版)數(shù)學(xué)必修2第1章第3節(jié)第2部分,現(xiàn)為蘇教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第13章第3節(jié)第二部分的教學(xué)內(nèi)容.求球的體積是旋轉(zhuǎn)體部分的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),然而涉及的內(nèi)容卻不到半個(gè)頁面,如何施教?草草帶過還是注重過程?如果注重過程教學(xué),那么如何突破空間幾何體教學(xué)的難點(diǎn)?考慮到高一學(xué)生空間想象能力還不夠強(qiáng)的特點(diǎn),筆者決定借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段,為學(xué)生理解和掌握?qǐng)D形性質(zhì)(包括證明)提供幾何直觀,并計(jì)劃通過幾何學(xué)發(fā)展過程中的重要結(jié)果、關(guān)鍵人物和關(guān)鍵事件進(jìn)行介紹,對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化浸潤．于是設(shè)定如下教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重、難點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo) (1)體會(huì)祖暅原理及積分思想,學(xué)會(huì)球的體積公式的推導(dǎo)方法;(2)掌握球的體積公式,能運(yùn)用公式解決有關(guān)球體積的簡單問題;(3)培養(yǎng)觀察、分析、估算、猜想、構(gòu)造和推理論證能力,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);(4)提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí),感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值．

教學(xué)重點(diǎn) 球的體積公式的推導(dǎo)、祖暅原理及積分思想的應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn) 球的體積公式的推導(dǎo)．

2.2 學(xué)情分析

學(xué)生來自四星級(jí)高中普通班,基礎(chǔ)較好,有一定的自學(xué)能力和運(yùn)算能力．由于球以及為求球的體積而引入的幾何體的直觀圖比較難畫,高一學(xué)生的空間想象能力尚不夠強(qiáng),接受有關(guān)球的幾個(gè)組合體的圖象有一定困難.在以往的教學(xué)過程中,學(xué)生普遍反映這一節(jié)內(nèi)容抽象,特別是對(duì)推導(dǎo)球的體積公式過程,過于突兀,難以理解,在公式的運(yùn)用中,對(duì)有些旋轉(zhuǎn)體感性認(rèn)識(shí)不夠．于是借助多媒體技術(shù),利用三維動(dòng)畫演示,注重過程,優(yōu)化結(jié)構(gòu),化解難點(diǎn),突出重點(diǎn),使學(xué)生能夠直觀而清楚地“看見”組合體的結(jié)構(gòu),培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,并學(xué)會(huì)尋找特殊截面,找到多個(gè)幾何體元素之間的內(nèi)在聯(lián)系,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

3 教學(xué)過程

屏幕顯示學(xué)習(xí)目標(biāo),明確學(xué)習(xí)內(nèi)容．

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù),并且要學(xué)到什么程度,引發(fā)認(rèn)知沖突和動(dòng)機(jī)．

創(chuàng)設(shè)問題情境:播放球旋轉(zhuǎn)的動(dòng)畫,認(rèn)識(shí)球體.提問:已知球的半徑為R,求球的體積V球．

設(shè)計(jì)意圖感知球是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體,是對(duì)稱的．直接明了提出問題．經(jīng)過分析,可以先求半球的體積．

目測(cè)體積,比較大小．演示動(dòng)畫:比較等底等高的圓柱、半球和圓錐體積的大小關(guān)系．

設(shè)計(jì)意圖三者皆為旋轉(zhuǎn)體,加強(qiáng)聯(lián)系;溫故知新,感知半球的體積在圓柱的體積和圓錐的體積之間．

圖1

倒沙實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證猜想．動(dòng)畫演示:讓學(xué)生發(fā)現(xiàn),半球中的細(xì)沙正好裝滿同底等高的圓柱和圓錐的組合體,以此得出半球體積恰好等于底面半徑和高都為球半徑的圓柱與圓錐的體積之差(圖1).

設(shè)計(jì)意圖激動(dòng)的心,顫抖的手,眼看那美妙的猜想即將實(shí)現(xiàn),可是數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué),這并不能代替證明,怎么辦?再次吊起學(xué)生探究的“胃口”．

介紹祖暅、祖沖之及祖暅原理．

設(shè)計(jì)意圖介紹歷史知識(shí),為下面證明鋪墊;對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化熏陶,并說明祖暅提出的該原理比西方文獻(xiàn)記載的“卡瓦列利原理”早 1 000多年,認(rèn)識(shí)中華數(shù)學(xué)文化當(dāng)時(shí)在世界的領(lǐng)先地位,增強(qiáng)民族自豪感．

構(gòu)造參照體,證明猜想．利用信息技術(shù)制作三維動(dòng)畫,閃爍關(guān)鍵點(diǎn)、線、面(圖2).

