新教材“基本不等式”習題難度的比較研究*

倉萬林 李 紅

(江蘇省江陰市要塞中學數學寫作工作室 214432)

1 前言

教科書是教師進行教學活動和學生學習的基礎資源,直接影響著教學的成效．近年來,在核心素養視域下,中外不同版本中小學數學教科書的比較研究已成為數學教育研究熱點之一．

習題是數學教科書的重要組成部分,在學生對數學概念的理解、數學技能和數學思想方法的掌握等方面具有舉足輕重的作用,也對數學課堂教學產生不可忽視的影響．習題配置在一定程度上反映了數學教科書的特征,如編寫者的價值取向和編寫風格等．因此,習題研究是教科書研究的一個重要方面．如王建磐、鮑建生對中國、美國、法國、俄羅斯、澳大利亞的六套高中數學教科書中習題綜合難度進行了比較研究[1]．

依據《普通高中數學課程標準(2017年版)》,相關出版社相繼出版了多個版本的數學教科書,呈現出一(課)標多(版)本的局面．本文選取了2019年最新版的人民教育出版社A版(以下簡稱人教A版)、人民教育出版社B版(以下簡稱人教B版)、北京師范大學出版社(以下簡稱北師大版)、上海教育出版社(以下簡稱滬教版)、江蘇鳳凰教育出版社(以下簡稱蘇教版)、湖南教育出版社(以下簡稱湘教版)、湖北教育出版社(以下簡稱鄂教版)七版高中數學新教材必修第一冊中“基本不等式”內容習題進行比較研究．相比于高校學者的宏觀研究,這是一線高中數學教師有可能研究的問題．同時,本文也是《七種版本新教材“基本不等式”內容的比較研究》[2]一文的延續．

2 習題比較

數學教材是由正文、例題、習題三部分有機組成的[3]．本研究中的習題包含了例題,在實際教學過程中,教師會根據教學情況更換例題,也會出現將例題作為作業的情況．

習題在教科書中占比較大,其配置情況直接影響著學生的學習質量．在各種版本的教科書中,習題均由例題、隨堂練習、小節習題、復習參考題四種形式構成．例題一般跟隨在知識點之后,主要特點是“例”,即講解完某一知識點便設置相應的例題來展示其具體應用,通常會有詳細的解析和規范的解答過程．根據出現的位置不同,習題還有隨堂練習、小節習題以及章末復習參考題等.隨堂練習是對所學知識和例題的進一步深化;小節習題一般位于某一節之后,起到鞏固和綜合的作用;復習參考題位于章節最后,題量較大,主要考查學生對整章知識的掌握程度．小節習題和復習參考題一般根據知識點模塊分為A組、B組、C組,難度逐級遞增．

2.1 習題呈現方式

習題呈現方式體現了教科書編寫特色．雖然本文只研究一小節內容的習題,但從整體上梳理習題的結構有助于我們更好地理解問題．多種版本教科書中例題的呈現方式差異不大,例題之外的習題有豐富而實用的個性化設置.在新版教科書中,例題之外的習題按難度進行分類設置已經基本形成共識,除鄂教版僅在復習參考題中進行分類外,其余六版教科書均從隨堂練習就開始進行分組設計,其中人教B版中隨堂練習以A、B組形式直接列出,另外五版教科書中的練習是以基本不等式證明和基本不等式實際應用分別設置,相當于進行了分組．在小節習題和復習參考題中,人教B版、北師大版、滬教版、鄂教版均用A、B、C組形式分組(滬教版中的“拓展與思考”、鄂教版中的“思考與實踐”相當于C組題)．人教A版教材以“復習鞏固、綜合應用、拓廣探索”、蘇教版教材以“感受·理解、思考·應用、探究·拓展”形式對習題進行了分類;湘教版用“學而時習之、溫故而知新、上下而求索”進行分類,從一個側面體現了教科書對數學文化的重視．

2.2 習題數量

要想理解、掌握一個知識點,就需要適當的練習,但練習的次數要有度,過度的練習會給學生帶來學習負擔,這也是經常困擾教師教學的一個問題．七版數學教科書的各類習題數量如表1所示.

