遇“數”不惑　尋“形”而導

胡艷英

摘 要：在數學教學時，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合才是王道.“數”與“形”相關聯，讓抽象的數學知識“有形可尋”，學生在具體形象中掌握知識的本質屬性，進行深度學習.本文通過研究三下第四單元練習中的一道習題，深度挖掘教學材料內在的學習線索與數學本質，充分發揮學生學習主體性，有效提升學生的深度學習水平，讓學生經歷伴隨學習，培養學生高階思維能力.

關鍵詞：數形結合；深度學習；高階思維

深度學習是一種基于理解的學習，是指學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為內容，積極主動地、批判地學習新的知識和思想，并將它們融入到原有的認知結構中，且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學習.小學數學深度學習則是在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的數學學習過程.《義務教育數學課程標準（2022年版）》也明確提出了“四基”，即學生通過學習，獲得必需的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.從傳統的“雙基”演變成現在的“四基”，新添加的基本思想和基本活動經驗其實體現了數學素養，而數學素養如何培養重在學生的思考和實踐，由此可見，學生學會深度學習、真正參與其中的教育教學活動是至關重要的.但在實際教學中，教師們在對具體內容進行教學時，往往會比較過多地關注學生基礎知識和基本技能的掌握、關注某個生動的例子或者某個有趣的課外拓展等，而忽視了學習素材內在的學習線索與數學本質，忽視了學生深度學習的真正發生.

筆者認為有價值的學習材料需要教師去深度挖掘其內在數學本質，并以此設計有意義、面向問題解決的學習任務，讓學生從淺層學習走向深層學習，追求對學生高階思維能力的培養.

1 探索——深度學習的核心教學內容

深度學習以理解為前提，而不是機械的記憶.要想學生在課堂上經歷深度學習的過程，首先教師就要對數學素材進行深度挖掘，像這樣有價值的素材有很多，比如現行人教版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》三年級下冊第四單元《兩位數乘兩位數》第51頁練習十一中有一道通過計算找規律的題目.“計算下面第一列各題，你發現了什么規律？請根據規律直接填寫其他各題的得數.15×15= 25×25= 35×35= 45×45= 55×55= 65×65= 75×75= 85×85=”

這些算式乘數的十位上的數字相同，個位上的數字之和為十，像這樣的算式叫頭同尾合十，計算此類算式時是有特殊并且快速的巧算方法，但學生只通過這樣的計算題的形式是否能真正掌握此類題目的巧算方法呢？因此，筆者用問卷調查的方法采訪了學校四年級學生，通過問卷調查結果顯示，學生知道頭同尾合十算式并能正確利用巧算規律計算只占13.2%.詢問相關教師后發現，教師只是讓學生做一遍后說一說發現的規律，讓學生機械記憶這個巧算規律的結論，而且結論是通過不完全歸納法得出的，沒有經過演繹的推理過程，在學生的腦子里根本沒有留下烙印，過一段時間就遺忘了.說明在實際的教學過程中，許多數學教師對教材的認識不夠深刻，忽視了一些練習題所擔負的使命，沒有去深度挖掘此題背后的本質內涵.

筆者仔細研讀教材后也發現，學生學完筆算進位乘法之后，在教材的練習中的確出現了此題.因此，筆者對這一學習材料進行深入研究，挖掘其內在的學習線索與數學本質，科學、合理、有序地組織學生展開數學探索活動，讓學生知其然而不知其所以然，以期促進深度學習的真正發生.

2 經歷——深度學習的豐富教學活動

深度學習的重點在于關注學生的學習過程，提升學生的綜合素養.通過深度學習的教學過程，讓學生掌握數學的核心知識，經歷有意義的學習過程，把握所學內容的數學本質，體驗所學內容的思維方法，促進學生關鍵能力與核心素養的發展，形成積極的情感、態度.在實踐教學中，如果能讓經歷助力成長，它能最大化激發學生學習的主動性，同時也能讓學生充分感受到學習的樂趣和成長的快樂.

例如在這一題一課的教學過程中，學生通過頭同尾合十題目的計算后，可以顯而易見地得出頭同尾合十的巧算規律，但如何讓學生證明這個巧算規律，把握這個規律的數學本質呢？其實很多數學內容、概念都具有“雙重性”，既有“數的特征”，又有“形的特征”，只有從這兩方面來認識它們，才能更好地理解并掌握它們的本質意義.而此題內容就符合這樣的“數”與“形”的特征，通過數形結合，經歷3種不同的教學活動，讓學習內容變得更形象、更生動，逐步培養學生對數與形之間化歸與轉化的意識，讓學生在深度探究中提升綜合素養，發展多方面的能力.