圖2

得定理,談?dòng)洃洠畡?dòng)畫顯示:將球看成由許多頂點(diǎn)在球心、底面都在球面上的“準(zhǔn)錐體”組成,這些“準(zhǔn)錐體”的底面并不是真正的平面多邊形,但只要這些“準(zhǔn)錐體”的底面足夠小,就可以把它們近似地看成棱錐,而這些“準(zhǔn)錐體”的高就是球的半徑R,底面積可分別設(shè)為S1,S2,S3,…它們的和等于球的表面積(圖3).

圖3

圖4

在“教者之教”的組織下,進(jìn)行例、習(xí)題“自組織”的合作學(xué)習(xí),強(qiáng)化運(yùn)用意識(shí)．合作學(xué)習(xí)內(nèi)容包括三個(gè)例題、三個(gè)習(xí)題,其中有例題:分別計(jì)算等邊圓柱及其內(nèi)切球的體積和表面積(圖4).

設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)化運(yùn)用,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),同時(shí)為下面的數(shù)學(xué)文化介紹“借題發(fā)揮”．

介紹歷史故事,緬懷偉人功績．投影阿基米德像,介紹故事:西方探討研究球的體積的學(xué)者首推阿基米德,阿基米德在探討球的體積過程中驚人地發(fā)現(xiàn),等邊圓柱與其內(nèi)切球的體積之比與表面積之比居然都是3∶2,驚人的巧合．因此,他把這個(gè)發(fā)現(xiàn)認(rèn)為是他畢生中最輝煌的成就,后人根據(jù)阿基米德生前的遺愿,在其墓碑上刻上了“等邊圓柱及其內(nèi)接球”這一幾何圖形．

設(shè)計(jì)意圖接受數(shù)學(xué)文化熏陶,了解阿基米德不僅是偉大的物理學(xué)家,更是世界上公認(rèn)的迄今為止的三大數(shù)學(xué)家之一;體會(huì)數(shù)學(xué)物理是一家,“物理的盡頭是數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)的盡頭是哲學(xué)”……等各學(xué)科相通相聯(lián)的普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀．

學(xué)生小結(jié)本節(jié)所學(xué),形成思想方法知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)．

設(shè)計(jì)意圖可以指導(dǎo)學(xué)生通過思維導(dǎo)圖或知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的制作,對(duì)所學(xué)知識(shí)、認(rèn)知方法、數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分類和識(shí)別,形成自己的完整的包括數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等在內(nèi)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

4 回顧與反思

4.1 立意與站位

立德樹人是教育的根本任務(wù),數(shù)學(xué)除了科學(xué)理性,還有人文、精神、原則和育人價(jià)值等,所以,我們不是僅教數(shù)學(xué),而是用數(shù)學(xué)育人．如果直接告訴學(xué)生球的體積公式或者蜻蜓點(diǎn)水地說明一下,然后就是例題教學(xué)和練習(xí),這樣的做法也許暫時(shí)的效果還不錯(cuò),但從長遠(yuǎn)來看,實(shí)在毫無意義,無非就是教會(huì)學(xué)生知道了球的體積公式而已．如果通過球的體積公式的教學(xué)盡可能多地把各路知識(shí)、各種思想方法、多種文化有機(jī)地聯(lián)系在一起,并形成結(jié)構(gòu),讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中感受到數(shù)學(xué)及其文化的博大精深和數(shù)學(xué)的真善美,最終達(dá)成學(xué)生核心素養(yǎng)的培育,才是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的站位．克服功利化傾向,將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的始終,為學(xué)生數(shù)學(xué)必備能力和關(guān)鍵品質(zhì)的形成而教,應(yīng)是我們不懈的追求和永遠(yuǎn)的立意．

