例探圓錐曲線問題中的易錯(cuò)點(diǎn)

福建省長汀縣第一中學(xué) (366300) 孫微微

圓錐曲線是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容,主要重點(diǎn)考查圓錐曲線的幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.本文就針對(duì)圓錐曲線中的幾類易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行舉例分析.

易錯(cuò)點(diǎn)1:忽視圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程要焦點(diǎn)位置的討論

易錯(cuò)警示：雙曲線方程因焦點(diǎn)位置不同導(dǎo)致對(duì)應(yīng)的漸近線方程也不一樣,因此要討論焦點(diǎn)的位置.

易錯(cuò)點(diǎn)2:忽視橢圓中a、b、c的大小關(guān)系

A．m≥4 B．0

C．4≤m<9 D．m≥4且m≠9

易錯(cuò)點(diǎn)3:忽視檢驗(yàn)結(jié)論

例3 已知Rt△ABC的斜邊為AB,點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),則點(diǎn)C滿足的方程為________．

解析：設(shè)C(x,y),由于直角三角形斜邊上的中點(diǎn)為M(1,0),如圖1所示,則半徑為3,即得圓的方程為(x-1)2+y2=9.但是頂點(diǎn)C不能在直線AB上,因此y≠0.因此C點(diǎn)滿足的方程為(x-1)2+y2=9(y≠0)．

圖1

易錯(cuò)警示：忽視檢驗(yàn)結(jié)論致錯(cuò).點(diǎn)C是直角三角形的頂點(diǎn),即C點(diǎn)不能在直線AB上,所以y≠0．

知識(shí)點(diǎn)撥：畫圖,通過數(shù)形結(jié)合找到解題方法及限制條件.

易錯(cuò)點(diǎn)4:忽視隱含條件.

例4 已知2x2+y2=6x,則x2+y2的取值范圍為________．

解析：由已知得y2=6x-2x2,因y2=6x-2x2≥0,故0≤x≤3,故x2+y2=-x2+6x=-(x-3)2+9.當(dāng)x=0時(shí),x2+y2有最小值為0;當(dāng)x=3時(shí),x2+y2有最大值9,故x2+y2的取值范圍是[0,9].

易錯(cuò)警示:題中條件包含兩個(gè)意思:一是y2=6x-2x2,即y2可以用x的代數(shù)式表示,二是y2=6x-2x2≥0,即0≤x≤3,這個(gè)條件往往被忽略,產(chǎn)生錯(cuò)解.

知識(shí)點(diǎn)撥：利用函數(shù)與方程的思想是解決本題的突破口.

易錯(cuò)點(diǎn)5:忽視Δ>0這一前提條件

易錯(cuò)警示：在解決直線與圓錐曲線相交且有交點(diǎn)時(shí),需考慮一元二次方程根的判別式大于0,否則容易出錯(cuò).

知識(shí)點(diǎn)撥：運(yùn)用“一元二次方程根的判別式”是判斷直線與圓錐曲線是否有交點(diǎn)的重要方法.