一道習題引起的微探究教學*

郭立祥

(廣東省中山市實驗中學 528400)

1 問題的提出

高三一輪復習開展《向量的運算》單元教學時,筆者選擇下面這道習題作為例題:

圖1

2 基于習題的微探究教學

“微探究”是教師根據教學內容的一個知識點開展問題探究,在探究過程中組織、引導學生運用所掌握的基礎知識和基本技能,通過自我探究與合作交流的方式進行學習.

2.1 微探究的情境創設

教學片斷1

師:如果向量a,b前面的系數不相同會出現什么結果?

生1:上次月考的數學試卷中有一道類似題目,具體如下:

師:數學遵循復雜問題簡單化,等號右邊的式子如何化簡?

師:很好!探究1在例題所考查的知識點的基礎上,增加正弦定理應用,加大了難度.

教學過程反思 由于微探究的知識點出現在剛剛考過的月考試卷中,學生比較熟悉,且探究1的得分率比較低,學生也想搞清楚困擾自己解決問題的原因．從例題自然而然過渡到探究1,圍繞“向量模長變化對于點的軌跡影響”創設的情境使得學生容易進入微探究,在課堂中其參與的積極性比較高.

2.2 微探究的“切口”選擇

“切口”指面對需要解決的問題,選擇一個知識點作為開展微探究的切入口,強化對于重點知識的理解.一般情況下,這個知識點就是一節課的教學重點或難點.為了便于進行微探究,“切口”的選擇宜小不宜大,盡量選擇學生比較熟悉和容易接受的知識點.在研究例題和探究1以后,選擇“向量模長變化對于點的軌跡影響”作為本次微探究的“切口”.

教學片斷2

師:如果把探究1中向量a,b的系數去掉分母正弦值,那么問題變成:

為了方便開展微探究,將班級52名學生分成四個小組,小組內部討論3分鐘以后,每一個小組都提交了結論,教師鑒定后選擇第一組的結論為最優解,并由生3展示成果．

圖2

課堂內,生4提出以下疑問.

生4:在探究1中,等式右邊分母去掉模長,怎么辦?問題變成如下形式:

師:這個問題很好!同學們仍然以小組為單位開展研究,我們看看哪一組能夠給出完美的答案．

3分鐘以后,四個小組均提交了答案,教師逐個檢查后認定第二組的答案最完美,于是展示其研究成果．

2.3 微探究的拓展性

進行到此的微探究都是在同一個平面內,對于不共線向量a,b的模長進行適當變化,求點P的軌跡.如果在空間內對于三個不共面向量a,b,c的模長進行適當變化,如何求出點P的軌跡呢?

教學片斷3

師:如果把例題中的平面拓展到空間,問題變化成如下形式:

水動力控制修復法。該技術的應用在有機污染修復中作用較強，核心應用模式就是井群控制系統，促使其較好實現水力梯度的有效改變，能夠對于地下水不同污染層級的修復分離；該技術的應用需要對于上游分水嶺和下游分水嶺進行較好的設計和控制，促使其形成較為理想的整體治理效果。（2）屏蔽法。對于地下水有機污染的修復，借助于屏蔽法較為適宜，其主要就是實現對于有機污染水源的封閉控制，首先針對污染源進行控制，避免其形成明顯的擴散威脅。

如何解決這個問題呢?大家仍然以小組為單位開展微探究,并給出本組的答案.

經過教師評判,第三小組給出的答案最優.小組代表展示成果如下:

圖3

類比探究1～3中變化向量a,b,c的模長,其他條件不變,繼續引導學生去探究點P的軌跡.

師:三個不共面且互相垂直的向量a,b,c,只對其中一個向量的模長進行適當變化,考慮到三個向量處于同等地位,不妨對向量a的模長進行變化,探究如下問題:

圖4

兩分鐘以后各組都完成了任務,小組之間交叉評判,最終確定第四組的解答為最優解,由小組長代表該組展示成果,結果見圖4,點P的軌跡為直線GF.