2.1 算理明悟：“數”中尋“形”，初建模型

深度學習的課堂應立足于學生學習動機的激發和保持.只有真正激發學生的學習動機，并不斷地保持學習動機，學生才能真正融入到整個課堂學習中.這就要求教師在教學設計時不斷激發學生的學習動機，為學生提供豐富的、富有挑戰色彩的研究性問題，以此來促進學生學習真正發生.

例如在這一課的教學中，我們通過前測，了解了已經知道頭同尾合十巧算規律的學生，化身記者采訪他們快速計算的秘密，并提問其他學生“為什么可以這樣算？”，因為只有理解了算理的由來才能真正掌握算法——“如何計算”.接著讓學生自己在“數”中尋找“形”，把問題轉化為圖形去解決問題，這樣直觀的呈現，易于學生的理解和接受.學生在探究知識點隱含著的深意、領悟巧算算理的過程中，學生的建模思維得到發展，形成抽象的巧算方法，真正展開知識的形成過程，培養學生的數學思維.

【教學片段截取】

實踐證明，學生對于巧算算理和算法的理解，不應該僅僅停留在機械的記憶上，而是應該建立在對知識點的本質理解之上.算理教學中教師也往往要引導學生，用數聯系形，以形詮釋數，在關聯和對比中直擊了知識重點，直觀中明晰了算理，抽象中掌握了算法.在這樣的學習動機的激發和保持中，學生學習經驗不斷積累，促進了學生學習的深度發生.

2.2 矛盾沖突：“形”中驗“數”，打破模型

深度學習的課堂應著眼于高階思維的運用.美國教育學家布魯姆按照認知的復雜程度，將思維過程具體劃分為6個目標，由低到高包括記憶、理解、應用、分析、評價、創造.其中記憶、理解和應用稱為低階思維；分析、評價和創造被稱為高階思維.因此在要想促進學生深度學習，還應該讓學生學會分析、評價與創造.

例如，在這一課教學中，先讓學生用前期積累的學習經驗快速搶答31×39、54×56、43×57、27×26這四個算式的答案，接著利用計算器來進行驗證，發生矛盾沖突，為什么43×57、27×26就不適用了呢？教學中創建知識沖突，再次讓學生運用“形”的直觀性，厘清差異，經歷高階思維來促進學生對只有符合頭同尾合十的算式的才有這一巧算規律的理解，提升學生思維.

【教學片段截取】

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非.”用數與形的關聯，把抽象轉化成具象，在直觀圖中找尋數的特征，把內在的數學知識展現出來，在多元表征中讓學生建立模型.而且也讓學生明白巧算規律的探索可以運用圖形變換，用更形象、直觀的表征方式突破難點，追溯巧算規律的根本，理解巧算算理的本質，順藤摸瓜掌握巧算算法以達到靈活的應用.

2.3 對比歸納：借“形”理“數”，透析內涵

深度學習不是一蹴而就的活動，是持續的知識積累的過程.在教學中通過觀察發現、提出猜想、推理驗證、歸納總結等一系列的活動，能充分調動學生手、眼、腦等多種感官地積極參與，使得學生的思維更具有主動性和創造性.

例如，在這一課教學中讓學生經歷種種探索過程后，對比區別、歸納整理，借助幾何直觀，探索完整的巧算規律，揭示巧算規律的本質和內在的屬性，一層層地深入，達到學生與知識的深度對話，從而建立模型，形成概念.

【教學片段截取】

重點討論：那么怎么樣的算式有這樣的巧算規律呢？怎么樣的算式沒有？為什么呢？

歸納總結：“十位數字相同，個位上的數字相加等于十”這樣的兩位數乘兩位數稱為“頭同尾合十”，它的巧算規律：頭乘（頭+1）的積作為積的前兩位；兩個乘數個位數相乘作為積的后兩位.

事實證明，在這樣的建模、破模再建模的過程中，讓學生深刻理解頭同尾合十算式的概念內涵，并借助幾何直觀，探索出計算頭同尾合十算式的巧算規律，即乘積=［頭×（頭+1）］×100+尾×尾，使得學生對這一巧算規律并不是簡單的機械記憶，而是有層次、有內在的理解.

3 反思——深度學習的多元教學評價

深度學習要求學習者在深層理解的基礎上能夠“融會貫通”并“活學活用”，在實踐中應用所學知識，實現問題解決.有效且有層次地鞏固練習評價有助于促進學生對知識點的理解和掌握，通過自我內化，能做一題、學一法、會一類、通一片，通過思維的升華，達到舉一反三，一通百通.

學生經歷這樣的教學后，明白了遇“數”不惑，要把抽象的知識具體化、形象化；尋“形”而導，借圖形掌握知識要領，真正促進學生的深度學習，培養學生的高階思維，提升學生的數學素養.這也正是21世紀全球教育面向未來的重要話題——“如何學習”.