促進深度學習的高中數學教學實踐研究

門桐宇 王桂麗 郭凌霄

摘 要 核心素養是我國新一輪基礎教育課程改革的基本理念。本文以“含參數不等式恒成立問題”為例，通過回顧展望、問題引領、變式探究、反思深化等四個環節實現深度學習，促進數學學科核心素養發展，并提出促進深度學習的教學策略：聚焦課標，把握關鍵教學內容，深度挖掘數學思想；啟發問題引領，變式問題層層遞進，促使學生深度思考，體會數學思想方法；引導學生進行反思學習，布置啟發性作業；營造民主、平等、合作的學習氛圍，培育學生大膽設想、合理質疑的心理環境。

關鍵詞 深度學習 教學策略 數學思想 導數應用 含參數不等式恒成立問題

作者簡介：門桐宇（1996—），女，遼寧朝陽人，北京景山學校二級教師，碩士，研究方向：數學教育；王桂麗（1969—），女，遼寧朝陽人，朝陽市第九中學教師，大學本科，研究方向：理科教學；郭凌霄（1995—），女，山東濱州人，北京景山學校二級教師，碩士，研究方向：數學教育。

基金項目：本文系北京市東城區“十四五”時期教育科學規劃2022年度課題“基于情境的高中生數學問題提出能力的年級差異研究”（課題編號：DCYB2022032）的階段性研究成果。

核心素養是我國新一輪基礎教育課程改革的基本理念。發展學生的核心素養既需要教育理論研究，又需要教學實踐跟進。將理論研究與實踐經驗共同作用于課堂教學，才能夠更好地促進學生核心素養發展。深度學習是學習者認知、思維、情感、價值觀全面參與、全身心投入的活動，是相比于有意義學習、探究學習等更高程度的一種學習方式。深度學習強調“在教師的指導下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心投入、積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程”[1]。在這個過程中，學生積極主動地參與到學習活動中，逐漸掌握學科的核心知識與結構，把握知識的本質，認識蘊含的思想方法，形成積極的學習動機、正確的價值觀念，成為基礎扎實又極具獨立性、創新性、批判性的學習者。深度學習是學生發展核心素養的重要途徑[2-4]。教與學的一致性表明，學生真正意義上的深度學習，需要建立在教師的深度指導和引導的基礎上[5]。為達成學生的深度學習，教師的課堂教學應具有明確的教學目標，能夠及時發現學生問題并進行調整，營造民主、平等、合作、探究的學習氛圍[1]。

導數是研究函數問題的重要工具，利用導數解決函數、不等式問題是高中數學教學難點之一。“含參數不等式恒成立問題”是導數研究專題之一，是深度學習理論實踐的良好載體，同時也是深化思想、形成能力、發展核心素養的良好載體。故本文以含參數不等式恒成立問題為例，探討如何在導數的應用中讓學生經歷深度學習，逐步形成高階思維，提升數學素養。

一、基于深度學習的教學實踐

（一）教材分析與內容理解

“含參數不等式恒成立問題”內容安排在人教版普通高中教科書《數學》（選擇性必修·第二冊）第五章“一元函數的導數及其應用”之后，一方面深化利用導數解決函數問題的思想和方法，另一方面圍繞代數論證的主線，深入理解數形結合思想在導數解題中的價值。課程標準對導數應用部分的要求是能利用導數研究函數的單調性，求某些函數的極值、最值，體會導數與單調性極值、最值之間的關系等。

對于含參數不等式問題通常有兩個理解角度：（1）從數的角度，若參數能夠分離，則轉化為函數的最值問題處理；若參數不能夠分離，或者分離后剩下形式過于復雜，則適當整理不等式，通過對參數的取值范圍進行分類討論求解。（2）從形的角度，不等式反映兩個函數圖象關系，參數使得函數圖象是動態變化的，這需要尋找臨界位置、利用圖象的變化規律等進行合理“猜想”，然后討論求解。解決這類問題所涉及的“函數與方程”“化歸與轉化” “分類討論”“數形結合”等數學思想方法對鍛煉學生的綜合解題能力、培養思維的靈活性和創造性都有著很大的幫助。

（二）學生情況

學生已經系統地學習了函數的圖象與性質及導數的相關知識，對于導數的概念和幾何意義等有了一定理解認識。學生已經了解解決恒成立問題的思想和方法；能夠利用導數相關知識求函數的單調區間、極值以及最值等，有利用導數探索函數圖象性質的意識；可以解決一些有關函數問題。學生已經具備一定分類討論意識、轉化意識和數形結合意識，具備一定的數學運算能力、邏輯推理能力，但思維的靈活性有待提升。