表1 七版數學教科書習題數量

由表1可知,習題數量最少的是北師大版,僅有19題,由于北師大版教科書將“基本不等式”小節放置在初高中銜接內容中,因此在題目數量上較少;最多的是人教B版,有37題．七版教科書中習題數量的中位數是25,方差為47.48．小節習題所占的比重最大．新教材的習題數量均略多于相應版本舊教材,更強調學生練習．

圖1 數學課程綜合難度模型

2.3 習題難度

2002年,鮑建生借鑒Nohara的數學題“綜合難度”分析框架,建立了數學課程綜合難度模型[4],如 圖1．史寧中等從課程深度、課程廣度和課程時間三個因素建立了課程難度模型[5].2013年,郭民、史寧中又修正了課程難度模型[6]．

本文根據鮑建生修正后的綜合難度模型進行研究,見表2．這個模型操作簡單,使用方便,相對較好地量化了數學題的綜合難度．

表2 數學習題難度因素與水平

權重的加權平均值,dij表示第i個難度因素上第j個水平的權重(dij=j),nij表示屬于第i個難度因素上第j個水平的題目個數,n表示題目總個數．

由于本文研究的習題數量不太多,筆者以人教A版教科書習題為例,給出習題難度分析結果(表3).

表3 人教A版教材習題難度一欄表

按同樣方式,得到另外六版教科書習題的難度分析表,在此基礎上,匯總七版教科書習題難度因素加權平均統計結果(表4).

表4 七版教科書習題難度因素加權平均統計

下面,先按照每個難度因素分別對七版教科書進行定量分析和定性描述,然后再從綜合難度上進行比較．

2.3.1 在背景水平上的差異

從表4可以看出七版數學教科書在背景因素水平上差異較大:滬教版中屬于“無背景”水平習題比例最高,為74.07%,人教B版的比例也在70%以上,與之形成鮮明對比的是,人教A版和湘教版比例均為44%,北師大版最低,僅為42.11%．這反映出教科書編寫者對數學應用問題的觀點有很大的差異,體現在實際教學中,一線教師對新教材中應用問題的態度有很大的分化．在“有背景”的問題中,在與生產生活相關的“個人生活”和“公共常識”方面,人教A版、湘教版、北師大版占比超過了50%．在“科學情境”上,七版教科書處于較低的水平,僅人教A版、人教B版、蘇教版中各有1個問題．

當然,由于研究對象的特殊性,對七版高中數學教科書進行背景水平的測量具有一定的片面性．事實上,七版教科書中,許多有背景的問題并不在例題中,多數教材都偏向在引入部分和探究建模部分設置有情景的問題．

2.3.2 在數學認知水平上的差異

七版高中數學教科書習題在數學認知水平上的差異分析結果如圖2所示．

圖2 七版數學教科書習題在數學認知水平上的比較

從整體來看,七版教科書都是“理解”水平的習題最多,“識記”水平的次之,“探究”水平的習題最少,僅在蘇教版中出現過1個“探究”水平的習題．“理解”水平的習題占比一般在80%左右,其中人教A版的比例最低,為64%,鄂教版的比例最高,為90%,其他幾個版本差異不明顯．在“應用”水平上,人教A版的比例最高,為16%,是其他版本的2～3倍．總的來說,七版教科書“探究”水平的習題較少,部分問題出現在“閱讀與思考”或者“信息技術應用”等欄目中．這也說明了高中教科書更加重視讓學習者理解領會知識,而不僅僅是簡單的計算和概念識記．同時從圖表中可以發現,人教A版“識記”水平的習題占比為20%,與其形成鮮明對比的是,鄂教版中僅有5%,這是鄂教版習題總量在七版教科書中數量最少的原因之一．

2.3.3 在運算水平上的差異

七版教科書中均沒有出現“復雜符號運算”水平的習題,這與“基本不等式”內容在新教材中的位置前移有關,也從一個側面解釋了部分一線教師在教學時會受原教材和評價的影響,產生很多不適應．在“簡單符號運算”上,占比最高的前兩位是鄂教版(90%)和湘教版(88%),人教A版的最低(48%)．不同版本側重點差異較大:人教A版、人教B版、滬教版教材在“無運算”“數值運算”與“簡單符號運算”方面的比例相當;鄂教版和湘教版更重視“簡單符號運算”,其次是“數值運算”．“無運算”習題比例非常低,僅在蘇教版和湘教版中出現了少量無運算的習題．

