探求雙曲線問題中三角形面積問題

江蘇省溧陽中學 (213300) 韓 俊

關于雙曲線問題的解答題在近幾年的高考中不斷出現,也引起了老師和應試學生們的重視,其中的求相關的三角形面積非常有特點,本文通過對幾個典型題目的分析探求,介紹常見的解題方法,希望能給同仁一些幫助.

一、活用雙曲線的定義

例1 已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.

點評：由于待求的三角形面積是焦點三角形,又P為雙曲線上一點,所以雙曲線的定義是一個重要的隱含條件,抓住它就能順利求出|PF1||PF2|,進而可求三角形的面積.

點評：由于A、B兩點都在雙曲線上,通過及時的運用雙曲線的定義,挖出了此三角形為等腰三角形的隱含信息,這是簡化三角形面積求解的重要一環.

二、挖掘三角形的特點

例3 已知F1,F2分別是雙曲線C:y2-x2=1的上、下焦點,P是其一條漸近線上的一點,且以F1F2為直徑的圓經過點P,求△F1PF2的面積.

點評：此三角形有一個重要特點,就是可以已知線段|F1F2|為底,然后再設法求出三角形的高,就是求點P的橫坐標的絕對值.

點評：本解法通過復雜的運算,找出了MN⊥x軸的重要信息,因此,四邊形ANBM的面積就轉化為兩個容易解決的三角形的面積,是整個解題的核心所在.

三、靈活的運用三角形的面積公式

點評：在本解法中,如何正確表示△AOB的面積很重要,必須注意對兩種情形的分類討論,由于兩個式子可以合并為同一個式子,這樣就簡化了解題過程.

雙曲線問題與橢圓、拋物線問題相比可能復雜一些,但解題方法和解題措施是一致的,從求其中的三角形面積問題來看,其問題的核心仍然是如何抓住所給條件,靈活建立三角形的面積的關系式,如何簡化解題是考慮重點,也是成功解題的關鍵.