教師引導學生對a,b,c中任意兩個向量的模長進行變化,進一步探究點P的軌跡.

師:三個不共面且互相垂直的向量a,b,c中,對其中兩個向量的模長進行變化,同樣也考慮到三個向量a,b,c處于同等地位,不妨對向量a,b的模長進行變化,探究如下問題:

每個小組內部討論了2分鐘以后,仍然沒有一個小組給出結果.

圖5

在本片斷的探究即將結束的時候,教師給出如下階段性總結:

師:探究4～6涉及的問題是對于互相垂直,且不共面的三個向量a,b,c的模長進行變化,借助長方體這一載體,或者建立空間直角坐標系來探究點P的軌跡.它們都是下列問題的特殊情況:

教學過程反思 對于一個問題展開的微探究,不一定都能夠解決,但是微探究過程本身也是一種收獲.從平面拓廣到空間的過程展示出微探究的魅力,其中探究6雖然沒有能夠根據已知條件得到點P的軌跡,但是在微探究過程中也找到了不能夠確定軌跡的原因以及解決問題的方法.與此同時,在解決探究6的時候,引入空間直角坐標系,利用空間點的位置變化來判斷點P的軌跡,這種技巧與例題和探究1～5的解決方法不同,這也體現出微探究的價值.

3 對微探究教學的反思

著名數學家華羅庚提出,讀書是一個從“由薄到厚”過渡到“由厚到薄”的過程.[1]同樣,高三一輪復習也是一個夯實基礎知識和基本技能的重要過程,一輪復習通常都是進行單元復習,因此復習每一個單元知識的時候,應盡可能理解到位,也就是平時的訓練要“想多一點”,特別是應用復習過的所謂“舊知識、舊技能”的時候.上述由一道習題引起的6個探究,所涉及的知識大部分都是一輪復習已經涉及的內容,由淺入深地逐步展開微探究,以此訓練學生應用知識的綜合能力.在微探究過程中教師還要關注以下幾點:

3.1 微探究并不是浪費時間

在微探究過程中除了例題中應用到的向量的平行四邊形法則之外,還應用到單位向量、正弦定理、空間直角坐標系的坐標變化等知識.另一方面,微探究過程涉及更加復雜的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象和數據分析.在此過程中應著力避免就題論題,陷入題海戰術,讓學生參與知識的形成過程,提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力.

3.2 微探究注重數形結合應用

抽象思維和形象思維的交替訓練有利于提高學生微探究的效率.例如,本節探究給出5個圖象,以便學生根據直觀圖象,運用抽象思維去解決問題,這就變得容易多了,同時也使得數形結合思想深深扎根于學生思維中,做到“能夠畫圖的盡量畫出圖形”,從而養成良好的思維習慣.

3.3 微探究的問題設置

微探究過程中的問題設置既要考慮問題的梯度和系統性,還要考慮學生的整體一致與個體差異相結合.首先微探究涉及的所有問題都是對思維的逐步推進,整個探究過程追求思維過渡自然,跳躍度不能夠太大.其次還應該考慮學情差異,每個學生都有自己的“最近發展區”,它是微探究維度設置的依據.本節課緊緊圍繞“向量模長變化對于點的軌跡影響”,從平面過渡到空間的過程涉及從一個參數到多個參數,從特殊到一般,循序漸進地進行微探究.

借助微探究將知識系統化是高三一輪復習的方向,教師應始終把握微探究的引擎,由淺入深,引導學生運用所學的知識和技能去解決實際問題.在進行微探究的過程中,可能會出現一些錯誤或者遇到無法解決的問題,但是能夠發現錯誤或者確定根據現有知識無法解決也是一種收獲,這是夯實基礎知識和基本技能的一個彌足珍貴的探索過程.正如愛因斯坦所說:“探索真理比占有真理更為可貴.”[2]微探究是提高學生創新能力的重要途徑,也是一線“數學人”樂此不疲追求的價值體現.