復習課中的現象教學
——以一節數列復習課為例

顧衛清 許佳龍

(江蘇省吳江盛澤中學 215228)

現象教學[1]是從現象出發進行的教學．教學中,讓學生面對真實的世界,去感受它、發問它、解釋它,通過協作與互動而形成認知．新授課上,學習的目標是新內容、面對的是新現象,非常適合采用現象教學的形式．復習課上,學生面對的是已經學過的內容,要做的是回顧與聯結的工作[2],這時是否還可以進行現象教學呢?

常識告訴我們,書本里的知識是固定的、有盡頭的,但世界是多變的、對它的認識沒有盡頭,任何現象在學習的不同階段都有不同的含義．在新授課教學之后,學生的基礎知識更多了、能力更強了、視角更廣了、思維更深刻了,因此復習課上不僅可以進行現象教學,還可以更靈活、更發散、更有創造性．復習課上的現象教學當以促進學生追求更大的深度和廣度、把握更核心的本質、形成更優化的“認識數學結構與體系”[3]為目的,實現對于日常經驗與書本知識的超越[4]．這樣不僅能讓學生對原有知識掌握得更好,避免簡單重復和操練所帶來的聽課疲勞和心理厭倦,還能讓學生看到更大的“新世界”,保持更大的好奇心和求知欲．在這樣的視角下,復習課與新授課并無本質的區別,只在于廣度和深度,學生都行進在認識世界的道路上．下面以一節數列復習課為例,作較為詳細的介紹．

1 設計理念

一般地,常規課堂中的現象遵循如圖1所示的流程．

復習課上,學生所面對的初始現象可以是自然的、社會的,還可以是人類知識世界里的,比如每一個知識點可以看做一個現象,讓學生對它進行觀察、分析、思考,形成對它的認識．把知識點當做現象的時候,學生就不是去記憶它、理解它,而是去觀察它、分析它,以形成自己的認識．此后再通過師生、生生的協作互動形成對知識的規范表達以及建立有機的知識結構．進而再用這些知識去面對世界中的問題,形成應用的能力,并不斷地給知識賦予新的意義．

就數列而言,下列知識點都是應當復習的:數列的概念、表示法、數列的項、性質、前n項和、最大最小值、周期性等．這些都屬于基礎知識和基本技能(俗稱雙基)的范疇,在新授課階段學生有了初步的掌握．現象教學要做的就不僅是把這些整個梳理一遍并反復地練熟,還要進一步強化對數列的認識,把上述知識點都整合到“對數列的認識”中去,并把數列的概念與其他的數學知識進行自然的勾連．也就是讓復習課成為一個不斷探究、不斷發現的過程,借此擴充知識、增強能力、提高素養．

2 教學過程

2.1 直觀感知

師:對于這兩個數列,請問你能想到什么?

生眾:我能證明{an}是一個等差數列,能證明{bn}是一個等比數列,能求它們的前n項和Sn,能說明兩個數列的單調性……

師:這兩個數列的通項都是分式形態,它們的項都是分數嗎?

生:分數吧……也有部分是整數．

師:哪些是整數?

生:如{an}中,a1=6,a4=10,a7=14等．

師:有多少項是整數?有限多項還是無限多項?

生:無限多．

師:那么{bn}呢?

生:我又嘗試了一下,應該就三項b1=36,b2=12,b3=4是整數項．

師:有限多項還是無限多項?

生:應該只有這三項．因為再往后分母就比分子大了,后面的肯定是小于1的分數,不可能是整數了．如果要證明,也是比較簡單的．

說明(1)書本上沒有專門的知識告訴我們怎樣判斷數列中的整數項,或者說這些“知識”不是現成的．但是,“數列的項”作為一種數學現象,我們是可以去認識它的,而且這些也在學生的能力范圍之內,認識它們不僅能擴充知識,還能提高能力和素養,更重要的是打開一個新世界,激起更大的好奇心和求知欲．

