初中幾何問題的解答探析

施燁

摘 要：初中幾何問題的解答中，圖形的旋轉(zhuǎn)是十分常見的，通過圖形的旋轉(zhuǎn)，不僅能夠使復(fù)雜圖形旋轉(zhuǎn)改變?yōu)橐子诶斫獾膱D形，而且還能使學(xué)生思考與解題的過程得到有效簡化，從而使幾何問題實現(xiàn)高效解答.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何問題；解答；圖形的旋轉(zhuǎn)

初中數(shù)學(xué)的新課標(biāo)中明確提出：學(xué)生能通過實物的形象聯(lián)想到幾何圖形，再從幾何圖形聯(lián)想到實物形狀，以實現(xiàn)幾何體與其本身的展開圖、三視圖的有效轉(zhuǎn)化；可以依據(jù)一定的條件畫出相應(yīng)的幾何圖形；從復(fù)雜圖形當(dāng)中分解得到基本圖形，且分析出其涉及的基本元素與關(guān)系；可以描述出幾何圖形的具體變化及其運(yùn)動軌跡；可以通過合適的方式呈現(xiàn)出物體之間存在的位置關(guān)系；可以通過圖形更直觀地說出幾何問題，并加以直觀思考.因此，初中數(shù)學(xué)的幾何問題解答過程中，教師需注重圖形的旋轉(zhuǎn)相關(guān)技巧的講解，以此使學(xué)生通過旋轉(zhuǎn)幾何圖形，實現(xiàn)解題過程的簡化，促進(jìn)解題正確率與效率的提高.

1 圖形的旋轉(zhuǎn)及其價值概述

1.1 圖形的旋轉(zhuǎn)概述

圖形的旋轉(zhuǎn)通常包含了三個方面：

第一，旋轉(zhuǎn)：主要指平面內(nèi)，把圖形按照某個定點(diǎn)順著一個方向、相同角度進(jìn)行轉(zhuǎn)動，圖形的這一運(yùn)動過程就被稱作為旋轉(zhuǎn).

第二，旋轉(zhuǎn)三要素：主要指旋轉(zhuǎn)的中心、旋轉(zhuǎn)的角度以及旋轉(zhuǎn)的方向.

第三，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)的過程中，會發(fā)生改變的通常是圖形的具體位置，而不會改變的則是圖形本身的大小、形狀及其對應(yīng)的線段與角度.

初中生在對幾何問題進(jìn)行解答時，通常無法對圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行有效運(yùn)用，鑒于此，數(shù)學(xué)教師就需立足于上述內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行幾何題解答，解題步驟為：（1） 找到被旋轉(zhuǎn)的圖形；（2） 找到旋轉(zhuǎn)圖形的具體旋轉(zhuǎn)中心、角度、方向，有些只是注重位置，通過位置則能推測得到旋轉(zhuǎn)的具體方向與角度；（3） 找到圖形旋轉(zhuǎn)之后得到的新圖形，對于不完整的圖形，則需對其實施補(bǔ)充；（4） 通過數(shù)學(xué)符號標(biāo)志出相應(yīng)的角與邊等相關(guān)等量關(guān)系；（5） 與圖形相結(jié)合，經(jīng)過“綜合法”“分析法”等，實現(xiàn)靜態(tài)化的幾何問題分析，以獲得相應(yīng)的結(jié)論.通過上述步驟，能更好地理解到上述的相關(guān)概念，且正確地理解到圖形的旋轉(zhuǎn)對于幾何問題的解答的重要性［1］.

1.2 圖形的旋轉(zhuǎn)運(yùn)用于幾何題解答的價值

第一，有助于學(xué)生從不同角度認(rèn)識到幾何圖形.立足于圖形的旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行幾何圖形認(rèn)識，通常能夠使學(xué)生從多個方向?qū)W習(xí)與掌握圖形具備的結(jié)構(gòu)特征及其性質(zhì).除此之外，通過圖形的旋轉(zhuǎn)，還能使學(xué)生學(xué)會從變化的角度思考問題，從而使學(xué)生的多元化思維形成獲得充足的空間.

