“數形”結合 構建“模型”
——《轉化策略》教學實錄與評析

文|陳 敏 蔣明玉（特級教師）

【教學內容】

蘇教版五年級下冊“轉化策略”例2。

【教學過程】

一、導入

●第一組：下列計算都有什么特點？

生：分子是1，前一個分數是后一個分數的2 倍。

●第二組：下列計算都有什么特點？

生：分子是1，前一個分數是后一個分數的3 倍。

【評析：讓學生從形式上感受以上分數加法的特點，從不同角度去表述，既可以激發學生探索規律的興趣，又為學生之后探究規律提供了必要的基礎。】

二、探究

1.出示例題

2.放手探究

學生通過通分的方法得到：

3.再次探究

在此基礎上，引導學生畫出如下的正方形圖，運用數形結合的方法進一步研究。

結合圖1，將“數”轉化為“形”，學生很容易明白：求陰影部分的和就等于一個正方形減去空白部分的差。即：

圖1

師：你發現了什么規律？

生：分子是1，前一個分數是后一個分數的2 倍，求這樣一組分數的和，只要用1 減去最后一個分數即可。

4.嘗試運用

5.變式突破

師：下面這幾道題也能用這個規律計算嗎？把算式的意義畫

在正方形圖上。

（引導學生交流、展示，如下）

結合圖2～4，靈活轉化觀察角度，得到新的發現：

圖2

圖3

圖4

6.規律推廣

圖5

圖6

在學生舉例的基礎上，推廣并概括到普遍性規律，形成有關這類分數求和的計算模型。

根據圖7，編一道前一個數依次是后一個數的2 倍，求這樣一組數的和的題目，引導學生從“分數”拓展到“整數、小數”。

圖7

生：8000+4000+2000+1000+500+250=8000×2－250=15750

生：3.2+1.6+0.8+0.4+0.2=3.2×2－0.2=6.2

【評析：先讓學生利用數形結合的方法提出猜想：后一個數是前一個數的，其和等于用1 減去最后一個加數。然后進行驗證，在驗證過程中又產生新的問題，再次運用數形結合的方法，轉換觀察視角，深入探究，大膽提出新的猜想。最后讓學生運用數形結合的方法仔細驗證，進而發現了更為一般性、普遍性的規律，構建了一個數學模型：后一個數是前一個數的，其和等于第一個加數的2 倍減去最后一個加數。讓學生在發現、猜想、驗證中體驗數學模型的形成過程，初步掌握探究數學模型的一般方法。】

三、運用

1.推廣性運用

（1）128+64+32+16+8+4+2+1

（2）4.8+2.4+1.2+0.6+0.3+0.15

【評析：讓學生從“分數”推廣到“整數、小數”，引導學生靈活運用發現的規律拓寬思維，培養學生“舉一反三”的能力。】

2.拓展性運用

利用數形結合，用正方形圖來畫一畫（如圖8、9）。第一題的和是，剩下的是；第二題的和是，剩下的是。可以發現:剩下的總比取出的多1 份。

圖8

圖9

3.你還能編出一些類似的算式，并且運用“數形結合”的方法發現其中的規律嗎？

四、小結（略）

【評析：運用“數形結合”的方法，引導學生由2 倍的規律拓展到3 倍的規律，培養了學生思維的深刻性。最后讓學生自己獨立編寫一些有規律的算式，既有效激發了學生探究規律的興趣，又培養了學生獨立探索、發現規律的能力，同時感受到數學規律的美妙和有趣。】

【全課評析】

史寧中先生強調：“任何一門學科都應該把培養學科直覺（或直觀）作為一個根本的教育任務。數學要培養數學直觀，數學的結論是‘看’出來的，不是‘證’出來的，因此培養數學直觀是很重要的。”直觀的培養是學生經驗的積累，而不是老師說教的結果，所以要幫助學生培養基本活動經驗。因此，本節課讓學生充分地把算式“畫”出來，引導學生將“數”轉化為“形”，從而發現“計算模型”。通過題組對比，能夠使學生深刻地領會到“幾何直觀”的作用：發現了一個規律（計算模型），而運用這個規律可以舉一反三去解決更多、更復雜的相似問題。由此，不但加深了學生對“用畫圖找轉化方法”的理解，還啟發了學生在遇到復雜問題時，先用畫圖的方法從探索簡單的問題起，發現其中的規律，然后運用所獲得的規律去解決復雜的問題。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對“模型意識”的內涵是這樣闡述的：模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟。知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑。學生學習數學，不只是要記住某些規律與結論性的東西，更重要的是在學習數學的過程中領悟數學的思想方法，積累數學活動的經驗。以上教學，在計算過程中發現有特點的分數加法問題，運用數形結合的方法，經歷猜想與驗證的過程，引導學生探索規律、發現規律和運用規律，在探索和運用規律的過程中培養學生積極探索、大膽猜想、仔細驗證、靈活運用的能力。這樣不斷遞進的猜想驗證過程不僅讓學生學會解決某一道題，更重要的是能讓學生找到解決一類題的方法與規律，尤其是感悟了類比歸納性研究方法，并且因此修正得到更為科學完善的結論：如果前一個數（分數、整數或小數）依次是后一個數的2 倍，求這樣一組數的和，只要用第一個數的2 倍減去最后一個數即可。事實上，這樣豐實的猜想驗證過程更符合數學教學內在的數理邏輯，不僅使“數”與“形”各展其長，實現抽象邏輯思維與具體形象思維完美地統一，也更高層次地實現了數學活動經驗與數學思想方法建構以及后續“整體性”“結構性”地遷移運用，讓學生后續的學習更加給力。

上述這樣的拓展設計，在體驗和感悟中，通過適時地概括、揭示和提煉，使隱性的數形轉化思想顯性化，從而被學生所認識、理解和掌握。通過運用，進一步加深對數形轉化思想方法的理解和感悟，將數學思想內化為學生的數學素養。