圣彼得堡數學學派

龐軍霞

摘 要：圣彼得堡數學學派創立于19世紀下半葉，該學派是俄羅斯在數學領域創建最早、實力最強、影響最大的學派，是推動19世紀數學發展的一支重要生力軍，不僅在許多領域作出了巨大的貢獻，還培養了多位著名的數學家.通過對文獻的分析，本文將對圣彼得堡數學學派的成因及具有代表性的歷史偉人作些梳理分析.

關鍵詞：圣彼得堡；圣彼得堡數學學派；切比雪夫

1 圣彼得堡數學學派的崛起

俄羅斯跨歐亞兩個大州，其地理位置決定了科學文化，勢必將東方理性與西方想象兩個最主要的文化元素結合起來，甚至把整個地球上的人類文化融入其文明之中.［1］18世紀初，俄羅斯在科學、政治、經濟和文化等方面的發達遠遠落后于其他西歐國家，即便是一個幅員遼闊的大國.由于東正教會對俄羅斯的巨大影響，導致俄羅斯在文學、數學等自然學科方面，沒有任何的進展，甚至沒有大學，沒有初等數學教科書，直至1682年，《買賣物品的簡便計算手冊》第一部算求書才出版.1687年左右，俄羅斯科學事業幾乎一片空白，而同時代的西歐文學和科學事業卻在蓬勃發展.馬格尼茨基渴望祖國擺脫愚昧落后的狀態，在《算術》的扉頁醒目寫道：讓所有俄羅斯人都得到智慧和地位，真正屬于自己而不是外國的.［1］

1689年，彼得大帝于親政后，在諸多方面做出了改革，目的是改變俄羅斯落后的經濟狀況.1700年，彼得大帝開始了對瑞典的21年北方戰爭，奪取了英約爾曼蘭，為俄羅斯爭奪面向西歐的出海口.1703年，修建新城市——圣彼得堡，此城由該域第一座建筑物-扼守涅瓦河河口的圣彼得堡羅要塞命名.圣彼得堡的建造是俄羅斯融入歐洲社會的起點，躋身于歐洲強國，成為俄羅斯瞭望歐洲之窗口.由此，俄羅斯進入繁榮時期.

1725年，圣彼得堡科學院建成，為了更好地發展基礎科學，彼得大帝引進世界上許多著名的科學家來彼得堡科學院擔任職務.其中有歐拉（L. Euler，1707—1783），也有德國數學家哥德巴赫（C. Goldbach， 1690—1764），荷蘭數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli， 1700—1782）等等.成立之初，只設立數學、物理學和社會科學三大學科，其科學院院士大多都是外國人，尤其是德國人最多，形成了“彼得大帝的城市，德國人的科學院”之局面.［1］據記載其名稱不斷地更改，但依舊動搖不了其地位.直到1917年，圣彼得堡科學院仍是俄羅斯的最高學術機構.

建校初期，圣彼得堡大學設有3個系：哲學-法學系，歷史-語文系和物理-數學系.物理-數學系的目標是培養4個專業方向的專家：數學家，計算數學家，力學家和天文學家，［2］其培養方式是把學生訓練成知識淵博，專業精深的專業人才.圣彼得堡大學的建立為我們開啟了眾多數學學派，如切比雪夫創建的圣彼得堡數學學派.

“學派”術語源于希臘文σχολη［skhole］，其最初含義為空閑時間及其利用，主要包括學習和探索知識的各種活動.［2］因此，圍繞著同一個數學主題，數學家們運用不同或者同一種數學思維在就近的范圍內進行相關的研究，彼此之間相互溝通，相互探討，慢慢地就形成了一個團體，稱之為數學學派.

數學史家李文林先生將數學學派定義為：數學學派是指數學本質、原理和方法有共同的群體定義的數學家集合.［1］“共同的群體定義”——這是李文林老師給出的關于學派這一概念的一個核心，即由某個共同的數學思維或思想把不同的數學家個體聯系在一起.據記載，數學學派可被分為兩類：一類是聚集在某“數學大師”周圍的研究團體，簡稱為“M”型；另一類是因相同的數學思想而聯系在一起的數學研究團體，簡稱為“I”型.