第二，有助于學(xué)生探究幾何圖形具備的性質(zhì).幾何問題的解答教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生把幾何圖形旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)性質(zhì)作為出發(fā)點(diǎn)，對于圖形旋轉(zhuǎn)形成初步認(rèn)識，并將基礎(chǔ)性質(zhì)的變化當(dāng)做深層次認(rèn)識幾何圖形的方法.這種情況下，學(xué)生通過對圖形性質(zhì)的有效探索，既能深化對于圖形旋轉(zhuǎn)的理解，又能了解與掌握圖形具備的性質(zhì).如，圓不僅屬于軸對稱圖形，而且還屬于特殊化中心對稱的圖形［2］.因為其對稱性相對特殊，在具體教學(xué)時，就可以引導(dǎo)學(xué)生從軸對稱旋轉(zhuǎn)變化的方式對圓進(jìn)行認(rèn)識，并掌握到圓的性質(zhì).通過圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圓的有關(guān)內(nèi)容講解，既簡便、直觀，又能使學(xué)生將知識遷移至和圓有關(guān)的圖形當(dāng)中學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生更好地解決相關(guān)幾何問題.

第三，有助于學(xué)生形成相應(yīng)的推理能力.就幾何圖形來說，其具備形象、直觀的特征，學(xué)生經(jīng)過親自操作，立足于直觀感知，探究得到圖形具備的幾何性質(zhì)，以此使靜止圖形在學(xué)生的頭腦當(dāng)中真正旋轉(zhuǎn)起來，從而使學(xué)生形成相應(yīng)的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生自身的圖形觀察、直覺、探索、操作等各項能力，這對學(xué)生解答幾何問題有著顯著意義［3］.如，在對等腰三角形具備的性質(zhì)進(jìn)行探究時，可引導(dǎo)學(xué)生通過等腰三角形的模具制作，將其兩腰進(jìn)行折疊與重合，以促使學(xué)生了解到等腰三角形屬于軸對稱圖形，以此為前提，學(xué)生就能極其容易地了解到等腰三角形兩個底角是相等的，這既能讓學(xué)生得到相應(yīng)的結(jié)論，又能促進(jìn)學(xué)生自身的推理能力形成.

第四，有助于學(xué)生形成良好思維品質(zhì).初中數(shù)學(xué)的幾何圖形旋轉(zhuǎn)主要是對圖形處于變化、運(yùn)動中的不變量以及不變性當(dāng)中極其特殊的情況進(jìn)行研究，常規(guī)幾何的旋轉(zhuǎn)主要是從變化、運(yùn)動的角度對幾何圖形具備的性質(zhì)進(jìn)行探究，并通過圖形的旋轉(zhuǎn)，更形象且直觀地解決相關(guān)幾何問題，以此使學(xué)生形成靈活、敏捷的數(shù)學(xué)思維.

2 初中幾何問題解答中圖形旋轉(zhuǎn)的運(yùn)用策略

2.1 點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

例1 平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中，將原點(diǎn)當(dāng)做對稱中心，將A點(diǎn)（3，4）進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可得出B點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（）.

A. （4，-3） B. （-4，3） C. （-3，4） D. （-3，-4）

解析：依據(jù)題意畫出圖1，構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，就能證明△AOC≌△BOD，這就能得出OD=OC=3，BD=AC=4.所以，B點(diǎn)的坐標(biāo)是（-4，3）.

評析：本題主要是對旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)等相關(guān)知識進(jìn)行考查，對圖形的旋轉(zhuǎn)概念及其性質(zhì)進(jìn)行有效理解通常是得出三角形全等的重中之重，只有如此，才能更高效地求解出點(diǎn)B的坐標(biāo).

2.2 線段的旋轉(zhuǎn)

例2 如圖2所示，Rt△ABC的一條斜邊AB圍繞A點(diǎn)進(jìn)行順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得出線段AE，將直角邊圍繞A點(diǎn)進(jìn)行逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜90°）得出線段AF，將EF兩個點(diǎn)進(jìn)行連接.如果AB=3，AC=2，且存有α+β=∠B，可得到EF=______.