（三）教學目標

1.通過利用導數研究函數單調性和最值的過程，初步掌握含參數不等式恒成立問題的特征。

2.通過利用導數研究含參不等式恒成立問題，感受等價轉化的意義，培養數形結合思想、分類討論思想，提升運用導數的相關知識解決函數問題的能力。

3.通過經歷問題的探究過程，提升思維的靈活性和嚴密性，發展直觀想象、數學運算及邏輯推理等數學學科核心素養。

（四）教學過程

環節一：回顧展望—溫顧知新，引發思考

問題1：學習導數前，如何研究函數問題的？

[生]根據定義研究函數單調性和奇偶性；根據不等式研究函數最大值和最小值；或者數形結合研究函數的性質。

[師]學習導數之后，函數的研究發生了哪些變化？

[生]對于比較復雜的函數，可以利用求導得到單調性、極值、最值，還有函數增長的速度都可以通過導數得到，畫出函數的簡圖。

[師]通過導數可以解決單調性、極值、最值、切線等問題，進而明確函數的性質，解決問題。另外，導數可以解決一些方程、不等式等問題，這使得研究函數問題的范圍得以拓寬。本節課聚焦一類問題進行研究。

設計意圖：回顧舊知，通過設置啟發性問題促使學生思考，引導學生體會導數在研究函數問題方面的價值。并明確本節課的主題：利用導數解決一類函數問題。

環節二：問題引領—問題引例，明確方向；提出問題，大膽猜想

例題：求函數[y=ex-x]的單調區間和最值。

問題1：若最小值為1，對應什么樣的不等關系？如何從圖象上理解？

[生][?x∈R]，[ex-x≥1]，由不等式可以反映圖象之間的位置關系，函數[y=ex-x]的圖象恒在[y=1]的圖象上方，如圖2所示。

問題2：對不等式進行等價變形，得到什么形式？如何從圖象角度理解不等關系？

[生][?x∈R]，[ex≥x+1]，若從形的角度理解，即[y=ex]圖象恒在[y=x+1]圖象的上方，且存在交點。

問題3：動手畫一畫圖象，還能發現什么？

[生]自主作圖，經過計算可發現，[y=x+1]恰為[y=ex]在點（0，1）處的切線方程，也即[y=x+1]圖象為[y=ex]圖象的一條切線，如圖3所示。

設計意圖：引例旨在讓學生回顧利用導數研究函數單調性的基本思路，問題2引導學生經過等價變形，不等式兩側變為熟悉的函數，若從圖象角度理解不等式，則可將問題轉化為兩個函數圖象之間的上下位關系。問題3讓學生發現圖象特殊性：相切。三個追問旨在讓學生發現不等式與圖象之間的關聯，讓學生感受數與形之間的關聯，積累從形的角度理解代數問題的基本經驗，在面對函數問題時有新視角。同時得到不等關系：[?x∈R]，[ex≥x+1]，為后續變式問題做鋪墊。

[師]經過上述討論發現，不等式與圖象之間存在關聯。若讓直線“動”起來，如上下平移，與曲線會形成什么樣的位置關系？又會得到怎樣的不等關系？

問題4：添加參數可以刻畫運動變化。描述直線[y=x+1]的上下平移可在截距位置上添加參數，變為[y=x+a]，此時會得到一些位置關系。你能用數學語言描述這些位置關系嗎？能結合此前習題，提出一些可解的數學問題嗎？

[生]若直線向下平移，則恒在曲線下方；若向上平移，則與曲線有兩交點。

[師]通過上述問題討論，可以做如下拓展、思考：

（1）相等關系類：若[y=ex]與[y=x+a]圖象有兩個交點，求[a]取值范圍；求證：當[a>1]時，方程[ex=x+a]或[ex-x=a]有兩個實根等。

（2）不等關系類：若[?x∈R]，[ex≥x+a]恒成立，求[a]取值范圍等含參數不等式類問題；

（3）拓展類：提出改變參數的位置；

[生1]參數還可以加在直線斜率處，此時直線繞一點旋轉，可得到與[y=ex]圖像的位置關系。

[生2]固定直線，將參數加在[ex]前，此時指數函數圖象進行伸縮變換，可得到與定直線間的位置關系。

[生3]變為[y=eax]。

[師]通過變換參數位置，得到本節課重點研究的三個含參數不等式問題。

設計意圖：通過形的變化感知數的改變。學生經歷數與形的不斷轉化，深化方程、零點、不等式問題的圖象表示，感受數形結合思想、轉化思想；發現問題并用數學語言進行描述，發展學生的思維靈活性，積累用數學語言描述問題的基本經驗；學生自主提出本節課需要解決的三個問題，明確本節課的目標，讓學生有了參與感，使得課堂氣氛活躍，有利于學生深度參與到課堂中。

環節三：變式探究—解決問題，感受思想

在教師引導下，學生提出了很多可解的數學問題。本節課聚焦含參數不等式恒成立問題，選擇參數分別添加在直線截距、直線斜率、曲線前，探究分別從圖象與代數兩個角度解決問題的方法。選擇三個變式的原因如下：首先從圖象上分別對應平移、旋轉與伸縮變化，在難度上由低到高；其次在代數求解過程涵蓋了含參數不等式恒成立的幾種常見處理方法，故選擇這三類問題作為后續的研究對象。

[生1]從形的角度觀察不等式，是一條定直線與一條動曲線圖象的上下關系，而曲線可以看成是指數函數圖象經過伸縮變換得到。當[a<1]時，顯然圖象與直線存在交點，故參數取值范圍為[a≥1]，如圖5所示。