圣彼得堡數學學派的奠基人是切比雪夫，因此有時該學派也稱“切比雪夫學派”.切比雪夫1821年生于奧卡多沃，其父親是一名退役軍官，母親出身名門，是一位不茍言笑的女人.在他十一歲那年，父母帶領全家遷居莫斯科.1837年，年僅十六歲的切比雪夫成為莫斯科大學哲學系-物理數學專業的一名學生；1841年畢業于莫斯科大學，開始了碩士學習生涯；1847年，切比雪夫被選為彼得堡大學副教授，直到1882年退休為止.李雅普諾夫和馬爾科夫是他最優秀的兩名學生，他們分別于1880年和1878年畢業于圣彼得堡大學數學系，李雅普諾夫以研究微分方程的穩定性理論著稱于世；馬爾科夫以馬爾科夫過程理論揚名世界.切比雪夫研究的領域很廣泛，如經典分析到概率論；歐拉選集和數論；瓦特連桿和函數逼近論等.與此同時，切比雪夫也是一個杰出的教育家，他曾講授過十余門課程，分別是高等代數、數論課程、積分運算、分析力學、傅里葉級數、橢圓函數、有限差分、概率論、機械工程等.他的授課模式深受學生們的歡迎，他總是能用最精辟的語言描述基本概念和有關的背景知識，學識淵博的切比雪夫具有超群的感染力，大家把他的課比作“數學思想課的實驗室”.他的一生不僅僅重視純數學，而且非?？粗乩碚撀撓祵嶋H，即非常重視數學的應用.他的學生也很好地繼承了他的優良傳統.

圣彼得堡數學學派涉及的研究領域復雜而廣泛，科學研究的學者、繼承者也大量的涌現出來，日復一日地科研工作并沒有使他們的研究軌道發生偏離，反而圣彼得堡數學學派的所有成員都按照切比雪夫的學術風格進行科學研究活動.其主要的學術風格可歸納為以下幾點：（1） 經典與基礎相互發展；（2） 簡潔與高深相互推演；（3） 精確與近似相互轉化；（4） 理論與實踐相互轉化；（5） 科研與教學相互促進.

金無赤足，任何事物都會有不足之處.圣彼得堡數學學派也不例外，存在一些遺憾：（1） 懷疑幾何語言的科學性；（2） 排斥統計理論的應用性；（3） 忽略陳述的規范性；（4） 忽視某些數學領域.

盡管如此，愈發凸顯出了圣彼得堡數學學派的獨具一格.

圣彼得堡數學學派的崛起以及整個成長過程可謂是俄羅斯數學發展的標志，進入鼎盛時期的圣彼得堡數學學派，人才輩出，碩果累累，成為舉世矚目的綜合數學研究中心.

2 圣彼得堡數學學派的代表性人物

龐加萊曾認為：“如果我們希望預知數學的將來，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀”.徐傳勝教授曾說：“當我們遨游在數學歷史的長河中，我們將會被深深地被艱難曲折的歷史所震撼，被一個個里程碑似的定理所振奮，被一個個數學大師的磨礪所感動.”［1］縱觀圣彼得堡數學學派，俄羅斯的數學發展尤為讓人振奮和震撼.十九世紀末至二十世紀初，圣彼得堡不斷涌現一位又一位著名數學家，為俄羅斯這座城市閃發光芒.本文將簡單概括幾位具有代表性的偉人來凸顯圣彼得堡數學學派魅力.

2.1 圣彼得堡數學學派的元宿——奧斯特羅格拉茨基

1801年9月24日，奧斯特羅格拉茨基出生于帕先納亞（現屬于波爾塔瓦）.他兒時就刻苦好學，具有強烈的求知欲，僅用三年就完成了中學課程.1816年，他考入哈爾科夫大學物理數學系；于1820年以優異的成績通過畢業考試，就在其討論學位授予問題時，由于杜特洛維奇的極力反對最終奧斯特洛夫斯基未能獲得哈爾科夫大學的畢業證書和學位.

為了繼續深造學習，于1822年奧斯特洛夫斯基奔赴巴黎，先后分別在巴黎合理工學院、巴黎索邦大學和法蘭西學院等學校學習，當時他選修大量的數學和物理等課程.1824—1827年，他寫了關于數學物理和微積分的論文，其中一些科研成果深得柯西的認可.

