股票價格技術分析的數學原理及超前預測方法

摘 要：傳統技術分析方法無法在數學上證明其有效性，使用古老而原始的圖形和指標分析手段來獲取股票價格中的基本波動信息，其分析結果不僅大大滯后于實際的股票價格變化趨勢，還受隨機噪聲的嚴重干擾，具有很大的不確定性。本文根據《數理金融學》的實證研究結果建立了股票價格數學模型，從數學上證明了在微觀尺度上表現出隨機性和不可預測性的股票價格波動，在宏觀尺度上具有總體的確定性和可預測性，并設計出LPD數字低通差分濾波器，可從股票價格數據中分離出相位超前的基本波動微分信號，提前預測基本波動的運動狀態，以期為股票投資者提供及時有效的科學決策依據。

關鍵詞：技術分析；股票價格數學模型；布朗噪聲；微分超前預測；LPD低通差分濾波器

本文索引：高宏.<變量 2>[J].中國商論，2023（12）：-125.

中圖分類號：F830.91 文獻標識碼：A 文章編號：2096-0298（2023）06（b）--05

1 引言

技術分析以股票市場過去和現在的價格和成交量等數據為分析對象，通過圖形或數據處理手段來預測股票價格未來的變化趨勢，從而為投資者確定股票買賣時機提供決策依據。現有技術分析理論只是一堆通過觀察和歸納獲得的個別經驗總結，無法在數學上證明其有效性，也沒有形成邏輯上嚴密、完整、系統的理論體系。技術分析雖然最早可追溯到18世紀中葉日本大米期貨交易市場中使用的日式蠟燭圖，但是現有技術分析仍然使用古老而原始的圖形和指標分析手段來獲取股票價格中的基本波動信息，其分析結果不僅大大滯后于實際的股票價格變化趨勢，還會受到隨機噪聲的嚴重干擾，使得分析結果因人而異，具有很大的主觀性、隨意性和不確定性。馬丁·普林格（Marin Pring）在其經典著作《技術分析》導論中首先表明：“技術分析研究的是可能性，而非確定性，技術分析是一門發現市場轉折點的藝術”。此外，現有技術分析理論使用十字星、上吊線、墓碑線、頭肩頂、雙重底一系列帶有濃厚占星術色彩的術語來描述股票價格的運動狀態，因而受到學術界的廣泛質疑和嚴厲批判（羅聞全，2014）。伯頓·馬爾基爾（Burton Malkiel）在其暢銷書《漫步華爾街》中寫道 “在嚴格科學的檢驗下，技術分析和占星術沒有區別”。

本文根據《數理金融學》“股票價格對數收益率為白噪聲”的實證研究結果建立了股票價格數學模型，推導出了股票價格的功率譜密度，從數學上證明了在微觀尺度上表現出隨機性和不可預測性的股票價格波動，在宏觀尺度上具有總體的確定性和可預測性，使具有100多年發展歷史的技術分析學科從感性經驗總結上升到理性科學理論，從而使人們對股票價格波動現象及規律的認識產生質的飛躍。本文設計了LPD數字低通差分濾波器，可從股票價格數據中提取相位超前的基本波動微分信號，提前預測股票價格基本波動的底部、上升、頂部和下降等運動狀態，為股票投資者提供有效可靠的科學決策依據。

2 股票價格數學模型及功率譜密度

《數理金融學》研究領域的眾多學者通過對股票市場的長期觀察和實證研究，早就得出了“股票價格的對數收益率為白噪聲（White Noise）”的結論（Fama，1965）。圖1為2001—2022年的上證指數及其對數收益率（日），波形與電子線路中的白噪聲信號相同，表明上證指數的變化在下一時刻的方向和大小是完全隨機的。

假設s（t）為t時刻的股票價格，x（t）=ln s（t），則股票價格s（t）的對數收益率可表示為

式中，n（t）為零均值不相關白噪聲函數。

式（1）為x（t）的一階差分，設x（0）=0，則

從式（2）的股票價格模型可以看出，股票價格x（t）不僅與當前時刻的n（t）有關，還與過去所有時刻的n（t）有關，表明x（t）具有很強的記憶性，投資者可以根據歷史價格和歷史價格的變化來預測其未來的走勢。

