一般觀念引領下立體幾何性質定理教學
——以“平面與平面平行的性質”為例*

許 波 于 濤

(福建省廈門雙十中學 361009) (廣東省東莞市東莞中學 523005)

1 一般觀念的基本內涵

“觀念”(idea)在希臘文里的原意是指“看”的過程,名詞化后表示“看到的事物”.后來,觀念不單指眼睛的“目視”,更重要的是心靈的“審視”[1].杜威認為“觀念是對事物的關系、作用和原因的感覺”;布魯納指出“觀念是學科中的基本原理和學習心向”;《現代漢語詞典》中,“觀念”釋義為思想意識或客觀事物在人腦中留下的概括的形象(有時指表象)[2].雖然有關“觀念”的表述各不相同,但是各種表述的內涵基本一致:第一,觀念是事物內在的根本特性、本質規律的反映,具有普遍性;第二,觀念的生成需要經驗材料與已有觀念結構同時參與、協同作用,具有系統性;第三,觀念需要經歷感性認知和理性審思兩個循環過程,具有主觀性;第四,觀念是認識世界、解釋現象、解決問題的有效工具,具有工具性.

“一般觀念”與“個別觀念”相對應,指關于一般性事物的觀念.托克維爾指出,一般觀念是把一些相似事物或現象總括于同一形式下的觀念.就數學學科而言,章建躍指出,一般觀念是對內容及其反映的數學思想和方法的進一步提煉和概括,是對數學對象的定義方式、幾何性質指什么、代數性質指什么、函數性質指什么、概率性質指什么等問題的一般性回答,是數學對象的方法論,一般觀念對學生學會用數學的方式對事物進行觀察、思考、分析以及發現和提出數學問題等具有指路明燈的作用.

2 立體幾何性質定理教學分析

立體幾何性質定理中蘊含著怎樣的“一般觀念”?又如何用“一般觀念”引領教學呢?

首先,要弄清什么是“性質”.性質是一類事物共有的特性,是事物內在規律的本質反映.例如,函數性質是研究運動與變化過程中的規律性問題,代數性質是研究運算中的不變性問題,幾何性質是研究幾何圖形構成要素之間確定的關系問題.

其次,要明晰立體幾何性質定理的研究內容.立體幾何是研究現實世界中物體的形狀、大小和位置關系的數學分支學科.其中,位置關系的研究以“點、直線、平面”為基本圖形,以四個基本事實(平面三公理、平行公理)為出發點,重點研究直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關系.立體幾何性質定理是“位置關系的性質”,例如“平面與平面垂直的性質”[3]是在“平面α⊥平面β”的基礎上研究其他直線或平面與平面α,β之間形成的確定的關系.從方法論的角度看,研究兩個幾何元素(兩個平面)的某種位置關系(垂直)的性質,就是研究這種位置關系下的兩個幾何元素與其他同類幾何元素所形成圖形中出現的確定關系(不變性)[4].這一從方法論角度的表述深刻揭示了位置關系性質的表現形式,其作為對數學對象的幾何性質指什么的一般性回答,就是立體幾何性質定理蘊含的“一般觀念”.

最后,要厘清立體幾何性質定理的教學思路.教學通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質.在前述“幾何性質指什么”的“一般觀念”引領下,性質定理的教學可以在確定研究對象(兩個幾何元素的位置關系)的基礎上,讓其他同類元素動起來,再以觀察變化過程中的不變性的思路展開探究性教學.

例如,“直線與平面平行的性質”的教學思路可以是在“直線a∥平面α”的基礎上,通過觀察其他直線或平面與a,α之間是否形成確定的關系,引導學生經歷探究、發現、證明、應用的全過程.直線與平面平行的性質定理作為四個性質定理的第一個,能起到統領其他三個性質定理教學的作用.這里有一個教學問題需要探討:顯然,其他三個性質定理的教學可以類比前面的性質定理教學,從始至終地用“一般觀念”指導教學,那么,如何在直線與平面平行的性質定理的教學中提煉出“一般觀念”,并用其指導學生明確探究內容和方法呢?從幾何性質的整體視角出發,教學可以引導學生審視初中所學的“兩平行直線的性質”蘊含的數學思想和方法,通過歸納“兩平行直線的性質”,明確“探究幾何基本圖形(直線、平面)位置關系的性質”的探究內容與思路,即在“兩平行直線a,b”的基礎上,通過探究直線c與a,b的位置關系,觀察有關同位角、內錯角、同旁內角等幾何量之間的確定的關系,進而歸納提煉出研究幾何性質的“一般觀念”,并類比研究空間基本圖形的位置關系[5].下面筆者以“平面與平面平行的性質”為例,與讀者共同探討一般觀念引領下立體幾何性質定理的教學.

