作為“紐帶”的尺規作圖

摘要：在現行教育模式下，中學數學與大學數學不論在知識體系、教育理念還是思想方法上都有著很大的差異。如何有效地進行兩者之間的銜接，是擺在數學教育者面前的一個難題。對此，從尺規作圖這一經典問題出發，重溫其提出、發展到徹底解決的波瀾壯闊的歷史，展示其與中學數學中的幾何、代數乃至分析等分支的聯系，揭示其在中學數學與大學數學之間的紐帶作用，以期給中學數學教學帶來一些啟發。

關鍵詞：中學數學；大學數學；尺規作圖；數域；數學史

一、引言

不知道從什么時候開始，中學數學和大學數學有了一道溝壑，這道溝壑也“與時俱進”越來越大。盡管有人試圖填補這道溝壑，把一些大學數學內容放到中學數學教材中，但是從結果（大學新生的基本功和邏輯思維能力）來看，效果微乎其微。一方面，很多學生失去了求知的欲望，對新的數學理論不求甚解、懶于思考；另一方面，想思考的學生面對越來越多的數學概念、越來越復雜的數學理論，往往不得要領，不知道從何入手，理不清數學理論的脈絡，從而很難形成更深刻的理解。

正所謂“冰凍三尺非一日之寒”，不管是求知欲的喪失還是邏輯思維能力的欠缺，都不是一朝一夕形成的。要尋蹤溯源，就不得不回到中學?？船F行中學數學教材，我們會發現知識點比較全面：從代數、幾何、分析到組合、概率、統計，幾乎囊括了數學的所有分支。不過仔細看內容，不難發現每個分支都是淺嘗輒止，甚至很多以前有的內容都被刪掉了。比如，現行中學數學教材里只有函數的概念，而映射這個重要概念已經消失很久了。這樣的扁平化設計帶來的問題是顯而易見的：在如此狹窄的范圍內出題只能越來越偏，越來越追求所謂的技巧。

諸如此類的問題有很多。這就要求我們在教學中適當提高知識的深度和廣度。當然，這個工作不容易做，沒有足夠的知識儲備，沒有對“海平面之下”數學的足夠了解，就無法從高觀點看待初等數學，也不能更好地融合初等數學的各部分內容。然而，高等數學的難度又會讓很多中學數學教師望而卻步——盡管很多人學過不少大學數學課程，但是當年學得未必精通，學過多年后很少使用也就基本忘卻了。應該從哪里入手呢？有一個很重要但又經常被忽略的重要問題是很好的切入點，這就是尺規作圖。

二、無理數的發現與正多邊形

尺規作圖在數學發展史上起到了非常重要的作用。很早的時候，人類就開始使用自然數，也學會了四則運算。不過就像我們小學時學過的那樣，減法和除法不是總能做，于是負數和分數被引入，從而有了有理數，四則運算得以自由進行。這一點，古希臘人在大約公元前500年就已經意識到了，因此有了“萬物皆數”（數指有理數）的理念。然而，古希臘人很快就發現了無理數的存在：正方形的對角線長與邊長之比不是有理數，或者說等腰直角三角形的底邊和腰之比不是有理數。

我們都知道這個比值是2。這個結論，初中數學教材一般都會提到，但并不是每本教材都會提供證明（提到的證明也都是利用反證法）。然而，歷史可能要有趣得多。如果等腰直角三角形的底邊和腰之比是有理數，設為mn，其中m、n都是正整數，則可以作一個底邊為m、腰為n的等腰直角三角形。據說畢達哥達斯學派的希帕索（Hippasus）斯進行了如圖1所示的作圖。圖1中有無窮多個等腰直角三角形，其邊長都是正整數。希帕索斯知道這是不可能的。

不過，2或許并不是第一個被發現的無理數，一個強有力的競爭者與正五邊形有關。有學者認為，希帕索斯進行了如下頁圖2所示的作圖。從而可以得到無窮多個正五邊形，由此說明正五邊形的對角線與邊長之比不是有理數。

順便說一下，將圖2中最大的正五邊形的對角線與邊長記為數對（m，n），則正五邊形從大到小的對角線與邊長的變化為：（m，n）→（n，m-n）→（m-n，2n-m）→…。這里蘊藏了輾轉相除法。輾轉相除法是非常有用的，如可以用來證明算術基本定理。

此時，一個很自然的問題是：正五邊形的邊長與對角線的比到底是多少？它實際上是一個很有名的數值——黃金分割數。不難發現，正五邊形的邊長與對角線之比（黃金分割數）也等于頂角為108°的等腰三角形的腰與底邊之比，還等于頂角為36°的等腰三角形的底邊與腰之比。

三、正五邊形的尺規作圖

正五邊形是很常見的。比如隨處可見的紅五星，南京大學的標志性建筑——北大樓樓頂上就有（如圖3所示）。

古希臘人為什么會對正五邊形感興趣呢？從幾何上看，正n邊形具有很強的對稱性，是古希臘數學家關心的幾何對象；而正三角形、正四邊形和正六邊形都很容易用尺規作圖得到，其他正n邊形又如何呢？首先要考慮的自然是正五邊形。希帕索斯在利用正五邊形發現無理數的時候，就應該知道如何用尺規作正五邊形了。

30多年前的初中課堂上，我的數學老師曾經演示用尺規作正五邊形，那一幕至今還印在我的腦海中，只是當時我并不知道作圖的原理。直到很久以后回想這些問題，才明白其中的關鍵。如今，正五邊形尺規作圖這樣的問題已經在中學數學教材中消失了（課標要求會用尺規作圓的內接正方形和內接正六邊形，有些教材還會引導學生在圓內作正三角形、正八邊形、正十二邊形），很少有學生知道如何用尺規作正五邊形，多數學生大概也不會對這個問題感興趣。這是很可惜的：作圖方法并不復雜，隱藏在平時遇到的一些小練習中，但其中蘊含了重要的思想——幾何問題代數化。

