大單元教學觀下的章末復習課教學反思
——以人教版“復數”章末復習課為例

華 婧 任偉芳

(浙江省寧波市鄞州中學 315100) (浙江省寧波市教育局教研室 315100)

不久前,寧波市教研室組織了以“大單元教學觀下的章末復習課教學”為主題的課堂教學教壇新秀評比,該項活動引起了大家濃厚的興趣．參賽選手以人教A版必修第二冊第七章“復數”章末復習為授課內容,共開設了16節同課異構的評比課．筆者依據大單元整體觀的理念,結合授課內容特點和學生認知水平,構建了一堂以數系的發展歷程為線索、圍繞數學思想方法和研究思路的課堂,得到評委老師和學生的一致好評．根據5位專家組成的評委團的現場打分,筆者執教的“復數章末單元復習——虛數i的奇妙之旅”排名第一,現將其進行整理,與同行分享．

1 單元教學的內涵與價值

大單元教學的內涵是以大主題或大任務為中心,對學習內容進行分析、整合、重組和開發,形成具有明確的主題、目標、任務、情境、活動、評價等要素的一個結構化的、具有多種課型的統籌規劃和科學設計．核心素養導向下的“大單元教學”設計,要求教師建立起數學核心素養與數學核心內容之間的關聯性[1],這種關聯性可以體現在知識層面、方法層面、思維層面等,其關鍵是尋找一種可以將數學核心素養與該單元知識體系合理整合的思路或者線索,以去除知識的碎片化,追求知識體系的完整性和思想方法的可遷移性,使數學核心素養具體化,可培養、可干預、可評價．

大單元教學的價值主要體現在對教學內容進行二度開發和整體設計,注重知識間的關聯性、方法間的遷移性、課時安排的整體性．知識的聯系與交融體現在多個方面,相應地,單元教學的課時安排與教學設計也是多元化的．譬如,以數學的實際應用價值為依據逆向設計情境、以問題鏈為載體進行結構的構建、以數學的發展規律為線索搭建知識脈絡、以數學方法論為工具促進探究性學習等,讓學生更加全面地了解知識的來龍去脈、數學的發展規律,以及研究數學問題的基本思路和方法．

2 教學設計的思路與過程

章末復習課教學重點在于“復習”二字,而“復習”二字往往容易指向“習題”,使課堂陷入“概念—性質—應用”的模式化教學,忽視了貫穿其中的暗線:“事實—過程—方法—思想—本質”．大單元教學觀下的單元復習課更加強調數學的發生、發展過程,將數學思想方法和研究思路滲透到具體數學知識內容中,形成知識與方法對接、思想與內容相融的設計思路(圖1)和設計過程(圖2)．

圖1 設計思路

圖2 設計過程

3 課堂教學片斷

3.1 回歸史料 完善導圖

前面幾節課我們一起經歷了數系發展的一次飛躍:從實數集擴充到了復數集,一切都是從一個虛數單位“i”開始的．這節課我們將回顧那段歷史,看一看在200多年中,“i”經歷了什么,我們收獲了什么．1777年,數學家歐拉先生在《對代數的完整介紹》中首次使用字母“i”表示-1的平方根,于是作為imaginary(想象的、虛構的)首字母的“i”先生收到了來自數學世界的邀請函,他將獲得除字母以外的另一個身份——代表-1的平方根的數．當時多數數學家并不贊同讓一個虛構的數字存在.盡管阻礙重重,仍有卡爾丹等數學家在解三次方程時體會到了尋找-1的平方根的必要性,將實數集慢慢地向一個新的數集——復數集進行擴充,努力探索著擴充的規則．請大家回顧:數學家們是如何定義復數的代數形式的?為什么要構造這樣的形式?在定義了代數形式以后,又規定了復數的哪些運算?

無論是代數形式還是運算法則,一切明明很合理,為什么當時會有那么多人反對呢?數學的發展哪會是這么容易的,直到1840年,“i”才正式被數學世界所接納,有了自己的名字:虛數單位,有了自己的身份:代數身份和幾何身份．請同學們閱讀相關材料,思考:是什么原因讓那些固執的數學家們承認了“i”的存在呢?正是復數的幾何解釋.面對實實在在的幾何形式,人們再也不能否認虛數的存在了.我們一起回憶一下復數的幾何意義,并完善思維導圖(圖3)．

圖3 思維導圖

設計意圖復數的發展史十分豐富,在新授課中,教師通常會選擇其中經典的片段來引入,以激發學生的興趣.受到課時的限制,新授課不宜全面介紹復數歷史,而作為章末復習課,學生已經對復數的概念、運算、性質等知識有所了解,此時可將那段歷史較為完整地與相關知識串起來,體現單元教學的整體性和連貫性．復數的發展史悠久而豐富,我們雖不能面面俱到,卻也能提煉出核心部分,將復數的發展分成兩個階段:階段一,“i”初進數學世界(復數代數形式的發展);階段二,“i”虛數身份被認可(復數幾何解釋的發展)．利用兩個階段的時間與邏輯關系,將知識點串在數學文化中,加以整合,讓學生整體了解復數的發展史,從中體會數學的發展過程．利用思維導圖將知識點進行梳理、整合,使學生明晰其中的關聯點,從更加完整的角度理解整個單元的內容．