白噪聲n（t）的功率譜密度在整個頻域內為常量，由式（2）立即可得x（t）的功率譜密度：

式（3）中，ω為諧波分量的角頻率；N0為白噪聲n（t）的功率譜密度，其物理意義表示白噪聲信號在單位電阻上產生的平均功率。

從式（3）可以看出，x（t）的功率譜密度與ω2成反比。Andreadis（2000）對1988年12月1日—1998年4月1日的S&P 500標準普爾指數（日）進行了功率譜計算，得出了S&P 500指數的對數功率譜密度與頻率的平方成反比的實證結果，與式（3）的理論推導結果完全相同。

股票價格x（t）的功率譜密度與ω2成反比，表明股票價格x（t）是能量集中在低頻段的紅噪聲（Red Noise）或布朗噪聲（Brown Noise），具有 1/f 分形特征標度變換下的結構不變性（自相似性），在宏觀尺度上存在可以識別和利用的規律，具有可預測性。

此外，股票價格x（t）的功率譜密度與ω2成反比，表明x（t）中所有諧波分量的波動幅度與其波動周期成正比，與道氏理論和波浪理論對股票價格波動現象的描述完全一致。道氏理論用文字描述股票價格的這一現象，波浪理論則使用圖形描述這一現象，它們是通過對股票市場多年的觀察分析使用歸納方法得出的經驗規律。

3 道氏理論的三種波動

道氏理論是技術分析的鼻祖，是由發明DJIA道瓊斯指數，并創辦《華爾街日報》的查爾斯·道（Charles Dow）在100年前創立的。查爾斯·道通過對股票市場的觀察發現，股票價格是由以下三種不同周期的波動疊加而成：

（1）基本波動：周期1年或1年以上的波動，其波動幅度最大，是造成投資者盈利或虧損的根本原因。基本波動的上升過程形成股票市場的牛市，下降過程形成股票市場的熊市。基本波動源自投資者心理情緒周期行為的驅動，具有很大的慣性，基本波動的運動趨勢可以被跟蹤預測。受歷史條件的局限，查爾斯·道并沒有給出定量分析基本波動的有效方法。

（2）次級波動：周期3周到3個月的波動，波動幅度為基本波動幅度的1/3左右。次級波動的方向與基本波動的方向可能相同，也可能相反。當次級波動的方向與基本波動相反時，在牛市中會形成幅度較大的中期調整，使投資者誤認為股票市場開始下跌；在熊市中會形成幅度較大的反彈，使投資者誤認為股票市場開始反轉。因此，次級波動具有很大的欺騙性，難以為股票投資者提供準確、可靠的科學決策信息。

（3）日常波動：周期為幾天以內的波動，具有很強的隨機性，不可預測。日常波動的幅度雖然不大，但是會對判斷基本波動位置和趨勢帶來極大的隨機噪聲干擾。

查爾斯·道把上述三種波動形象地比喻為大海中的潮漲潮落，基本波動就像大海中的潮汐，海水在月球和太陽引力作用下形成確定性的周期波動；次級波動就像大海中的海浪，是海水受到風力的作用而產生的波動，其大小和方向很難預測；日常波動就像海面上的漣漪，小而不定，具有很強的隨機性。

道氏理論認為：股票指數或股票價格的日常波動可能受到人為操縱，次級波動也可能在某種有限的程度上受到人為操縱，但是股票指數或股票價格中的基本波動無法人為操縱，也就是說，人為操縱無法撼動股票指數或股票價格中基本波動的運動趨勢。

4 股票價格技術分析模型

查爾斯·道只觀察了5年的股票市場數據，沒有發現股票價格波動中存在的長期線性趨勢。第一位獲得諾貝爾經濟學獎的美國經濟學家薩繆爾森（Samuelson）通過對半個世紀的美國股票市場進行實證研究發現，股票價格中存在長期線性趨勢。

根據股票價格x（t）的功率譜密度與ω2成反比的性質及道氏理論對股票價格波動現象的描述方法，可將式（2）表示的股票價格數學模型簡化為圖2所示的技術分析模型。

由圖2可以看出，實際股票價格由線性趨勢（零頻波動）、基本波動、次級波動和日常波動四種不同周期（頻率）的波動疊加而成，因此股票價格可用公式定性表示為：

股票價格=線性趨勢+基本波動+次級波動+日常波動

在四種不同周期的波動中，基本波動的幅度在有限時間內最大，是產生股票投資盈利或虧損的直接原因。基本波動帶有股票投資者所需的所有信息，如果能在基本波動的底部（極小值）買入和頂部（極大值）賣出，就可消除投資風險，并實現投資收益最大化。

