探析數學史對高三單元復習課的價值
——以兩節圓錐曲線復習課為例*

劉夢哲 孔雯晴

(華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

圓錐曲線是我國高中數學教學的重難點之一.在已有教學中,教師多以試題為導向,通過歸納用圓錐曲線定義解決的幾類問題,引導學生用定義解題[1]．然而,在提倡將數學文化融入數學教學、實施數學學科德育的今天,以題海戰術來訓練學生已不能滿足時代對人才的要求．鑒于此,HPM高中教師網絡研修班開展了“圓錐曲線高三單元復習課”的課例研究,幫助高三學生重新認識橢圓、雙曲線和拋物線的定義,了解圓錐曲線的起源,建立三者的內在聯系,發揮數學史的多元教育價值．分別來自上海市和江西省的教師A和教師B各自實施了教學,兩位教師使用的教材分別是滬教版(2008年版)和北師大版(2006年版)．

本文通過分析兩位教師的展示課,試圖回答以下問題:兩位教師所用數學史在高三復習課中發揮了哪些教育價值?兩節課對今日圓錐曲線高三復習課的教學有何借鑒意義?

2 教學設計與實施

2.1 教學目標

教師A和教師B擬定的教學目標基本相同,具體如下:

(1)經歷從幾何模型中抽象出圓錐曲線軌跡定義的過程,知道圓錐曲線的定義,把握橢圓和雙曲線第一定義及拋物線定義的定值問題;

(2)利用橢圓和雙曲線的第一定義以及拋物線定義提高學生的解題能力,發展學生的直觀想象、數學抽象和數學運算學科核心素養．

在面臨高考的背景下,兩位教師均關注學生的數學素養及解題能力的培養,希望通過本課時的教學,強化學生對圓錐曲線的定義的理解和記憶,并用以輔助學生的解題．此外,教師A增加了一個目標:了解圓錐曲線的歷史背景,建立圓錐曲線的內在聯系;教師B增加了一個目標:復習圓錐曲線的定義及其標準方程．

教師A和教師B設置的教學重難點也相似．教師A設置的教學重點為復習圓錐曲線的定義和應用,體會數形結合的思想;難點為從幾何模型中抽象出代數表達．教師B設置的教學重難點皆為使用旦德林雙球模型驗證橢圓和雙曲線的第一定義及拋物線的定義,利用橢圓和雙曲線第一定義及拋物線定義解題．

2.2 教學過程

教師A和教師B的教學過程包括溫故知新、再探定義、實踐應用和課堂小結四個環節,具體見表1．

在溫故知新環節,兩位教師均設置了復習舊知和探究圓錐曲線截線定義的內容,只是在內容安排上有所不同．教師A首先讓學生回憶滿足條件的動點的軌跡是橢圓、雙曲線還是拋物線,然后提出問題;其次,學生通過操作平板改變平面與圓錐母線的夾角,從定量和定性的角度總結圓錐曲線的截線定義,教師通過將學生給出的結論與阿波羅尼奧斯的研究成果進行對照,實現古今對話．教師B首先提出和教師A一樣的問題,隨后運用Flash動畫幫助學生直觀地理解歷史上梅內克繆斯

表1 教師A和教師B的教學過程比較

三線和阿波羅尼奧斯的研究;其次,教師帶領學生一起復習高二所學的圓錐曲線的軌跡定義、圓柱中的雙球模型和園藝師畫法．

再探定義環節則是本節課的重點和難點所在,兩位教師均以旦德林模型為主線,先引導學生證明橢圓的定義.隨后通過類比,教師A讓學生自己證明雙曲線的定義,并利用平板拍照上傳證明步驟進行分享,此外,教師A還借助微視頻介紹圓錐曲線的起源和發展史;教師B讓學生以小組為單位,證明雙曲線和拋物線的定義,并邀請學生到講臺上分享證明步驟．

當然,運用旦德林雙球模型證明橢圓、雙曲線和拋物線的定義的過程并不是一帆風順的．鑒于此,教師B先帶領學生回顧圓柱中的雙球模型,為進一步探究圓錐中的雙球模型搭建“腳手架”,再讓學生圍坐一圈,以小組為單位,共同探究雙曲線和拋物線的定義的證明．在討論中,課堂氣氛熱烈,且每位學生都能表達自己的想法,這有利于激發學生的創新意識,體會數學探究與發現帶來的樂趣,并加強知識的縱橫聯系．

在實踐應用環節,兩位教師借用歷史上的“截口曲線”或“旦德林模型”來編制數學問題,從而提升學生運用定義解題的能力．在課堂小結環節,教師A先讓學生談談本節課的收獲,隨后教師從四個維度總結本節課學到的內容;教師B與學生一起總結了本節課學習到的數學知識．