解析：依據(jù)旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)，能夠得出AE=AB=3，AC=AF=2，又由于∠B+∠BAC=90°，且條件給出α+β=∠B，由此可以得出∠BAC+α+β=90°，推導(dǎo)可得∠EAF=90°，在Rt△AEF當(dāng)中，通過三角形的勾股定理能夠得到EF=√（AE2+AF2）= √13.

評析：本題主要就是對“對應(yīng)點(diǎn)至旋轉(zhuǎn)中心之間的距離是相等的”的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及三角形的“勾股定理”相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行考查，通過對圖形旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)進(jìn)行靈活運(yùn)用，則能實現(xiàn)本題的有效解答［4］.

2.3 角的旋轉(zhuǎn)

例3 如圖3所示，已知∠AOB=60°，OM為∠AOB的平分線，在OM上存有一點(diǎn)C，把角度為120°的角頂點(diǎn)與C點(diǎn)進(jìn)行重合，其兩條邊分別和直線OA、OB相交于D、E兩點(diǎn).

（1） 將∠DCE圍繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至CD垂直于OA的時候，詳見圖3，請猜想得到OE+OD和線段OC存在的數(shù)量關(guān)系，并表述出具體理由；

（2） 將∠DCE圍繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至CD不垂直于OA的時候，詳見圖4，此時，（1）中的結(jié)論成立與否？請表述出具體理由；

（3） 將∠DCE圍繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至CD與OA反向延長線相交的時候，（1）（2）中的結(jié)論成立與否？請于圖5中畫出相應(yīng)的圖形，如果成立，請給出證明；如果不成立，則明確線段OD、OE和OC存有的數(shù)量關(guān)系，寫出猜想即可.

解析：（1） 依據(jù)題意∠AOB=60°，可知∠OCE=60°，通過三角函數(shù)中的特殊角，可以得到OD=（√3/2）OC，依據(jù)同理得到了OE=（√3/2）OC，由此可以得到OE+OD和線段OC存在的數(shù)量關(guān)系為OE+OD=（√3）OC.

（2） 依據(jù)圖4可知，經(jīng)過點(diǎn)C作出CF⊥OA相交于F點(diǎn)，CG⊥OB相交于G點(diǎn)，依據(jù)（1）中的方法進(jìn)行證明，可得出OF+OG=（√3）OC.

通過“ASA”可證明得到△CFD≌△CGE，推導(dǎo)可知DF=EG.此時，可以得出OE+OD=3OC，所以，（1） 中得到的結(jié)論仍舊成立.

（3） 依據(jù)圖5可畫出圖6，并得出（1）中的結(jié)論是不成立的，其結(jié)論是OE-OD=3OC.首先，過C點(diǎn)作出CF⊥OA相交于F點(diǎn)，CG⊥OB相交于G點(diǎn)，依據(jù)（1）證明的方法，可以得到OF+OG=3OC，通過“ASA”可證明得到△CFD≌△CGE，推導(dǎo)可知DF=EG.由此可推導(dǎo)得到OE-OD=OF+OG=3OC.

評析：本題主要就是對旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)、角平分線的定義與定理、全等三角形具備的性質(zhì)及其判斷、三角函數(shù)的特殊角等相關(guān)內(nèi)容實施考查，做出正確輔助線成為本題解答的重中之重［5］.

2.4 四邊形的旋轉(zhuǎn)

例4 如圖7所示，菱形ABCD的頂點(diǎn)A與D位于直線l上，∠BAD=60°，將A點(diǎn)當(dāng)做旋轉(zhuǎn)的中心，把整個菱形進(jìn)行順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°＜α＜30°），由此可得出菱形AB′C′D′，B′C′與對角線AC相交在M點(diǎn)上，C′D′與直線l相交在N點(diǎn)上，將MN連接起來.