調整圖2股票價格技術分析模型中次級波動的頻率、幅值及初始相位，可模擬出傳統技術分析理論中的所有典型股票價格圖形及形態。

在2005—2007年的牛市中，上證指數從2005年6月6日的998.23點一直上升到2007年10月16日的6124.04點，增長幅度高達613.48%，但是平均到每天的上升趨勢（基本波動）變化只有0.3%，而上證指數日常波動的最大幅度為9%，波動標準差為3.1%。因此，上證指數的上升趨勢（基本波動）完全被日常波動所淹沒，人們很難察覺到上升趨勢（基本波動）的存在。

傳統技術分析方法由于使用古老而原始的圖形和指標分析手段來提取股票價格中的基本波動信息，不但難以消除隨機噪聲（日常波動）和短期波動（次級波動）對分析結果的干擾，因而造成分析結果因人而異，具有很大的主觀性、隨意性和不確定性，而且分析結果嚴重滯后于實際股票價格的變化趨勢，無法為股票投資者提供及時準確的基本波動底部、上升、頂部和下降等狀態信息。

股票投資者的盈利和虧損完全取決于買入點和賣出點在基本波動曲線上的相對位置，但是基本波動完全被日常波動和次級波動所淹沒，而傳統技術分析方法又無法完全消除日常波動和次級波動對基本波動的干擾，因此技術分析必須借助現代數字信號分析技術。先把隱藏在日常波動和次級波動中的基本波動分離出來，再準確判斷出基本波動的運動狀態（底部、上升、頂部、下降），才能為股票投資者提供及時準確的科學決策依據。

傳統技術分析有三條重要的基本假設（Murphy，2012）：

（1）市場行為包含一切信息；

（2）價格以趨勢方式演變；

（3）歷史會重演。

表面來看，技術分析似乎只關心股票價格本身的波動狀態及趨勢，而不關注引起股票價格變化的宏觀經濟形勢、行業發展趨勢和企業經營狀況等基本面因素。事實上，從股票市場系統模型來看（高宏，2020），股票價格是股票市場所有內、外部因素綜合作用的結果，所有公開信息、內部信息、歷史信息和噪聲信息對股票價格的影響都會反映在股票價格的變化上，因此“市場行為包含一切信息”的基本假設與客觀事實完全一致。

假設（2）和假設（3）實質上描述的是股票價格基本波動特征。假設（2）所說的趨勢是指基本波動從波底上升到波頂的確定性過程，或從波頂下降到波底的確定性過程；假設（3）則是指基本波動的循環往復現象。

5 MA移動平均線

1935年，哈羅德·M·伽利（Harold M. Gartley）在《從股市中贏利（Profits in the Stock Market）》一書中首先使用了MA（moving averages）算數移動平均方法對股票價格數據進行平滑處理，以便清晰地看出股票價格中的基本波動變化趨勢。

MA移動平均線是利用連續N個交易日股票收盤價的算數平均值計算出來的，其計算公式如下：

式中，Ci為第i日的股票收盤價。

MA移動平均線可消除股票價格數據中的日常波動（隨機干擾）和次級波動（短期震蕩），使股票價格的運動趨勢變得平滑，因而成為證券投資領域應用最普遍的一種技術指標。

從數字信號分析的角度來看，MA移動平均計算方法實際上相當于一個FIR（Finite Impulse Response）數字低通濾波器，其單邊帶寬為2π/N，噪聲減小比NRR（Noise Reduction Ratio）為1/N，只要N足夠大，就能將日常波動和次級波動衰減到最低程度，因此長期MA移動平均線實質上是股票價格基本波動曲線。

但是，MA移動平均線計算方法會產生τ =（N-1）/2的相位延遲，使MA移動平均線（基本波動的波形）嚴重滯后于實際股票價格的趨勢變化，無法為投資者提供及時準確的基本波動狀態信息。

圖3為京東方2013年2月—2019年8月的周K線、48周MA移動平均線和LPD低通差分濾波器曲線。由圖3可以看出，MA移動平均線為連續、可微、無折點的光滑曲線，具有明顯的底部、上升、頂部和下降等運動狀態信息，但是MA移動平均線嚴重滯后于實際股票價格曲線，無法為投資者提供及時準確的買入和賣出信號。