3 “平面與平面平行的性質”教學過程設計

3.1 復習與強化

問題1請同學們根據表1回顧直線與平面平行的性質的探究過程.(含預設結果)

表1 “直線與平面平行的性質”探究過程

設計意圖通過復習回顧直線與平面平行的性質的探究過程,強化“探究空間基本圖形位置關系的性質”的探究內容與方法,深化“幾何元素(直線、平面)之間確定的關系就是性質”的一般觀念,體會一般觀念的引領作用,為類比遷移研究平面與平面平行的性質做好鋪墊.

3.2 探究與發現

活動類比直線與平面平行的性質的探究過程,請同學們探究平面與平面平行的性質,并用圖形語言和符號語言寫出來.

學生活動4人一組共同探索,每組選2人操作展示,1人負責畫圖,1人負責寫符號表達式.(學生提前準備好表示直線、平面的學具)

教師活動①給予學生操作指導,組織有成果的小組上講臺展示.

②給予學生方法指導,引導學生從與已知直線或平面的位置關系角度考慮添加直線的所有位置情況.

活動預設探究結果整理如表2.

設計意圖在學生感悟一般觀念的基礎上,引導學生類比遷移,明確“平面與平面平行的性質”的探究內容與方法,即在“平面α∥平面β”的基礎上,通過添加元素(直線、平面)的方式,研究其他直線或平面與平面α,β之間形成的確定的關系.在一般觀念的引領下,組織學生經歷數學探究活動的全過程,培養學生運用一般觀念指導自身進行數學學習與探究活動的意識,增強學生發現問題、提出問題的能力.通過直觀感知、操作確認,以及觀察歸納、交流互動、反例推斷等活動過程,培養學生的探究能力、創新精神,發展直觀想象素養、邏輯推理素養.

3.3 定理與證明

問題2探究得到的性質,選哪一個作為平面與平面平行的性質定理?為什么?

設計意圖引導學生分析探究結果,深化對各個性質的理解.表2中有四個結論:第1個是平面與平面平行的定義的直觀體現,屬于定義的應用;第2個和第3個具有相似性,一個反映了平行于同一個平面的直線與平面(直線在面外)的平行的傳遞性,另一個反映了平行平面之間的平行的傳遞性,類似于基本事實;第4個從面面平行推出線線平行,更能反應“判定”與“性質”的互逆性．故選擇第4個作為平面與平面平行的性質定理.

表2 “平面與平面平行的性質”探究過程

借助對探究結果的甄別、篩選過程,培養學生養成良好的數學研究習慣與意識,即先運用一般觀念指導進行“創新發現”,再根據簡潔有用等標準進行甄別與篩選,厘清各性質與其他知識之間的邏輯關系,形成一個邏輯嚴密連貫、結構功能良好的知識體系.

問題3如何證明平面與平面平行的性質定理?

(已知α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,求證:

a∥b)

師生共同討論證明思路.第一個思路從證明的目標“兩直線平行”出發,運用直線與直線平行的定義,需要說明a,b共面且沒有公共點;第二個思路是立體幾何定理證明中常用的反證法,通過假設a,b不平行(顯然共面),說明a,b有公共點,進而推出a與α有公共點的矛盾.具體證明過程如下:

證明(方法一)由γ∩α=a,γ∩β=b,可得a?α,b?β,且a?γ,b?γ．

因為α∥β,且a?α,b?β,所以直線a,b沒有公共點．

又因為a?γ,b?γ,即直線a,b共面,所以a∥b.

(方法二)假設直線a,b不平行,則直線a,b異面或相交．

由于γ∩α=a,γ∩β=b,故a?α,b?β,且a?γ,b?γ．顯然,直線a,b異面與a?γ,b?γ矛盾．

若直線a,b相交,由a?α,b?β得平面α,β有公共點,與α∥β矛盾．故假設不成立,所以a∥b.