[生2]代數論證可以對[a]的取值進行分類討論：

設計意圖：變式1、2難度相對較低，有了引例與問題提出活動的鋪墊，學生可以從形的角度直接利用幾何直觀獲得結論；若從代數角度證明，可以分離參數，轉化為已知函數最值問題求解，或者對參數進行分類討論得到結果。感受含參數不等式恒成立問題的一般研究思路，體會分類討論、等價轉化思想，發展直觀想象、邏輯推理等數學素養。

設計意圖：變式3的解決與此前問題解決不同，其難點在于解集并非區間，而只有一個數，如果直接代數論證，則需要說明當且僅當[a=1]時結論成立，其他情況下均不成立，這種逆向思維對學生要求較高；這時如果結合圖象分析，通過幾何直觀直接發現結論，則后續的證明會有一定的方向。讓學生感受含參數不等式恒成立問題的基本處理辦法，體會方法的選擇會因題而異。深化圖象在研究函數問題中的重要作用，體會“先猜后證”的方法，感受分類討論、數形結合等數學思想方法，發展數學運算、直觀想象、邏輯推理等數學素養。本題是對一道模擬題進行等價變形之后得到，改編目的是方便串聯幾個變式問題。解決后出示原題，意圖在于向學生傳達先對題目進行等價變形，可以適當簡化問題。

環節四：反思深化—總結深化，提升思想

通過前面學習，同學們對含參數不等式恒成立問題有了一定的了解，結合下面練習進行思考。

設計意圖：學生學會學習的重要標志之一在于能否進行總結與反思。教師引導學生對學習內容與學習過程進行總結與反思，一方面回顧運用導數解決含參數不等式問題的思想和方法，從整體上建構知識體系，感受數學思想方法；另一方面回顧在學習過程中出現的問題，強化解決方法。

三、促進學生深度學習的教學策略

（一）聚焦課標，把握關鍵教學內容，深度挖掘數學思想

深度學習是不局限于表層的學習，促進深度學習的教學也需要向內挖掘，更接近教學內容的本質，從而達成促進學生高階思維形成的目的。這就需要教師以課程標準為依據，對教學內容進行深度分析，包括對關鍵教學內容的本質理解與數學思想方法的深度挖掘。數學思想方法被認為是對數學內容和所用方法的本質理解[6]，學生掌握數學思想方法有助于對知識本質的理解和遷移，有助于學生逐步發展數學核心素養，形成高階思維。

（二）啟發問題引領，變式問題層層遞進，促使學生深度思考，體會數學思想方法

變式問題以問題串的形式呈現，伴隨啟發性問題引領，會使得學習內容層層遞進，結構完整，主線清晰，易于學生構建自己的知識框架，形成清晰的邏輯體系，有助于學生深度學習的發生。本課時用一個引例，三個變式問題串聯而成，部分問題還可作為學習任務呈現，使得學生在交流合作中深度參與進課堂。同時，三個變式問題涵蓋含參數不等式恒成立問題的幾種主要處理辦法，會使得形成的知識與思想方法系統化，有助于知識與方法的遷移[7]，形成高階思維能力，發展數學核心素養，從而達到深度學習的目的。

（三）引導學生進行反思學習，布置啟發性作業

深度學習的意義之一在于學會學習的方法。學會學習的一個重要標志體現在完成學習任務后學生是否可以自主地進行總結與反思。這不僅包括對知識內容、思想方法的整合，還包括對自己在問題解決過程中表現的回顧與反思。本課時在活動后安排整理與回顧環節，學生對本節課的知識與方法及在解題中出現的錯誤進行反思，從而達到深刻理解的目的。本節課的作業由同類型不等式同構得到，由學生自己提出并完成。

（四）營造民主、平等、合作的學習氛圍，培育學生大膽設想、合理質疑的心理環境

深度學習需要學生的主動參與。教師要潛移默化地培養學生敢于質疑、勤于對話交流、善于反思總結的品質。通過啟發性問題，激發學生質疑驅動力，促進學生問題解決的欲望，促使學生深入到學習環境中去；通過問題提出環節，讓學生大膽設想，合理質疑。最后選擇幾個問題作為接下來研究的對象，讓學生感受到擁有“話語權”，師生間交流更加自由順暢，提升學生的課堂參與度。

[參 考 文 獻]

[1]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.

[2]崔友興.基于核心素養培育的深度學習[J].課程·教材·教法，2019，39（2）：66-71.

[3]郭元祥.課堂教學改革的基礎與方向：兼論深度教學[J].教育研究與實驗，2015（6）：1-6.

[4]羅祖兵.深度教學：“核心素養”時代教學變革的方向[J].課程·教材·教法，2017，37（4）：20-26.

[5]郭元祥.論深度教學：源起、基礎與理念[J].教育研究與實驗，2017（3）：1-11.

[6]羅增儒.數學思想方法的教學[J].中學教研，2004（7）：28-33.

[7]肖凌戇.從數學深度學習走向數學深度教學：以“圓錐曲線探索性問題”為例[J].數學通訊，2020（24）：7-11.

（責任編輯：姜顯光）