巴黎自由的學術氛圍深得奧斯特洛夫斯基的喜歡，促使他沉浸在數學物理的海洋中，但他依舊想報效自己的祖國，并于1928年春回到圣彼得堡，一到圣彼得堡就受到警方的嚴密監視.他利用自己的研究成果使其發生了改變，1928年得到了圣彼得堡科學院的認可，并被評選為應用數學部助理院士.

據記載，奧斯特羅格拉茨基為俄羅斯理論力學學派開創了原創性著作，被稱為其創始者.他主要集中于研究概率論，但也有涉及其他領域，如數學物理、數論和代數學等諸多方面.可他最值得其重視的研究就是在1828年研究熱傳導理論的過程，并證明了關于三重積分和曲面積分之間的關系公式，即著名的奧斯特羅格拉茨基高斯公式［1］.奧斯特羅格拉茨基不僅是偉大的研究學者，同時也是位卓越的數學教育家，深刻揭示了數學學科的重要性，對數學教育的研究傾注了他畢生的心血，為俄羅斯的數學教學改革作出了巨大的貢獻.與此同時，他的教育觀點在許多方面也是超前的，為教育教學提供了新穎的理念，為此孕育了俄羅斯幾代教育學者，被稱為是俄羅斯數學教育界的一代宗師.

2.2 圣彼得堡數學學派的宿儒——布尼亞科夫斯基

布尼亞科夫斯基于1804年12月16日出生于巴爾（現屬于文尼察地區）.布尼亞科夫斯基從小就勤奮好學，刻苦努力，對自然科學有著濃厚的興趣，16歲時就開始歐洲留學，幸遇良師德維利.德維利很賞識布尼亞科夫斯基的能力，1828年在他的極力推薦下布尼亞科夫斯基成功當選為圣彼得堡科學院助理院士.

1823—1825年，布尼亞科夫斯基在巴黎綜合理工學院學習，并獲得博士學位.1826年，在圣彼得堡拉開了其科學研究和教學研究的帷幕.1830年當選為通訊院士，1841年當選為院士，1864年至1889年任圣彼得堡科學院副院長，其研究范圍較為廣泛，主要涉及有數論、數學分析、幾何學、代數學、力學、流體學和概率論及其應用等等，共發表了168篇論文.切比雪夫的成功歸功于布尼亞科夫斯基的發現和培養，他們一起整理了歐拉選集的編輯工作數論部分，為歐拉數學思想的傳播作了巨大貢獻.他對疊加理論和二次互反律進行了研究，在高斯的基礎上證明了二次互反律，［1］并在其1859年的論文中，給出了重要的積分不等式，那就是著名的施瓦茨不等式.

2.3 圣彼得堡數學學派的中堅——馬爾科夫

馬爾科夫于1856年6月14日出生于梁贊省.年幼時，他的腿部患上骨結核，膝蓋腫得像面包一樣，整條腿完全不能彎曲，但是倔強的他堅持鍛煉，強忍疼痛活動，不公平的命運萌發了他向命運發出的挑戰.直到10歲時，經過不斷地手術治療逐漸好轉，但依舊留下了后遺癥，給他的童年留下了陰影.馬爾科夫在圣彼得堡第五中學完成中學全部課程，但由于這是一所東正教習俗管理的學校，要求學生每天死記硬背，舉行各種懺悔儀式和祈禱活動，完全限制了學生的自由，禁錮了學生的創新思維.馬爾科夫很是厭倦這樣的學習環境，因而就流露出了許多不滿的情緒，自此導致老師認為他是個壞學生.然而，馬爾科夫非常熱愛學習，自學了許多課外知識，并數學成績很好，遠遠超過了一般的學生水平.

1874年，馬爾科夫以優異的成績進入圣彼得堡大學物理數學系學習，開啟他的數學之旅.1878年，《以連分數求解微分方程》這篇出自馬爾科夫的優秀畢業論文獲得系金質獎，馬爾科夫因此留校任教.兩年后開始正式任教并完成其碩士論文《論雙正定二次型》.1883年，馬爾科夫與瓦爾瓦切葉夫婭結婚.1884年，馬爾科夫用《連分數的若干應用》論文，順利通過畢業，同時，獲得物理-數學博士學位.