(3)對于數列問題,“寫幾項看看”是非常基本的思路．通過有限的幾項發現一般規律再進行論證,這就是數學抽象、數學建模、邏輯推理等素養的體現．愛因斯坦曾說過:“提出問題比解決問題更重要”,數學課程標準中也多次強調問題意識的培養,那么“問題意識”從哪里最容易培養起來呢?人在面對知識時,更多的是去學習它、接受它,而在面對世界的時候就有了好奇與疑問,在培養學生的問題意識方面,現象教學具有天然的優勢．

問題:是不是所有這種類型的數列都能這樣找到整數項呢?是否有其通性通法呢?帶著這樣的疑問,請看以下例題．

例1求出下列數列中的所有整數項:

事實證明，關注企業員工的工作滿意度，注重員工自身的個性特點及需求差異，通過構建合適的個性化激勵方式，能讓員工個人的工作目標與企業發展目標實現深度結合，從而實現企業上下的“最佳配合”。所以，對于各個企業來說，在當前時代環境下，如何更加有效地激發廣大員工的工作熱情和創造性，深度挖掘員工自身的工作潛力，提高企業的運行效率，是當前企業需要積極思考的問題。特別是當前市場競爭越來越激烈，企業需要充分考慮自身實際，樹立科學化、系統化的經營理念，構建適合企業自身發展的員工管理體系，完善員工激勵體系，最大化的實現企業員工的自身價值，使得企業能夠更好適應當前市場環境。

說明此例題主要讓學生感知“整數”項的求取方法,這兩道題的解法代表了此類題型的通性通法,即先分離出一個整式,剩下部分轉化為整除性問題,此時就變得簡單了．此解法應當是學生自己生成的(根據數的整除性);如學生遇到困難,可引導其嘗試特殊化處理,即多些具體的項,感知其規律,從而再將問題一般化．此方法的生成過程中,學生建立起了良好的自信,但這也是思維最容易固化的時刻．現象教學的目的恰恰不在于固定的知識和固定的方法,作為教師必須對此有所設計,請看例1續．

這里給出的通項公式中,分子的次數是1而分母的次數是2,不能像上面兩小題一樣將之分離出一個整式(數),之前總結出來的所謂通性通法不靈了．我們回到問題本身,直面原有的現象,可以嘗試特殊化處理,也可以注意到其中的n變化時,分子分母也都是變化的,且都隨著n的增大而增大,就能逐步地“感覺到”需要考慮相除后的值,再注意到分母的次數高于分子,因而分母的值“終歸”會超越分子,這個時候整個分式的值就小于1了,而小于1的正數不可能是整數,因而我們只需要考慮到它之前的情況即可,于是有了下面的解法．

說明“例1續”看似和“例1”雷同,而本質迥異,原有的方法已經不能解決它,于是學生重新回到了原始的起點——觀察現象．在對現象的觀察和分析中,提出了解決這一新形式問題的新思路,“不等價轉化”打破思維的慣性,沖破了原有的“通性通法”而建立起一個新的“通性通法”,這是素養的提升,也是對更廣泛現象的揭示．可以說,學生獲得的不是一個知識,也不是一個方法,實際上是一個數學新世界展現在了他們面前．

2.2 意義生成

說明此題是為了鞏固“例1”以及“例1續”的戰果,讓學生面對此類問題時學會各種嘗試,體驗越多收獲也越多,通性通法也就靈動起來了,策略和技巧也就有了藝術的味道．此處出現一題多解也正是體驗的不同所帶來的,釋放學生的思維,讓學生的嘗試多點開花,一題多解也就水到渠成了．而當學生面對現象,產生問題,解決問題達到水到渠成之時,正是問題得以升華之時,于是乎又呈現例3,目的就是透過現象,探尋其本質．

這里的兩種方法,在不同形式上利用了“整數”以及“整除”,新穎別致、不拘一格．

2.3 應用拓展

說明此例題將之前的戰果進行了升華與發展,數列研究的問題都是在函數的視野下進行的,用函數的視角去觀察,函數中使用的方法便水到渠成,知識的結構化得以初步實現．當然例題3中的(2)也可以使用數列的單調性來解決．此題將研究的問題推廣到更大的視野中去,但不管如何,最開始的那個“初步想法”彌足珍貴,是開啟后續一系列的發現．