2.3.4 在推理水平上的差異

由表4不難看出,七版教科書習題以“無推理”和“簡單推理”水平為主,在這兩個水平上基本保持一致,占比均在50%左右．在“復雜推理”層次上,人教A版和蘇教版分別有一個習題．人教B版推理水平的習題占比為56.76%,明顯高于其他幾個版本,滬教版推理水平的習題占比較低,為37.04%.

2.3.5 在知識含量水平上的差異

統計表明,七版教科書在知識含量水平上趨向一致,都是隨知識點數量的增加,習題所占比例逐漸減小,且大部分題目僅含1～2個知識點,均沒有出現“三個知識點”水平的問題．七版教科書習題在“一個知識點”水平的占比在60%左右,蘇教版占比最高,為65.71%,湘教版最低,為52%．在“兩個知識點”水平的習題占比40%．這體現出新教材習題考查的知識點更加全面,有利于鍛煉學生解題能力,提高數學核心素養．

2.3.6 綜合難度的差異

表5給出了七版教科書習題在五個難度因素上的排序情況,現在利用綜合難度模型計算其綜合難度值．

通過對習題難度因素加權平均值的統計,得到下面的雷達圖,見圖3．

圖3 七版數學教科書習題綜合難度的比較

2.4 結論

研究表明,人教A版、人教B版的整體水平差異不大．滬教版的知識綜合程度不高．七版高中數學教科書習題在綜合難度上都沒有保持5個難度因素之間的平衡,知識含量因素的加權均值相比其他4個因素要小很多,在“認知要求”和“運算”上要求都比較高．因此,教科書習題的選擇和編寫應注意與數學內容緊密結合,充分考慮其特殊性,適當兼顧各個難度因素之間的平衡．

表5 七種版本教材習題難度因素排序

3 研究啟示和教學建議

3.1 研究啟示

3.1.1 改善習題呈現方式

習題的設置在很大程度上會影響學生對數學知識的理解及其數學思維的形成過程[7]．各個版本的新教材中,例題的呈現方式可以適當豐富,與其余的習題在結構上形成有機銜接．雖然七版教科書中多數對例題之外的習題進行了分層處理,但沒有根據不同的知識技能目標進行更加細致具體的分層處理．建議小節習題分為“鞏固題”“應用題”“復習題”“開放題”等,章復習參考題以“技能”“性質”“應用”“拓展”4個方面分層次呈現,體現較完善的習題呈現方式,并分配相應數量的習題．

3.1.2 適當增加探索性和開放性習題

從研究的結果中不難發現,七版教科書中處于探究分析、復雜推理和復雜符號運算等高層次水平的習題占比較少.需要在注重雙基、重視概念練習的前提下,重視較高數學認知水平的培養,降低與例題形式完全相同、直接模仿例題解答的練習題比例,提高較高認知水平的練習題比例．新課標提倡豐富多彩的學習方式,如探究學習、自主學習、合作學習等,建議教科書中適當設置“開放題”(探究題、動手實踐題、合作交流題),方式上可采用現在越來越多教師和學生感興趣的數學寫作等形式．

3.2 教學建議

在實際教學中,教師應全方位參考多版本教科書,取長補短,選擇合適的教學內容,并根據學情選擇性地進行拓展延伸．

教學中體現數學文化融入課程的實踐.習題作為數學教科書的重要組成部分,也要體現數學文化的價值．基本不等式內容中包含著豐富的數學文化內容,如人教A版和蘇教版等教科書中廣泛應用的“弦圖”、基本不等式的無字證明等,在教學中應引起重視．

致謝:本文寫作得到了眾多專家的指導,如蘇州大學數學科學學院嚴亞強教授、周超教授,華東師范大學出版社劉祖希老師,廣西教育期刊社陸順演老師,溧陽市教師發展中心教研員胡云飛老師,浙江杭州第九中學龔雷老師等,一并感謝．