馬爾科夫在圣彼得堡大學任教期間開設多門數學課程，為祖國培養出大量優秀、出色的數學人才，其中課程設有微積分、數論、函數論、矩論、計算方法、微分方程、概率論等.1886年當選為副教授，4年后升為副院士，1893年晉升為教授，1896年成為正院士，1905年退休并獲得“終生榮譽教授”稱號.退休后的他仍在教育行業發光發熱，他以院士身份在圣彼得堡開設概率論課程，并修訂其概率論講義-《概率演算》.在馬爾科夫教學的23年中，對于學術方面的知識，他有著極其嚴謹的態度，“忘我”可以說是對馬爾科夫最貼切的一個形容詞.對于教學，他既能做到因材施教，又能注重學生的思維培養，能夠有創新的邏輯與思維.

1917年，查拉伊斯科縣城迎來了一位特別的老人，已到花甲之年的馬爾科夫帶著14歲的兒子來此無償擔任中學課程教學任務.1918年，馬爾科夫因患上眼疾離開講臺回到圣彼得堡治療，術后又在母校繼續開設概率論課程講座.1921年秋，馬爾科夫正式離開他熱衷的講臺，告別心愛的母校.1922年7月20日，馬爾科夫辭別了人世，遺體安葬在圣彼得堡的米特羅方耶夫斯基公墓.

2.4 圣彼得堡數學學派的砥柱——李雅普諾夫

亞歷山大·米哈伊洛維奇·李雅普諾夫于1857年6月6日出生在俄羅斯亞羅斯拉夫爾，在諾夫哥羅德，李雅普諾夫接受了中學教育，于1876年從體育館畢業，并獲得了一枚金牌.同年，他成為圣彼得堡大學數學系的一名學生，受到了切比雪夫教授的演講的影響.1880年，李雅普諾夫大學畢業，因一篇關于流體靜力學的論文再次獲得金牌.［3］他繼續留在大學力學系，撰寫了1884年他為之辯護的碩士論文《旋轉流體橢球平衡形式的穩定性》.這部作品于1904年翻譯成法語，在歐洲確立了他的名字.

1885年秋天，李雅普諾夫晉升為哈爾科夫大學的講師.在哈爾科夫大學的工作中，李雅普諾夫首先不得不花費大量時間為學生準備力學講座和筆記，1888年，他陸續開始發表關于運動穩定性的論文.［3］這項工作激發了他最大的熱情，進而他于1892年發表了著名的博士論文，題目是《運動穩定性的一般問題》.同年，他在莫斯科大學為這篇論文辯護，茹可夫斯基（俗稱Joukowski，“俄羅斯航空之父”）是他的“對手”之一；這篇論文于1908年和1949年以法語、1935年以俄語和英語重新發表.1893年，李雅普諾夫晉升為哈爾科夫大學的教授，直到1902年才開始研究穩定性問題.并于1899年至1902年擔任哈爾科夫大學數學學會的主席和通訊編輯.

1902年，李雅普諾夫搬回圣彼得堡，在那里，他被任命為院士，并成為1894年去世的前老師切比雪夫的繼任者，他全身心地投入研究，研究牛頓引力作用下勻速旋轉流體粒子的平衡形式問題.李雅普諾夫特別指出，梨形旋轉流體是不穩定的.這一結果在天文學上有著重要的影響，因為它推翻了目前關于旋轉流體（如地月系）形成衛星的理論.劍橋大學的H.達爾文（著名博物學家查爾斯·達爾文的兒子）當時提出了這樣一種機制，自然要求梨形身體穩定的.1917年，簡斯在劍橋大學的亞當斯獎論文中確認了李雅普諾夫的結果是正確的，因此達爾文的理論是錯誤的.

后來，革命的悲慘事件、伏爾加河上的家庭莊園被燒毀，包括他父親和祖父修建的一座大圖書館，以及他妻子的疾病使李雅普諾夫非常沮喪.在他妻子去世的那天，李雅普諾夫用手槍向自己胸膛開槍，于1918年11月3日，即他妻子葬禮的當天去世.在一封自殺信中，他要求和她一起下葬.墓碑上的銘文寫道：運動穩定性理論、旋轉液團平衡形狀理論，微分方程定性理論的方法，概率論中心極限定理以及力學和數學分析領域的其他深入研究的探索者.［3］