3 數學史的教育價值

數學史的融入為高三復習課注入了更多的活力.具體而言,這兩節課發揮了數學史的四種教育價值,即深化概念理解、加強知識聯系、豐富問題資源和滲透思想方法．

3.1 深化概念理解

復習課的關鍵在于站在更高的起點回望學習過的知識,通過掌握學生對某一知識存在的認知障礙,并在歷史的長河中尋找問題的答案,以此讓學生經歷這一部分數學知識的發生發展過程,以期解決學生的認知障礙,從而促進對知識的理解．理解作為學生數學學習過程的中心環節,任偉芳等結合斯根普(R.Skemp)的“工具性理解”“關系性理解”兩種理解模式以及Pirie-Kieren的“超回歸”數學理解模型的最后一個層次“發明創造”,提出數學理解的三個層次,即工具性理解、關系性理解和創新性理解[2]．

在高三復習課中,教師可以依托課前問卷尋找學生的認知障礙．通過梳理教師A的課前問卷不難發現,學生對問題“為什么橢圓、雙曲線和拋物線統稱為圓錐曲線?”的認知普遍停留在“由圓錐截得圖形”,而對為何及如何截得這三條圓錐曲線的問題略顯困惑,即學生的理解僅停留在工具性理解水平附近．兩位教師均以此為起點,和學生一起經歷歷史上數學家對圓錐曲線截線定義的探索過程．

教師A讓學生借助平板電腦,親自動手改變圓錐截面的位置,從直觀上感受三條圓錐曲線的形成過程,并歸納出截線定義;教師B借助Flash動畫,動態展示梅內克繆斯三線及阿波羅尼奧斯的研究,學生通過觀察,同樣可以歸納出截線定義．可見,兩位教師在與學生共同探究和歸納圓錐曲線截線定義的過程中,可以加強學生對圓錐曲線的“形”的本質理解,以此幫助學生達到關系性理解水平．當然,圓錐曲線的軌跡定義和截線定義并非孤立存在,通過探究旦德林雙球模型,還可以建立這兩者之間的關系,這一過程有助于學生完善認知結構,從而達到創新性理解水平．

3.2 加強知識聯系

復習課的目的是把平時在教科書中所學到的零碎知識系統化,讓學生從整體上把握所學的內容．美國心理學家奧蘇伯爾(D.P.Ausubel,1918—2008)提出三種同化學習的模式,即下位學習、上位學習和組合學習[3],基于此,我們可將知識間的聯系分為橫向聯系和縱向聯系．本節課兩位教師采用“引導-探究”的教學模式．上課伊始,師生共同歸納出了圓錐曲線的截線定義,但僅從直觀想象的角度說明某一曲線是橢圓、雙曲線或拋物線并不能讓學生信服,需要對此進行邏輯證明．于是,兩位教師為學生留下思考的時間空間、留出“發現之白”和“論證之白”.借助旦德林雙球模型,學生可以通過類比,并利用初等幾何、立體幾何等知識,在發現知識、證明結論的過程中,建立起以下兩方面的聯系．

?建立了圓錐曲線的截線定義和學生已學過的軌跡定義之間的聯系;

?建立了橢圓、雙曲線第一定義和拋物線定義之間的內在聯系．

可見,兩位教師以史為鑒,幫助學生搭建起了圓錐曲線不同定義間的聯系.但是,這兩方面的聯系僅屬于知識間的橫向聯系,關于知識間的縱向聯系,教師在未來的教學中還應有所關注．

3.3 滲透思想方法

日本數學家米山國藏說過,作為知識的數學出校門不到兩年都忘了,唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學思想、研究的方法和著眼點等,這些隨時隨地發生作用,使人終身受益[4]．因此,教師在日常教學中應重視提煉數學思想方法,使學生逐步體驗、逐步理解、逐步學會應用數學思想方法,進而培養學生的數學高層次思維,提升數學核心素養．

兩位教師在再探定義環節,借助旦德林雙球模型,先和學生一起證明橢圓的定義,而后學生自主探究雙曲線或拋物線的證明,滲透了類比和歸納推理的數學思想．在實踐應用環節,在解決截口曲線問題時,通過引導學生畫出圓錐的軸截面,從而將立體圖形平面化,進而實現問題的求解,滲透了化歸的數學思想.此外,教師A在例題2的講解中還滲透了方程的數學思想．

在課堂小結環節,教師A先讓一些學生談了自己在上完本節課后的收獲和理解,然后,師生 一起從四個維度總結本節課學到的內容(圖1)．教師B讓學生回顧本節課學習到的知識,卻忽視了對本節課思想方法的提煉．可見,教師A課堂小結到位、思路清晰,從多個視角概括性地總結了本節課的重難點,使學生真正感受到“課已盡而意無窮”的效果．