數列中的整數項問題,從代數的角度看可以是數的整除或者范圍問題,從形的角度可以看成是在直角坐標系中尋找整數點的問題,或者在網格中是否落在格點上的問題,這是本節內容的本質．

3 教學啟示

這節復習課,沒有局限于基本的知識,沒有羅列固定的方法并進行逐一訓練,而是呈現了一個個的數學現象．學生不是去記憶知識和方法,而是去認識數學現象、提出數學問題并加以解決．新現象的發現、新問題的提出、對問題的探究和解決都是學生自行完成,在整個過程中學生都是做中學、學中疑、疑中思、思中試、試中悟,學生真正成為課堂的主人,他們是在認識世界而不是記憶知識．

3.1 用開放的引例放飛學生思維,營造自由空間

開放的引例給出的是學生熟悉的場景,學生面對它、思考它,不受結論的約束(因為本無結論)．此題的一個作用就是給學生一個可觀察的現象,提供一個自由思考的根基．我們要做的不只是幫學生去應對考試(當然,這種教學對解題能力的培養同樣高效,每一個數學題都是被揭示了的數學現象),而是讓學生獲得精神的自由,煥發生命的活力．自由是規則之下的舒展豁達、無拘無束,這樣的教育順應人也成就人．有趣的靈魂,只能來自真實的世界和多彩的生活．

3.2 用有層次的設計引導學生透過現象悟到本質

探究之時,面對未知世界,人是好奇的．當教學設計從一個現象(引例)到下面一個個關聯的現象(例題)時,猶如一扇徐徐推開的窗戶,展現著逐漸擴大的數學畫面．學生探究的過程并非一帆風順,但他們會不斷地提出“假設”,然后進行驗證和調整,其間突然出現的任何一絲微光都令人歡欣鼓舞,困惑中的任何一點進步都帶來美好的體驗．面對一個個現象,解決自身產生的疑惑的過程中,學生自己感悟到的解釋即技術,比知道書本上的知識和解法更重要．

對知識點和解題程式的過度強調,往往會使學生的思維固化,如把例1中的“分離整數”當做一種固定方法,那么在遇到例1(續)時就反而限制了思維的方向、限制了創造力的發揮．這個時候,學生眼里就只有“知識”而沒有“世界”,這是“書呆子”式的學習(會“解題”卻不會“解決問題”)．現象教學在很大程度上克服了這種弊端,對于這一點,學生是能感同身受的．面對世界時,人提出的假設可以是多種多樣的,甚至不憚于相互矛盾,當無法解決之時,我們重回到問題本身,重新進行各類嘗試,再出發(如例題2)．學生在合作的團隊中相互激勵,智慧碰撞織出友誼、奮斗與進步的樂章,同時也逐步生長出質樸簡明的見解,這些源于常識、出自本真,是學生自己的生成而非灌輸所得．

3.3 用投入的情感激發學生興趣,使其樂在其中

現象教學的課堂不是把知識變得有趣,而是把學習變得有趣．其實這并不困難,因為世界本身是有趣的,人又天生地喜歡探究世界．通過自己的探究而體驗到的知識(對世界的一種解釋),容易被學習者視為“我的知識”,在情感上被愉快接納．

面對世界,面對生活,我們強調學習能力的養成——“在認識世界的過程中學會認識世界”,這就可以突破書本知識的限制,在更高的程度上看待“知識”,而不受專業和書本的限制．一個人具備了認識世界的能力以后,整個世界都在他的“專業”之內．

我們追求的教學要讓學習者從現象出發,直面真實的世界,走進探究與發現之旅．在出發之時,知識并不存在．教師提供的是機會而不是答案,學生進行的是“冒險”活動而不是記憶與重復．這樣的復習課雖然要鞏固舊知識,但面對的是現象和新解釋,暗含著新的前途、新的方案、新的結果,情況不明,結果存疑,一切都在等待之中．這就是有新意的復習課,學生在用所學知識的時候更期待自己所能認識的世界的不斷擴大．