（1） MN∥B′D′的時候，求取角α為多少？

（2） 如圖8所示，對角線B′D′和線段AC相交于H點(diǎn)，與直線L相交于G點(diǎn)，將C′B′延長與AB相交于E點(diǎn)，將E、H兩點(diǎn)進(jìn)行連接，當(dāng)△HEB′的周長是2的時候，求解出菱形ABCD的周長是多少？

解析：（1） 依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAB′=∠DAD′，依據(jù)菱形具備的性質(zhì)與∠BAD=60°，MN∥B′D′，依據(jù)“SAS”則能證明出△AB′M≌△AD′N，因此，∠B′AM=∠D′AN=∠BAB′=15°，即角α為15°.

（2） 依據(jù)旋轉(zhuǎn)以及菱形具備的性質(zhì)，可以得到∠BAB′=∠DND′，AB′=AD′，∠AB′E=∠AD′G，通過“SAS”則能證明出△AEB′≌△AGD′，由此可得：EB′=GD′，AE=AG，再通過“SAS”可證明得到△AHE≌△AHG，由此可知EH=GH，即B′D′=2，最終可得到菱形ABCD的周長是8.

評析：本題主要就是對旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)、菱形具備的性質(zhì)、等邊三角形的具體判定及其具備的性質(zhì)等各方面知識進(jìn)行考查，通過動靜結(jié)合的解題思想，找出全等三角形，以此得到菱形的一邊長度，從而得到本題的有效解答［6］.

2.5 三角形的旋轉(zhuǎn)

例5 Rt△ABC當(dāng)中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，把△ABC圍繞著C點(diǎn)進(jìn)行順時針旋轉(zhuǎn)，其旋轉(zhuǎn)角度是α，旋轉(zhuǎn)后得出的三角形為△DEC，A、B點(diǎn)對應(yīng)著的點(diǎn)為D、E.

（1） 圖9中，E點(diǎn)處于AC上的時候，求取∠ADE的度數(shù)為多少；

（2） 如果旋轉(zhuǎn)的角度α為60°，F(xiàn)點(diǎn)為AC邊的中點(diǎn)，如圖10中，請證明四邊形BEDF為平行四邊形.

解析：（1） 依據(jù)旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)，可以得出△DEC≌△ABC，由此可得到：CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，以及∠CAD=∠CDA=75°，又由于∠ABC=∠DEC=90°，經(jīng)過推導(dǎo)能夠得到∠ADE=15°.

（2） 依據(jù)∠ABC=90°，∠ACB=30°，且F點(diǎn)為線段AC的中點(diǎn)，此時可以得到AB=BF=AF=FC，再加上△DEC是△ABC圍繞著C點(diǎn)進(jìn)行α順時針旋轉(zhuǎn)所得到的，由此可得：∠BCE=∠ACD=60°，且CB=CE，DE=AB，推導(dǎo)得知ED=BF，又△CFD≌△ABC，DF=BC=EB，據(jù)此可證明BEDF為平行四邊形.

評析：本題主要是對旋轉(zhuǎn)具備的性質(zhì)、直角三角形具備的性質(zhì)、全等三角形具備的性質(zhì)以及判定平行四邊形等有關(guān)知識進(jìn)行考查，本題解答的關(guān)鍵就是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)理解與掌握.

3 結(jié)束語

綜上所述，通過圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行幾何問題解答，主要就是按照題設(shè)，做出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，并與特殊圖形以及幾何定理有效結(jié)合，獲得相應(yīng)的答案.圖形的旋轉(zhuǎn)屬于幾何問題有效解答中十分新穎的方法，有著顯著的特殊性與規(guī)律性，因此，數(shù)學(xué)教師在具體教學(xué)時，需注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)思想與內(nèi)容，并滲透適合的知識點(diǎn)，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)脈絡(luò)的有效構(gòu)建，并引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究掌握圖形旋轉(zhuǎn)的解題技巧與方法，這不僅可以使學(xué)生充分掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識，而且還能促進(jìn)學(xué)生自身的思維能力，從而使學(xué)生形成相應(yīng)的探究精神.

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