6 微分超前預測原理

假設股票價格中的基本波動為簡諧振動，即基本波動是按正弦函數規律變化的周期振動，其數學表達式為：

式中，A為振幅；ω為振動角頻率；為初始相位。

假設T為基本波動完成一次振動所需的時間周期，則有：

對式（5）的基本波動進行微分，可得基本波動的微分表達式：

比較式（5）和式（7）可知，基本波動的微分具有以下兩個重要特征：

（1）基本波動的微分是與基本波動具有相同頻率的簡諧振動；

（2）基本波動的微分較基本波動的相位超前π/2或1/4周期。

圖4為式（5）描述的基本波動曲線和式（7）描述的基本波動微分曲線，可以看出基本波動微分曲線與基本波動曲線具有相同的振動頻率，但其波形超前基本波動1/4周期，因此可用來提前預測基本波動的底部、上升、頂部和下降等運動狀態。

簡諧振動的微分超前預測原理在自動控制領域中獲得了極為廣泛的應用，各種自動控制系統中的微分控制器可對系統輸出偏差進行超前校正，大幅度加快自動控制系統的響應速度，并降低系統響應的超調量。

7 LPD低通差分濾波器

LPD（Low-Pass Difference）低通差分濾波器是一種FIR數字濾波器，其顯著特點是在實現低通濾波的同時一并進行差分運算，因此可用來提取股票價格數據中的基本波動微分信號波形，從而實現基本波動運動狀態（底部、上升、頂部和下降）的超前預測。

FIR數字濾波器的輸入/輸出關系可表示為以下的差分方程：

式中，x（n）為FIR數字濾波器輸入序列（股票價格時間序列），y（n）為FIR數字濾波器輸出序列；h（n）為FIR數字濾波器系數，即FIR數字濾波器單位沖激響應；N為FIR數字濾波器的長度。

LPD（Low-Pass Difference）低通差分濾波器的頻率響應可寫為

式中，απ為低通差分濾波器的截止頻率。

使用契比雪夫最佳一致逼近方法可求出LPD數字低通差分濾波器的所有濾波器系數h（n），獲得較為理想的通帶和阻帶性能。

LPD數字低通差分濾波器具有MA移動平均線的低通濾波特性，有效衰減股票價格數據中的日常波動（隨機干擾）和次級波動（短期波動），同時提取出基本波動的微分波形。

LPD數字低通差分濾波器與MA移動平均線一樣，也會產生τ =（N-1）/2的延遲。假設股票價格基本波動的周期為T，若LPD數字低通差分濾波器的延遲：

則從股票價格數據中提取出的基本波動微分波形就會在相位上超前實際的基本波動或與實際的基本波動同步，從而可為股票投資者提供超前或及時準確的科學決策依據。

圖3中的LPD數字低通差分濾波器曲線是從京東方股票數據中提取出的基本波動微分曲線。由于實際股票價格中的基本波動并非理想的簡諧振動，其波底寬、波峰窄，因此LPD數字低通差分濾波器曲線的底部超前于實際股票價格的底部，頂部與實際股票價格同步，可為投資者提供超前的買入信號和及時的賣出信號。

8 結語

技術分析作為股票投資分析的主要工具，已被廣泛運用于股票市場的投資交易活動中。但是，現有技術分析理論只是一堆分散、彼此毫無任何邏輯關系的經驗總結，分析結果會因人而異，具有很大的主觀性、隨意性和不確定性。本文根據《數理金融學》“股票價格對數收益率為不相關白噪聲”的實證研究結果，建立了股票價格數學模型，推導出股票價格的功率譜密度，使用數學語言描述并分析股票價格的波動現象及規律，證明了股票價格在宏觀尺度上具有可預測性，使傳統的技術分析理論從歸納經驗總結發展成演繹科學理論，具有傳統技術分析理論沒有的客觀性、普遍性、抽象性、確定性和超前預測特性，可為股票投資活動的量化分析、價格預測、投資決策、風險管理及市場監管提供及時準確的科學理論依據。

參考文獻

Andreadis I. Self-criticality and stochasticity of an S&P 500 index time series[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2000，11 （7）：1047-1059.

Eugene F. Fama. Random Walks in Stock Market Prices[J].Financial Analysts Journal， 1965， 21 （5）：55–59.

John J. Murphy. 金融市場技術分析[M]. 丁圣元，譯. 北京： 地震出版社， 2012.

高宏. 股票市場系統特性分析及應用[J]. 時代金融， 2020（10）：60-62.

胡廣書. 數字信號處理：理論、算法與實現[M].北京：清華大學出版社，2003.

羅聞全. 技術分析簡史：市場預測方法的前世今生[M].北京： 機械工業出版社，2014.