有參數失配的雙層網絡的實用同步

蔡建平,甘立軍

(閩南師范大學 數學與統計學院,福建 漳州 363000)

0 引言

從食物網到生態群,從互聯網到萬維網,從通信網絡到社會組織等,網絡廣泛存在于自然界和人類社會。由于大規模網絡具有描述現實事物的結構以及事物之間關系的能力,而受到眾多學者的關注。學者們對于網絡的研究是多方面的,比如同步[1-3]、社團結構[4]、動力學傳播[5-6]等,其中網絡同步一直處于網絡研究的重要地位。

同步現象是自然界最基本的運動現象之一,除了稻田里齊鳴的蛙聲和同步閃爍的螢火蟲展示了同步現象外,鳥類聚集和意見一致也有著同步現象的身影。由于學者們對混沌同步的大量研究,極大推動了網絡同步的研究進度。經過了幾十年的發展,網絡同步的研究成果變得十分豐富,學者們已經提出了許多網絡同步的控制方式,比如自適應控制[7]、脈沖控制[8]、事件觸發控制[9-11]、牽制控制[12-13]等,并實現了多種類型的網絡同步,比如完全同步[14]、投影同步[15]、外同步[16]等。由于事件觸發控制和牽制控制在節約控制成本上的巨大優勢,而成為研究的重要手段。此外,值得一提的是,網絡的外同步是在雙層或多層的網絡模型上才能實現的,這種同步方式只關注不同層網絡相應節點之間的同步,而不考慮同層網絡節點之間是否同步。

自Astrom等[9]提出了事件觸發控制,并證明了其信息傳輸量和資源消耗量比周期采樣控制更少后,事件觸發控制因其具有節約資源和降低通信壓力的優勢而受到了許多學者的關注。Liu等[10]使用了一種靜態事件觸發控制研究了多智能體網絡的同步問題,有效地減少了控制器的更新次數,達到了節約資源的目的。Hu等[11]在靜態事件觸發控制的基礎上引入了一個內部動態變量,得到了動態事件觸發控制,并通過仿真驗證了動態事件觸發控制在減少控制器更新次數和節約資源上比靜態事件觸發控制更有優勢。為了現實的可操作性以及更大程度地節約資源,不僅需要考慮控制器所采用的控制方式,還需要考慮控制器的數量,特別是當網絡的節點個數太多時,對每個節點都施加控制顯然會增加成本以及實施難度。為了減少網絡同步過程中需要施加控制的節點個數,Wang等[12]提出了牽制控制,該控制方式僅需對部分節點施加控制即可實現整個網絡的同步。Jia等[13]將與狀態無關的事件觸發控制與牽制控制相結合,并應用到雙層網絡外同步的研究中,得到了雙層網絡實現外同步的充分判據。該文獻中考慮的雙層網絡節點的動力學方程是完全一樣的,然而在現實世界中,由于外部擾動或是硬件磨損都可能會出現參數失配現象,而節點動力學方程的參數失配會嚴重影響網絡的同步性能,當失配比例較大時,甚至會導致網絡的崩潰。因此討論有參數失配的雙層網絡的同步問題更符合實際。然而在現有的文獻中,研究參數失配多是在混沌系統[17-18]或有一個領導者的單層網絡[19]中,很少有研究雙層網絡中存在參數失配時的同步問題。必須指出的是,有參數失配的雙層網絡難以實現外同步,只能實現誤差在一定范圍的實用同步。

基于上述分析,為了考慮更為實際的網絡模型并減少控制過程中的能源消耗。將通過動態事件觸發控制與牽制控制相結合的方式,研究具有參數失配的雙層網絡的實用同步問題。首先給出了有參數失配的雙層網絡模型、控制器和動態觸發機制。其次,通過理論推導,得出有參數失配的雙層網絡實現實用同步的充分判據、層間誤差界的估計式,并證明所選觸發機制不存在芝諾現象。最后,通過2個數值例子,驗證理論的正確性。

1 雙層網絡模型

本節考慮的模型為雙層網絡,該雙層網絡分為驅動層和響應層,每層網絡都由N個網絡節點構成,且每層網絡的節點連接方式相同。現給出驅動層的第i個耦合節點動力學方程如下：

i=1,2,…,N

(1)

響應層的第i個耦合節點動力學方程如下：

i=1,2,…,N

(2)