圖1 教師A的課堂小結

3.4 豐富問題資源

對于復習課,更重要的是強化基礎知識運用,掌握基本解題方法,提高實際應用能力．在HPM視角下的數學教學中,數學問題乃是數學史的最重要的載體.隨著高考數學卷中頻繁出現數學文化問題,基于數學史的問題也逐漸成為教師關注的焦點[5]．在這兩節課中,兩位教師均嘗試根據歷史材料編制數學問題:教師A基于阿波羅尼奧斯對圓錐截線的研究,設計了一道截口曲線問題;教師B額外還基于旦德林雙球模型設計例題,讓學生解決一類與截線定義有關的問題．以教師A和教師B設計的問題為例．

教師A:歷史上許多人研究過圓錐的截口曲線．如圖2,在圓錐中,母線與旋轉軸夾角為30°,現有一截面與圓錐的一條母線垂直,與旋轉軸的交點O到圓錐頂點M的距離為1,求截口曲線上任意兩點間的最長距離．

圖2 截口曲線問題 圖3 旦德林雙球模型

教師B:旦德林雙球模型可以幫助數學家建立起圓錐曲線的截線定義與軌跡定義之間的聯系．如圖3,在圓錐內放兩個大小不同的小球,使得兩球分別與圓錐的側面和截面相切,設球O1,O2的半徑分別為3和1,球心距離|O1O2|=8,兩球分別與截面相切于點E,F(E,F亦是接口橢圓的焦點),求這個橢圓的離心率．

對于教師A的問題,通過引導學生畫出軸截面的圖象,并根據先前所學習的圓錐曲線截線定義,容易分析出這一截面與圓錐的交線是橢圓,再運用解直角三角形的知識,即可計算出橢圓的長軸長;對于教師B的問題,通過計算圓錐母線與軸的夾角的余弦值和截面與軸的夾角β的余弦值,即可得出橢圓的離心率．

當然,以史為源設計的例題還有很多,上述例題不僅可以幫助學生深入理解圓錐曲線的起源以及圓、橢圓、雙曲線、拋物線四種曲線的內在關聯,還可以讓學生綜合運用平面幾何、立體幾何、解三角形等知識解決數學問題．

4 結論與啟示

綜上所述,兩節課充分展現數學史在深化概念理解、加強知識聯系、滲透思想方法和豐富問題資源上發揮的教育價值．通過同課異構的課例比較與分析,我們得到以下三點啟示．

其一,數學史的融入為高三復習課注入新的內涵．

從數學知識層面看,在今天的數學課程中,圓錐曲線是作為解析幾何概念登場的．教材的處理偏重從代數的角度呈現圓錐曲線的知識,卻不太關注作為幾何概念的圓錐曲線的起源,從而忽視了知識之本源．因此,在學生已有的軌跡定義的基礎上,復習課呈現古希臘的截線定義,并運用旦德林雙球模型建立起兩者之間的聯系,這將有助于學生厘清圓錐曲線的“純幾何身份”,豐富學生對圓錐曲線的本質理解．

從學科德育層面看,數學史可以揭示圓錐曲線的源流,一方面讓學生感受不同文化背景下的數學家對圓錐曲線的研究,展示多元文化,另一方面引導學生跨越時空,與古代數學家對話,從而讓學生親近數學,增強學習數學的自信心,培養動態的數學觀,體會數學背后的理性精神．此外,通過課堂留白,知識不再是教師原原本本地講授給學生,而是通過每一位學生的探究“再創造”出來,提高了學生學習數學的興趣,這也契合HPM基本教學理念[6]．因此,廣大教師應充分借助數學史,更好地在高三復習課中發揮數學史的育人價值．

其二,信息技術的運用為HPM的課堂插上騰飛的翅膀．

信息技術與數學教學有機結合,可使教學形式更加多樣化、視覺化,有利于展示數學概念的形成過程和數學思維的發展過程,使數學教學起到事半功倍的效果．以圓錐曲線為例:幾何畫板及GeoGebra的使用能讓學生直觀地感受幾何圖形,有助于增加學生的實際體驗、及時展示學生反饋,微視頻的應用讓千百年來數學的發展生動地展示在學生面前．積極推動信息技術與教育融合創新發展,將為數學教學開拓出更廣闊的前景．

其三,學生本位的教學理念為學生的數學素養、數學思維的發展提供了契機．

教學過程應始終堅持以學生為中心,將全面提升學生的數學素養、數學思維作為教學活動的出發點和歸宿．一方面,教師應給予學生思考問題的時間和空間,給予學生表達自己想法的機會;另一方面,教師還應科學設置學習小組,開展合作探究活動,讓每一位學生都能參與到課堂活動中來,突出學生的主體地位,培養學生主動參與的意識,激發學生的創造潛能,實現數學學習從感性到理性的飛越．