設計意圖性質定理的證明是“直觀感知→操作確認→思辨論證”一般研究過程的重要一環,是發現問題、提出問題之后分析問題、解決問題的體現.一方面借助定理的證明體現應用數學知識與方法解決數學問題的過程,從知識應用、方法(反證法)應用兩種不同角度幫助學生構建知識方法體系;另一方面進一步完善一般觀念指導下的數學研究習慣與意識,即“創新發現→甄別篩選→推理論證”,使得學生學會數學地思考.

3.4 例題與變式

例題求證:夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

已知:如圖1,α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.

求證:AB=CD.

圖1 圖2 圖3

設計意圖三個題目層層深入,在已知平面平行的基礎上,分別設置了“兩平行直線”“兩相交直線”“兩異面直線”的數學情境,以此檢測學生對平面與平面平行的性質定理的掌握情況.從例題中的平行四邊形到變式1中的相似三角形,再到變式2中的轉化思想,發展學生的邏輯推理素養.三個題目體現的數學結論是一般觀念引領作用的進一步體現,即在“兩個平行平面”的基礎上,添加“空間中兩條直線(平行、相交、異面)”時得到的性質,與教學過程中的探究活動遙相呼應.

3.5 小結與作業

課堂小結往往呈現的是知識目標和思想方法目標,而缺少知識發展形成過程中體現的研究路徑或一般觀念.本節課課堂小結除了知識層面的平面與平面平行的性質定理、方法層面的定理證明方法(包括反證法),還包括過程層面的研究路徑:類比線面平行明確探究方法→借助實物模型猜想數學性質(在其他直線、平面變化過程中的不變性)→運用邏輯推理證明數學性質→解決具體問題深化定理理解,并通過“探究方法”引導學生進一步感悟一般觀念的引領作用,深化從直觀感知到操作確認、再到思辨論證的立體幾何數學觀,推動學生數學觀念、意識的發展與成長.

課后作業的設計包含兩個層面的作業:一個是應用定理,提高技能發展,落實“雙基”;另一個是對課堂探究得到的性質進行文字描述、圖形表示、符號表達,并加以證明,呼應并強化課堂學習活動中發現的性質的同時,鞏固提升學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.

4 教學反思

4.1 一般觀念引領,促進數學活動經驗的積累

一般觀念體現了對相關知識共性的歸納與提取,能引領一系列相關數學知識的學習.四個性質定理的教學能仿照文中“平面與平面平行的性質”的教學案例,形成一系列數學知識不同但數學思想與方法一致的教學.從平面幾何中“兩平行直線的性質”到立體幾何中“直線與平面平行的性質”,再到其他三個性質定理的學習,每一個定理學習的生長點均為之前的性質定理的學習經驗．在這樣的學習過程中,學生不只是在對知識進行記憶與套用,而是需要運用已學知識的經驗學習新知識、研究新問題.四個性質定理的學習能促使學生反復經歷相似的學習過程,在類比學習的過程中不斷積累活動經驗,把新的活動經驗納入已有的活動經驗系統,形成“研究對象在變,研究套路不變,思想方法不變”這樣真正意義上的數學活動經驗,深刻體會數學知識蘊含的數學一般觀念.

4.2 一般觀念引領,促進數學思維能力的培養

一般觀念引領下的教學實踐,給人以發現的眼光、洞察本質的智慧[6].四個性質定理的教學打破常規教學模式及教材的限制,不局限于單純的知識與技能教學,而是以性質定理為教學載體,啟發和引導學生思考“什么是幾何性質?”“如何發現幾何性質?”等數學問題,找到研究方法,形成研究思路,推動學生學會“用數學的思維思考世界”.教學實踐中,學生通過動手實踐、自主探究、合作交流,能發現、提出很多性質定理之外的其他性質,比教學預設更豐富.顯然,一般觀念引領的性質定理教學讓學生既能學習更多的性質,還能知道這些性質的發現過程,進一步強化了發現幾何性質的本領.在四個性質定理略顯“重復”的學習過程中,發現幾何性質只是教學的一個方面．教學需要進一步引導學生思考所有發現的性質之間的關聯,例如梳理哪些性質更基礎、探尋它們之間的邏輯關系等,將發現、提出的幾何性質整合為一個知識體系,使得學生不僅關注探究過程中的問題,還關注對探究得到的正確結論的歸納與整理,把數學思維能力的培養貫穿始終.