注1由于驅動層網絡節點和響應層網絡節點之間的軌跡的界可能存在一定的差異,因此在驅動層節點的界的基礎上,引入了一個估計值δi,用來估計響應層節點的軌跡的界。

引理1對于任意合適維數的實矩陣D和E,存在常數μ>0,使得DTE≤(μDTD+ETE/μ)/2成立。

記ei(t)=xi-yi為驅動層網絡的第i個節點與響應層網絡的第i個節點之間的同步誤差。為了節省能源,降低控制器設計難度,選擇動態事件觸發牽制控制的方式,僅對響應層網絡的部分節點進行控制。

(3)

(4)

式中：

(5)

(6)

式中：Δfi(t,yi)=ΔAi(t)yi+Δgi(yi)+Δmi(t)。記

e(t)=(e1(t)T,e2(t)T,…,eN(t)T)T

z(t)=(z1(t)T,z2(t)T,…,zN(t)T)T

K=diag{k1,…,kq,0,…,0}

F=((f(t,x1)-f(t,y1))T,(f(t,x2)-

f(t,y2))T,…,(f(t,xN)-f(t,yN))T)T

f(t,yN))T)T

則驅動層網絡和響應層網絡之間的誤差系統可寫成如下形式：

(K?In)z(t)-ΔF

(7)

根據控制理論可知,驅動層(1)和響應層(2)之間的同步問題等價于誤差系統(7)在原點的穩定性問題。由于驅動層網絡和響應層網絡的節點動力學方程之間存在參數失配,故誤差系統(7)無法收斂到原點,而只能在原點附近的一個區域達到穩定。

2 主要結果

定理1在假設1—3成立的前提下,若存在合適的正標量s、α1、α2,耦合強度c,控制增益矩陣K,半正定矩陣γ=diag(γ1,γ2,…,γq,0,…,0)T,使得下列不等式成立：

則驅動層網絡和響應層網絡在控制器(3)下,能實現有誤差界的同步,其中R=rIN為相應節點動力學方程的利普希茨常數構成的對角矩陣。同步誤差界H為：

將上式代入式(5)中可得

根據比較原則以及ηi(0)>0可知

根據上述分析,選取下面的正定Lyapunov函數：

(8)

對V(t)關于時間求導,可得

e(t)T(K?In)z(t)-e(t)TΔF

(9)

由引理1和假設3可知

e(t)TF≤e(t)T(R?In)e(t)

將上面3個不等式代入式(9)可得

(10)

根據假設1、2可知

結合式(5)、(10)以及上式,可將式(8)的導數寫為如下形式：

由定理1中條件可得

-s0W(t)+ξ

根據比較原理可得

則有

由上式可知,只要存在合適的s0>0,當t→+∞時,驅動層網絡(1)和響應層網絡(2)就能實現誤差界為H的實用同步。

注3若驅動層和響應層之間參數失配越嚴重,ξ就越大,相應的層間誤差界H就越大,若是驅動層和響應層網絡之間不存在參數失配,即ξ=0,那么驅動層和響應層網絡將達到外同步。

至此,證明了若滿足定理1的條件,則在動態事件觸發牽制控制下雙層網絡可以實現有誤差界的同步。為了保證觸發機制的可行性,即不存在芝諾現象,接下來將利用反證法證明在有限的時間內不可能有無限次的事件被觸發。

w1i(di+δi)+w2i+w3i

由觸發條件(4)、(5)可得

(12)

根據式(11)和(12)可得

取ε0>0為下列方程的一個解：

則有

3 數值例子

下面將在Matlab中使用步長為0.001的4階龍格庫塔法仿真2個例子來驗證上述理論的正確性。

例1以單連桿機械臂的動力學方程[20]作為驅動層孤立節點的動力學方程：

式中：J= 15,β=0.05,M=0.6,g=9.8,L1=2。

有參數不匹配的單連桿機械臂動力學方程作為響應層孤立節點的動力學方程：

式中：a1、a2、a3表示參數失配的值。根據上面分析,易得失配項為：

下面考慮驅動層網絡和響應層網絡分別由6個節點構成,節點之間的連接關系如圖1所示。

圖1 例1的驅動層和響應層網絡節點連接關系示意圖

同層網絡節點間的拉普拉斯矩陣,耦合強度以及牽制增益如下：

c=10,K=diag(20,24,0,0,0,0)