這三大尺規作圖難題困擾了世間智者2000多年（當然，古希臘以及后來2000多年內的數學家們都沒有數域的概念），直到18世紀末一位偉大數學家的出現。

五、正十七邊形的尺規作圖

有一個非常不靠譜的傳說。1796年3月30日，一個學生晚飯后照常完成老師留的作業，發現多了一張小紙條，上面的題目就是要求用尺規作正十七邊形。他發現這道題很難，就一直苦思冥想。直到第二天清晨的第一縷陽光照進窗口時，他才終于作出了正十七邊形。當他滿懷愧疚地告訴老師，自己竟然花了一晚上才完成這道作業題時，老師意識到這是一個美麗的錯誤，于是用顫抖的聲音告訴他：這不是作業，而是一道有2000多年歷史的難題！這個學生就是高斯（Gauss）。

類似的數學家故事有不少，然而大多經不起推敲，不知道為什么總有人樂此不疲地傳播。上述傳說當然也經不起推敲：老師怎么會考慮正十七邊形的尺規作圖，不應該考慮“更簡單”的正七、九……邊形的尺規作圖嗎？要知道，在高斯之前，沒有人意識到正七邊形不能尺規作圖，而正十七邊形可以尺規作圖。

至于正n邊形作圖問題，則需要更深刻的理論［4］，關系到高次方程求根問題，難度要大得多，這里略過不表。

八、教學意義

之所以從尺規作圖開始，是因為我覺得這樣的問題比較有意思，牽涉到很多數學概念，并且中學數學教師應該比較熟悉。然而，這可能有點一廂情愿：尺規作圖這個曾經在數學史上大放異彩的重要問題，在如今的中學數學教材中卻幾乎沒有多少分量了。

不過，《義務教育數學課程標準（2022年版）》在初中階段強調了“通過尺規作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質與關系”［5］，增加了尺規作圖的內容，要求作平行線、垂線、垂直平分線、角平分線、圓的切線、三角形及其外接圓和內切圓，還有圓的內接正方形和正六邊形。表面上看，這些問題都很初等，沒什么難度，似乎也沒有多少啟發性。然而，事情并不是這樣的：

一方面，尺規作圖是邏輯性的，符合論證幾何的追求，在作圖過程中可以加深對幾何知識的理解，使得知識成為關聯的體系，而非散點的結論。例如，各種平分線的作圖運用的是全等三角形的性質，內切圓、外接圓的作圖又讓學生切實體會到三角形的角平分線、中垂線是共點的。

另一方面，尺規作圖是代數、幾何甚至分析課程的紐帶，很多尺規作圖問題的解決給了我們很大的啟發，不僅能加深對數學各分支知識的理解，而且能帶來新的發現。在這個過程中，有求知欲的學生能學到很多有趣的數學知識，有好奇心的學生能發現很多好玩的數學問題，有悟性的學生能體會到美妙的數學思想——這正是尺規作圖在數學發展史中的功績，也是可能在中小學日常教學中產生的功效。

回顧尺規作圖的歷史，它首先告訴我們無理數的存在，其后的研究揭示了它的關鍵性質：尺規作圖能做四則運算和開平方。簡單如2、5，復雜如cos2π17這樣的數都能得到。但是，很多無理數，如32、cos20°等，都不能作出。這樣的數都是有理系數方程的根，稱為代數數。我們可以認為代數數是可構造實數的推廣，是人類認識數過程中的一個跨越。事實上，所有代數數也構成一個數域，這個數域目前仍然是數論研究的重要問題。

方程求根的探索告訴我們，盡管很多方程的根不是可構造實數，但它們都可以由方程的系數經過四則運算和開平方得到。是不是把開平方的條件放松為開任意次方就可以解決問題了呢？這又把研究對象向前推進了：有理系數方程的根能不能由系數的四則運算和開方的方式得到？經過數百年的努力，數學家們終于發現，并不是所有代數數都

可以用有理數的四則運算和開方的方式得到。這一發現引起了代數學領域的一場革命，很多嶄新的概念和理論被提出，迅速發展成一個個龐大的研究分支。

接著，埃爾米特（Hermite）和林德曼等人的發現告訴我們，有些數（如e、π等）甚至不是任何非零有理系數方程的根，這些數就是超越數。這個發現促使數學家們重新審視實數，并建立了嚴格的實數體系。進一步研究表明，超越數要比代數數多得多。而對負數開方的問題又導致了復數的發現，將數的理論推到了新的高度。

這些都是數學研究的波瀾壯闊的歷史，值得每一個后來人了解、學習，從中吸取營養，當然也應該是我們在中小學乃至大學數學教育中使用的寶貴素材——利用它們（可以“混而不錯”的方式）引導學生思考、探索，體會數學之美，從而保持好奇心，并有勇氣作出新的發現。

參考文獻：

［1］［2］JohnDerbyshire.代數的歷史：人類對未知量的不舍追蹤［M］.馮速，譯.北京：人民郵電出版社，2010：97，98.

［3］朱富海，陳智奇.高等代數與解析幾何［M］.北京：科學出版社，2018：117.

［4］鄧少強，朱富海.抽象代數［M］.北京：科學出版社，2017：153-203.

［5］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：14.

（朱富海，南京大學數學系，教授。從事基礎數學方向李群李代數的研究，對本科數學教育有深入思考，編著多本本科教材，并在個人公眾號“數林廣記”中寫下了數十萬字的教育心得。）