數(shù)學(xué)不器,如果沒有將蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)文化發(fā)掘出來,那么我們的數(shù)學(xué)教育就是“買櫝還珠”式的教育．長期以來,我們的數(shù)學(xué)教學(xué)并沒能將蘊(yùn)含在概念、符號(hào)、定理、公理、公式、習(xí)題中的思想、方法、情感、態(tài)度、價(jià)值觀以及數(shù)學(xué)文化充分發(fā)掘出來,致使數(shù)學(xué)教育沒有達(dá)到其應(yīng)有的育人之義,這是非常遺憾的．筆者認(rèn)為,數(shù)學(xué)中的知識(shí)是數(shù)學(xué)文化的載體,讓學(xué)生通過知識(shí)感受到數(shù)學(xué)的精神,才是數(shù)學(xué)教育所應(yīng)該達(dá)到的境界[1]．

4.2 過程與結(jié)果

課標(biāo)強(qiáng)調(diào)評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生知識(shí)技能的掌握,更要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展……評(píng)價(jià)既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程[2]．沒有過程的知識(shí),不能夠很好地納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這樣的知識(shí)對(duì)學(xué)生來說是沒有意義的,甚至是學(xué)生不希望得到的知識(shí)．著名數(shù)學(xué)教育家史寧中先生曾經(jīng)有意調(diào)查一所非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)畢業(yè)生,許多學(xué)生居然忘了“球的體積公式”,甚至連“圓的面積公式”也記不住了,真是發(fā)人深省．從某種程度上來講,沒有過程就沒有結(jié)果．所以,在一些關(guān)鍵知識(shí)、方法和思想的教學(xué)中尤其要注重過程教學(xué)．

在本節(jié)課教學(xué)中,并沒有將球的體積公式“拋”給學(xué)生,而是通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明、結(jié)論、記憶和運(yùn)用等幾個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)施來建構(gòu)學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的結(jié)構(gòu)和路徑:從“目測(cè)”到“猜想”,這是發(fā)現(xiàn);從“猜想”到“實(shí)驗(yàn)”,這是強(qiáng)化發(fā)現(xiàn),而用祖暅原理證明這個(gè)環(huán)節(jié),則是“內(nèi)化”,例題及習(xí)題的教學(xué)則是強(qiáng)化“內(nèi)化”,祖暅及阿基米德的故事介紹則是“文化浸潤”.有著這樣一系列過程,知識(shí)就顯得有血有肉有魂,這樣的知識(shí)即使多少年以后忘記了,對(duì)學(xué)生的認(rèn)知幫助也是終生的．

4.3 方法與技術(shù)

由于教學(xué)設(shè)計(jì)中引入的幾何體的直觀圖及其等距截面比較難畫,高一學(xué)生空間想象能力還不夠強(qiáng),因此接受球的體積推導(dǎo)過程以及有關(guān)球的幾個(gè)組合體的圖象有一定困難,因此要借助信息技術(shù),把有關(guān)知識(shí)以動(dòng)畫演示和講解結(jié)合起來,閃爍關(guān)鍵點(diǎn)、線、面,使學(xué)生從聲、字、圖多方面多感官接受知識(shí),加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)這些過程的直觀認(rèn)識(shí)．事實(shí)證明,在本節(jié)課教學(xué)中,信息技術(shù)的運(yùn)用,在突出、強(qiáng)化教學(xué)重點(diǎn),突破解決教學(xué)難點(diǎn),創(chuàng)設(shè)情境,引發(fā)動(dòng)機(jī),提供模型,建立經(jīng)驗(yàn),顯示過程,形成表象,提供示范,設(shè)置問題,引發(fā)思辨的“突顯”思維教學(xué)過程中發(fā)揮了獨(dú)特的作用,收到了較好的效果．在復(fù)雜的數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中起著“序變量”的作用．

具有“思維可視化”的現(xiàn)代教育技術(shù),能使抽象的數(shù)學(xué)模型變得直觀,使傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)難以克服的難點(diǎn)和重點(diǎn)變得易于理解．因此,要注重技術(shù)的運(yùn)用,要認(rèn)識(shí)到合理使用技術(shù),不僅可以改善教育形態(tài),更可以為學(xué)生提供新的認(rèn)識(shí)路徑,突破能力或思維瓶頸．但使用技術(shù)的“度”的把握很重要,要與教學(xué)方法結(jié)合起來,由教學(xué)需要和教學(xué)方法決定“用與不用、怎么用、用到什么程度”,不能為了技術(shù)而技術(shù),也不能置先進(jìn)技術(shù)于不顧,永遠(yuǎn)放不下那“小米加步槍”[3]．