取驅動層網絡節點的初值為：

(-0.1,-0.01,-0.2,-0.3,-0.3,

-0.01,-0.1,-0.2,-0.25,-0.1,

0.25,-0.2)T

響應層網絡節點的初值為：

(0.1,-0.1,0.2,0.1,-0.3,0,0.25,

-0.3,0.3,-0.12,0.1,-0.25)T

驅動層網絡的所有節點在上述拓撲連接L以及耦合強度c下運行100 s的軌跡圖和前30 s節點自變量的范數變化如圖2和圖3所示。

圖2 例1的驅動層耦合節點運行100 s的軌跡圖

圖3 例1的驅動層耦合節點狀態變量xi,i=1,2,…,6的范數曲線

假設參數失配比例Δf=5%,則有

a1=0.05,a2=0.002 5,a3=0.588

很容易得到

由圖4可知實際的層間誤差比估計的層間誤差界小,由圖6可知驅動層網絡節點和對應的響應層網絡的節點之間的誤差也在一定范圍內波動,由圖7可知前面對響應層網絡節點軌跡的界的估計是合理的。

圖5 例1的控制器u1(t)和u2(t)的事件觸發圖

圖6 例1的驅動層和響應層對應的節點的同步誤差

圖7 例1的響應層所有的耦合節點運行100 s的軌跡圖

定義層間誤差界：

其中：Τ1、Τ2為常數。

為了反映節點之間仿真誤差的范圍,定義驅動層和響應層網絡的第i個節點之間的仿真誤差界為：

如表1所示,在參數失配Δf=5%的情況下,控制增益越大,控制器的觸發次數越多,層間仿真誤差界、節點之間最大仿真誤差界和節點之間最大相對仿真誤差界都有隨著控制增益的增大而減小的趨勢。如表2所示,在控制增益不變的情況下,層間估計誤差界、層間仿真誤差界、節點之間最大仿真誤差界、節點之間最大相對仿真誤差界會隨著參數失配比例的增大而增。在上述2個表中都始終有控制器更新次數小于連續控制時控制器更新的次數(1 000次/s),以及節點之間最大相對仿真誤差界小于相應的參數失配比例,這說明選取的控制器能夠節約資源且具有魯棒性。

表1 例1中控制增益與觸發次數、誤差界的關系

表2 例1中參數失配比例與控制器的觸發次數、誤差界的關系

例2以水平平臺的動力學方程[21]作為驅動層孤立節點的動力學方程：

其中：a=4/3,b=3.776 15,c0=0.000 004 6,f=34/3,ω=1.8。

有參數不匹配的水平平臺動力學方程作為響應層孤立節點的動力學方程：

式中：a1、a2、a3、a4、a5表示參數失配的值。根據上面分析,易得失配項為：

考慮驅動層和響應網絡分別由6個節點構成,且節點間的連接方式同例1,取耦合強度和控制增益矩陣分別為：

c=3,K=diag(33,36,0,0,0,0)

取驅動層網絡節點的初值為：

(-0.5,-1,-0.2,-3,1,

-1,2,-2,2,1,2,-2)T

取響應層網絡節點的初值為：

(0.1,-1,2,0.5,-3,0,1.5,

-2,-3,0.5,-1,2)T

驅動層網絡的所有節點在上述拓撲連接L以及耦合強度c下運行100 s的軌跡圖和前30 s節點自變量的范數變化如圖8和圖9所示。

圖8 例2的驅動層6個耦合節點運行100 s的軌跡圖

α1=1,γ1=γ2=5,b1=b2=0.02,β1=1,β2=30,α2=2,s=1,ε=0.01,η1(0)=η2(0)=4

當參數失配比例Δf=5%時,則有a1=0.05,a2=0.067,a3=0.189,a4=0.000 000 23,a5=0.567。

很容易得到

圖10 參數失配5%時例2的層間同步誤差

圖11 例2的控制器u1(t)和u2(t)的事件觸發圖

圖12 例2的驅動層和響應層對應的節點的同步誤差

圖13 例2的響應層所有的耦合節點運行100 s的軌跡

根據表3和表4可得出同例1中表1和表2相同的結論。

表3 例2的控制增益與觸發次數、誤差界的關系

表4 例2中參數失配比例與控制器觸發次數、誤差界的關系

4 結論

為了考慮更真實的網絡模型以及達到節省能源的目的,采用了動態事件觸發牽制控制技術研究了具有參數失配的雙層網絡的實用同步問題,推導了在該控制方法下雙層網絡實現實用同步的充分判據和層間誤差界的估計式,證實了設計的控制器能節約資源且具有魯棒性。然而,難以推導出相應節點間的誤差界估計式。與之前的文獻相比,考慮動力學方程各個部分參數都失配的情況,而不是部分參數失配或不存在參數失配的情況。此外,還考慮了控制過程中如何減少能源消耗的問題。未來將研究相應節點之間誤差界的估計方法。