2.5 圣彼得堡數學學派的新秀——伯恩斯坦

塞爾吉·納塔諾維奇·伯恩斯坦1880年3月6日出生于敖德薩，1898年高中畢業.之后，他前往巴黎，在巴黎大學和巴黎綜合工科學校學習.伯恩斯坦在巴黎學習期間，即1902至1903年在哥廷根度過.伯恩斯坦提交給巴黎大學的博士論文是解決希爾伯特第十九個問題的一篇優秀作品.這個問題是在1900年的大會上提出，是關于橢圓微分方程的解.1904年，伯恩斯坦在巴黎大學獲得博士學位，年僅24歲的伯恩斯坦在博士論文中做了出色的工作，但當1905年回到俄羅斯時，他不得不重新開始他的博士課程，因為俄羅斯不承認外國大學學位的資格.他在哈爾科夫大學攻讀碩士學位，通過求解一系列非線性橢圓方程邊界條件問題的解析解，繼續研究希爾伯特問題.

1908年，伯恩斯坦被授予碩士學位；1913年，他獲得了第二個博士學位，這一次來自哈爾科夫大學.從1907年開始，他在哈爾科夫大學持續了25年的教學工作.1933年起，他在列寧格勒大學（圣彼得堡大學）任教，也在工業學院授課.在此期間，他也在蘇聯科學院數學研究所工作.1943年，伯恩斯坦轉到莫斯科大學，在接下來的七年里，他致力于編輯切比雪夫的全集.伯恩斯坦研究函數的最佳逼近理論.他大大擴展了切比雪夫在1854年開始的工作.1911年，他引入了稱為伯恩斯坦多項式的方法，對魏爾斯特拉斯定理給出了一個構造性的證明，即在實線有限子區間上的連續函數可以用多項式盡可能接近一致逼近.［1］伯恩斯坦后期也有談到這項工作，是于1912年劍橋舉行國際會議上.然后，他繼續發展這些思想，解決插值理論和機械積分方法中的問題，并在1914年引入了一類新的擬解析函數.

伯恩斯坦最重要的工作之一就是概率論.1917年，他試圖將概率論公理化.他推廣了李雅普諾夫中心極限定理的條件，研究了大數定律的推廣、馬爾可夫過程和隨機過程.伯恩斯坦還研究了概率在遺傳學方面的應用.

翻閱文獻，瀏覽圣彼得堡數學學派的初建——形成——一舉成名，我們發現畢生投身在數學科學事業中的科學巨人擁有與常人不同的表現，如高瞻遠矚的求真遠見、堅定不移的科學信念、勇于開拓的非凡魄力、爐火純真的研究藝術.其科學思想博大精深、胸懷坦蕩，為俄羅斯甚至世界科學發展建立了不朽功勛.

曲徑通幽處，禪房花木深.筆者在有限時間內嘗試打開圣彼得堡數學學派的一層朦朧面紗.

參考文獻：

［1］ 徐傳勝.圣彼得堡數學學派研究［M］.北京：科學出版社，2016.

［2］ 徐傳勝.彼得堡數學學派的概率思想研究［D］.西北大學，2007.

［3］ 蘇淳，劉純.彼得堡數學學派的健將——念紀A. M. 李雅普諾夫誕生一百三十周年［J］.自然辯證法通訊，1987（2）：5968.

［4］ 徐傳勝.圣彼得堡數學學派的發展［J］.科學技術哲學研究，2010（5）：8287.

［5］ 趙曄.莫斯科數學學派的概率思想研究［D］.西北大學，2012.

［6］ 徐傳勝.圣彼得堡數學學派的成因解析［J］.自然辯證法研究，2012（12）：8692.

［7］ 劉學鵬，徐傳勝.圣彼得堡數學學派的學術風格探析［J］.西北大學學報（自然科學版），2009（6）：955959.

［8］ 蘇淳，劉純.彼得堡數學學派的中堅——紀念A. A. 馬爾科夫誕生一百三十周年［J］.自然辯證法通訊，1986（4）：4658.

［9］ 李曉霞，姚遠.問道俄羅斯：《圣彼得堡數學學派研究》［J］.臨沂大學學報，2019（2）：141144.

［10］ 劉鈍，蘇淳.彼得堡數學學派的奠基人——紀念П. Л. 切比雪夫逝世九十周年［J］.自然辯證法通訊，1984（6）：6274.

［11］ 李文林.數學史概論［M］.北京：高等教育出版社，2000.