3.2 植入探究 思維碰撞

例1在復數范圍內解方程x2-x+1=0．

變式 在復數范圍內解方程x2-2|x|+1=0．

設計意圖作為一節單元復習課,一定要有學生需要完成的一些探究任務.在前面所說的文化框架里植入例1,通過在復數范圍內解實系數二次方程,復習復數的代數形式和代數i運算,感受復數代數形式發展過程中數系的體系變化．

在例1的變式中,學生會出現兩個常見錯誤:(1)認為|x|2=x2,而把方程等價于|x|2- 2|x|+1=0;(2)認為復數均可以比較大小,而討論x的正負,意圖去掉絕對值號．從這兩個錯誤理解出發,比較實數與虛數的區別,加深學生對于復數系統的理解,體會數系擴充過程中的求同存異．

在例2中,學生會提出兩種角度——幾何角度與代數角度．對于幾何角度,學生利用了平行四邊形性質,教師引導學生將平行四邊形的性質用復數形式進行表達:|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),體現復數將幾何問題代數化的價值．對于代數角度,學生在解方程組的過程中可能會遇到計算困難,教師引導學生觀察方程組的結構,簡化消元計算的繁瑣過程:

以上兩個例題是按照復數的發展歷程,穿插在數學文化之間的,旨在讓學生從數學文化和數學知識兩條線中,感受數系擴充的基本過程和研究數學問題的基本思路．

3.3 探究延伸 拓展提升

除了課上根據學生對例題的完成情況,判斷學習效果以外,還為學生留下由例1推廣的課后探究延伸任務:在復數范圍內討論關于x的方程x2+c|x|+d=0(c,d∈R)的根的個數,為學有余力的學生搭建提升的階梯．基于過程評價,最后提出兩個拓展性問題:(1)請你談一談解決復數問題的一般思路;(2)根據復數的發展史,談一談一次數系的擴充一般會經歷哪些關鍵的步驟．

設計意圖歷史造就了復數的兩重身份,對應著兩個視角,形成了兩條線路,而這兩條線路之間又是相互對應和緊密相關的．復數的發展經歷了“提出必要性—構建代數形式—制定運算規則—探尋幾何意義—實現應用價值”的過程．這也是數學發展的一般規律.通過小結,學生不僅鞏固了相關知識,更重要的是理解了研究數學問題的一般性思路與方法．

4 教學反思

4.1 大單元觀下教學要以學為中心來制定學習目標

核心素養下的教學應秉承“人—知識—人”的思路,“知識”是能夠促進人全面發展的載體,“人”的發展是教學的出發點與歸宿點．新課標強調以學生發展為本.復數的單元復習課,雖只設置了一個課時,但應設計成一個微觀意義上的整體性課程:使學生理解數系擴充的基本思路和方法,掌握解決復數問題的基本角度和策略,培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力;通過代數和幾何兩個角度解決復數相關問題,提升學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養;通過解方程、實數與虛數的對比分析等具體活動,使學生體會數形結合、方程思想、類比、歸納等數學思想方法的運用．

4.2 大單元觀下教學要讓知識和思想方法整合起來

復數是充滿文化韻味的數學內容,絕不能繞開它的發展過程單純地談解題,因此將知識按照歷史發展的順序融入文化之中,既完成了復習目標,又讓學生經歷了復數發展的大致過程,積累了研究數學問題的基本經驗,用思想方法帶動具體知識和技能的學習,讓學生經歷真實的數學研究工作,理解知識的來龍去脈,領會內在的思想方法．數學概念是零散和分塊的,單元教學讓它整合起來,聯結起來;知識體系是靜態的、枯燥的,數學思想方法讓它活了起來、動了起來,由靜態的知識轉化為動態的方法[2]．

4.3 大單元觀下教學要使學生掌握數學研究的方法

心理學認為:如果知識結構中原有的有關觀念在統攝和概括的水平上高于新知識,那么這時利用認知結構中的有關觀念學習新知識便成為下位學習.單元教學正是站在了更高的位置,將學生的學習從上位學習向下位學習轉變．當學生有了一定的數學思想方法的積累后,才能更好地理解和掌握數學內容,并挖掘出數學體系中潛在的、深層的意義,才能對數學知識作出更加深刻的解釋和理解．

大單元教學理念下的數學深度學習,要求教師不僅要幫助學生掌握具體的數學知識和技能,還需要站到更高的地方,以全局的眼光綜合看待教學內容,合理編排整合,使教學能夠深入到思維層面,啟發學生思維,提升學生素養,真正實現對學生真實思維過程的“理性重建”,讓學生從“學會”向“會學”轉變,深刻理解數學發展的規律,掌握數學研究的方法．

大單元教學觀下的章末復習課教學研究與實踐還剛剛開始,需要在實踐中勇于創新、不斷探索．只有教師高屋建瓴,構建數學研究路徑和方法的課堂,在知識的整體性、邏輯的連貫性、方法的普適性和思維的系統性中優化學生關鍵能力和必備品質,發展自主學習能力,才能讓學生在復習課學習時滿懷樂趣、回味無窮,把書由“厚”讀“薄”,把相關知識和方法聯結起來,融會貫通[3]．但要真正將章末復習課的育人目標落到實處,我們還在路上．