巧設數學變式 凸顯思維進階

江蘇省宜興市丁蜀高級中學 (214221) 吳湘蕓

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向,啟發學生思考,引導學生把握數學內容的本質.精心設計例題及變式,由表及里、由淺入深、由易到難,循序漸進.例題與習題是教材的重要組成部分,要準確把握習題的容量、難度.提供具有不同層次要求的習題,關注知識的發生過程,展示學生的思維過程,溝通知識內在聯系,促進知識遷移,形成知識網絡,幫助學生掌握知識,提高課堂效率,鍛煉學生思維.

一、變換條件,培養思維靈活性

題目看似不同,實則本質相同.把握知識類型,分析水平層次.可以更改條件的不同表述,轉換問題呈現形式,也可變換條件與結論,尋求不同之處.啟發學生比較異同點,復習各類知識點,挖掘深層含義,抓住問題實質,掌握每種題型的相關解法.

例1 (1)若關于x的不等式4x2+ax+4>0的解集是R,求實數a的取值范圍;

(2)對任意的實數x,若不等式4x2+ax+4≥0恒成立,求實數a的取值范圍;

(3)若函數y=4x2+ax+4的圖像都在x軸的上方,求實數a的取值范圍;

(4)若關于x的不等式ax2+4x+4>0的解集是φ,求實數a的取值范圍.

設計說明：二次函數有關的恒成立問題,也是二次函數對應的一元二次不等式恒成立的問題.如果二次項系數中含有參數,不要忘記對參數進行分類討論.解題中注意數形結合思想的合理運用.強化條件中字母的適用范圍,培養嚴謹思維.啟發引導學生分析異同點,能夠及時抓住問題的本質,培養思維的靈活性.

例2 (1)對?x∈R,若關于x的不等式mx2-mx+m-6<0恒成立,求實數m的取值范圍.

(2)對?m∈[-2,2],不等式mx2-mx+m-6<0恒成立,求實數x的取值范圍.

設計說明：第一問根據m=0與m≠0兩種情況分類討論,結合兩次函數圖象及性質求解;第二問將y=mx2-mx+m-6看成以m為自變量的函數,研究新函數在給定區間的端點處的函數值符號即可.本題在解決不等式恒成立問題時滲透函數思想,根據變量合理構造函數.不等式中變換主元,函數發生改變,既呼應例1中的恒成立問題,又體現了轉化與化歸思想.

二、設置階梯,培養思維深刻性

變換問題的思考角度,由淺入深、由易到難,層層鋪墊,在條件的難度進階中總結題型方法以及分析思路,幫助學生,感悟數學思想,積累思維經驗,逐步提高解題能力.

例3 (1)求函數f(x)=x2+2x+2的最小值.

(2)求函數f(x)=x2+2x+2(x>-2)最小值.

(3)求函數f(x)=x2+2x+2(x≥a)的最值.

(4)若函數f(x)=x2-2ax+2在[-1,1]上的最小值為-1,求實數a的值.

設計說明：第一、二小問中將二次函數配方畫圖,屬于基礎題,學生求解并不困難.第三問由定量改為變量,需要分類討論,考查定軸動區間,難度進階.第四問已知最值,求參數范圍,考查動軸定區間.問題不斷轉換,從初中的二次函數求最值進階為高中角度的分類求參數,讓學生自己真正理解為何分類、如何分類.例題涵蓋高中二次函數求最值的各類解法,通過層層設計讓學生注意到解題方法上的差異.

三、由點及面,培養思維發散性

一題多變,由一道題目復習多個知識點,尋找解題規律,將知識融會貫通.引導學生思維由淺顯引向縱深,獲得更高層次的認識.在變式的層層轉化下發現知識的共同性,解決一類問題從而解決多種問題,激發學生的學習熱情.

例4 如圖1所示,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓O上的點,Q是PA的中點,G為ΔAOC的重心,AB是圓O的直徑,且AB=2AC=2.

(1)求證:QG∥平面PBC;

(2)求點G到平面PAC的距離．

變式1 求點A到平面PAC的距離．

變式2 求點G到平面PBC的距離.

變式3 取AC中點M,求MQ到平面PAC的距離.

變式4求平面MQO到平面PAC的距離.

設計說明：本題考查線面平行的判定、平面與平面平行的判定與性質、點到平面距離的計算.第一問由線線平行推出線面平行.變式1利用“G為ΔAOC的重心”這一條件,發現距離的關系轉變,是第二小問的深化,可以直接作出距離,也可用等積法進行轉換.變式2就可用等體積法求解距離.變式3利用MQ∥平面PAC,發現線面之間的距離其實就是點到面的距離.同樣,變式4中,若能發現平面MQO∥平面PAC,那么就能將面面之間的距離也轉化為點面之間的距離了.通過不斷分解,持續探究,逐步遞進就再追溯本源,最后引導思維從發散走向收斂,促進學生主動獲取知識,對復習的知識有全面而深刻的認識.

四、判別對錯,培養思維嚴謹性

古人云:“疑為思之始,學之端.”在教學中鼓勵學生提出質疑,引導啟發學生獨立思考,找出解法中的錯誤,并剖析原因,改錯后給出正解,通過判斷對錯找出缺失,糾正錯誤思維,養成科學思考習慣的同時,讓學生在辨析中加深對知識的理解,向數學思維的更深處漫溯.

設計說明：例5中考查根據函數在區間內的零點個數求解參數的取值范圍.當零點不滿足所在區間左右端點值異號時,無法用零點存在性定理完成.方法一,首先要對字母a是否為0進行討論,當a不為0時,容易遺漏端點值同號的情況;方法二,將參量變量分離,x=0時單獨討論,x≠0時轉化為y=a與新函數在區間上只有一個交點.

五、自選條件,培養思維開闊性

特定設計的問題(非常規問題、開放性問題、結構不良問題),問題的條件或目標不確定,需要探究.要嘗試引導學生展示數學理解力,從不同角度思考條件之間的關系,體會各種方法的適用特點.對結論的有效性進行預估,滿足學生自主探索的欲望,拓展學生的數學視野.

條件①,選用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡得到角A的大小;也可利用射影定理bcosA+acosB=c,從而求出角A.

條件②,選用余弦定理得到角A的大小;

本題的三個條件分別考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式,穿插向量及三角函數求解取值范圍,但三個條件得到的結論相同,都是為了求出角A的大小.

六、自主編題,培養思維創造性

自主出題,打破常規,觸碰知識內核,建構知識的內在結構.在編題過程中凸顯邏輯思維,體現創造性、敏捷性、多項性.題目千變萬化,要讓學生真正理解知識,才能運用自如.平時可讓學生根據自己的能力水平自己設計不同類型、不同層次的練習,激活創新思維.

(1)求橢圓的方程;

(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上),垂直于l的直線與l交于點M,與y軸交于點H,O為坐標原點,若BF⊥HF,且∠MOA≥∠MAO,求直線l的斜率的取值范圍.

本題涉及向量數量積的坐標運算以及三角形中大角對大邊的運用,體現了“整體運算、數形結合”的思想方法,考察運算能力.

選擇題目時要關注情境和問題的創設,關注數學內容主線之間的關聯以及六個數學核心素養之間的協調.設置題目時要對知識點進行深度分析,對學生可能想到的問題充分預設,利用題目的改變促進學生的深度參與,逐漸培育學生的高階思維,以促進學生可持續發展和終身學習為價值旨歸.