基于直覺模糊n-cell 數的多屬性決策方法及應用

詹皓中，葉國菊，劉尉*，趙大方

（1.河海大學理學院,江蘇 南京 210098；2.湖北師范大學數學與統計學院,湖北 黃石 435002）

1972 年，Chang等[1]參考概率函數的性質，提出了模糊數的概念。此后，模糊數的相關理論和應用得到了廣泛的研究[2-4]。由于模糊數僅用隸屬函數同時表示模糊性、模糊概念或模糊現象的兩個對立面（或狀態），無法表示中立狀態，給解決復雜的實際管理決策問題帶來了困難和挑戰。為了能夠更靈活、全面地描述客觀現象的自然屬性，1986 年保加利亞學者Atananssov[5]提出了直覺模糊集的概念，在隸屬度函數的基礎上引入非隸屬度函數，可以同時表示模糊概念中支持、反對和中立3 種狀態。關于直覺模糊集，許多學者進行了大量的研究[6-14]。然而，關于高維直覺模糊數還缺乏系統的理論研究。Xu等[15]把多個直覺模糊數的笛卡爾積定義為直覺模糊向量，但并沒有明確給出直覺模糊向量的隸屬度和非隸屬度函數，因此對直覺模糊向量的直接研究相對困難。Liu等[6]在2022 年引入了直覺模糊n-cell 數。直覺模糊n-cell 數擁有明確的隸屬度函數和非隸屬度函數，因此可以像研究直覺模糊數一樣，討論它的加法、標量積和乘法，以及可微性、可測性和可導性等運算性質。這使得直覺模糊n-cell 數相較于直覺模糊數，在處理高維不確定性數據時，無論是在實際應用中還是理論研究中都更加方便。

因此，本文進一步討論了直覺模糊n-cell 數的排序問題。本文定義了與直覺模糊n-cell 數的偏序與弱序，并對不同序之間的性質進行了比較，提出了一種基于直覺模糊n-cell 數的決策方法，體現了直覺模糊n-cell 數在多屬性決策應用方面的便利性和有效性。

1 理論基礎

設u滿足：Rn→I=[0,1]，則稱u是Rn上的一個模糊集。任取r∈[0,1]，記 [u]r為模糊集u的r-截集，其中[u]r={x∈Rn:u(x)≥r}。

定義1[7]如果模糊集u滿 足如下4 個性質：

1）是一個正規模糊集，即?x∈Rn,使得u(x0)=1；

2）是一個凸模糊集，即對?x,y∈Rn,t∈[0,1]均有

3）u(x)是上半連續函數；

4）u的支集suppu的閉包[u]0，即是緊的，

則稱u是一個n維模糊數，我們將全體n維模糊數的集合記作En。

定義3[6]設u(x)=(μ(x),ν(x))∈En,x∈Rn，μ和ν分別為u的隸屬度函數和非隸屬度函數，如果u滿足如下條件：

則稱u是一個直覺模糊n-cell 數，全體直覺模糊ncell 數構成的集合記作IL(En)。

對于一個直覺模糊n-cell 數，記π(x)=1-μ(x)-ν(x)為其猶豫度函數。特別地，當π(x)=0 時，u為ncell 數。

基于文獻[8]，給出三角直覺模糊數的簡易表示法。

定義4[8-9]設是實數集R上一種直覺模糊集，其隸屬度函數與非隸屬度函數分別為

2 主要結果

2.1 直覺模糊n-cell 數的偏序

如果滿足：

則稱u(在序≤ 下)小于v。

則有：

1）u≤u（自反性）；

2）如果u≤v，v≤w，則u≤w（傳遞性）；

3）如果u≤v，v≤u，則u=v（反對稱性）。

注1雖然序“ ≤”滿足自反性、傳遞性和反對稱性，但并非任意的兩個直覺模糊n-cell 數都可以通過該序比較大小，因此，該序是一個偏序。

2.2 直覺模糊n-cell 數的弱序

為隸屬度函數μ 的均值和離散度；

為非隸屬度函數ν 的均值和離散度。

對任意給定的λ ∈[0,1],分別記

為直覺模糊n-cell數u的均值和離散度。

定義7設p=(p1,p2,···,pn)∈R 滿足pi≥0(i=1,2,···,n)以及,對任意的u,v∈IL(En),對任意的λ ∈[0,1],定義IL(En)上的一個二元關系，即IL(En)×IL(En)上的一個子集“ ?λ”如下：

如果(u,v)∈?λ,則稱u（關于序 ?λ）小于v,并記為u?λv。特別的，當λ=1時，將 ?λ簡記為?。

性質2設p=(p1,p2,···,pn)∈R 滿足pi≥0（i=1,2,···,n）以及則有：

1）對?u∈IL(En),u?λu（自反性）；

2）對?u,v,w∈IL(En),如果u?λv且v?λw,則u?λw（傳遞性）；

3）?u,v∈IL(En)，u?λv和v?λu至少有一個成立（完全性）。

證明1）和3）的結論顯然，下面證明結論2）。因為u?λv且v?λw，所以M(u)≤M(v)，M(v)≤M(w)，所以M(u)≤M(w)，這意味著u?λw。證明結束。

例1設u,v∈IL(E1),u=＜(3,4,5);0.6,0.4＞，v=＜(2,4,6);0.6,0.4＞。由定義4 易得，對任意給定的λ ∈[0,1],

由定義7知u?λv,v?λu,然而u≠v。

注2序?λ滿足自反性、傳遞性和完全性，但不滿足反對稱性。此外，該序是IL(En)上的一個弱序，有很多不相等的直覺模糊n-cell 數不能通過該序進行排序（如例1）。為了改進序 ?λ，引進一個新的二元關系“ ?λ”。

如果(u,v)∈?λ,則稱u（關于序 ?λ）小于v,并記為u?λv。特別的，當λ=1時，將 ?λ簡記為?。

3）?λ是自反的、傳遞的、完全的，但不是反對稱的。

最后證明結論3）。對?u∈IL(En),M(u)=M(u),D(u)≤D(u),所以u?λu,所以序 ?λ是自反的。對任意的u,v∈IL(En),如果M(u)=M(v),則D(u)≤D(v),D(v)≤D(u)中至少有一個成立，所以u?λv和v?λu中也至少有一個成立；如果M(u)≠M(v),則M(u)＜M(v),M(v)＜M(u)中至少有一個成立，所以u?λv和v?λu中也至少有一個成立。綜上，序 ?λ具有完全性。設u,v,w∈IL(En),如果u?λv,v?λu,則下面兩個結論同時成立：

①或者M(u)＜M(v)，或者M(u)=M(v)且D(v)≤D(u),

②或者M(v)＜M(w)，或者M(v)=M(w)且D(w)≤D(v)。

如果M(u)＜M(v),M(v)＜M(w),則M(u)≤M(w),則u?λw;

如果M(u)＜M(v),M(v)=M(w)且D(w)≤D(v),則M(u)＜M(w),則u?λw;

如果M(u)=M(v)且D(v)≤D(u),M(v)＜M(w),則M(u)＜M(w),則u?λw;

如果M(u)=M(v)且D(v)≤D(u),M(v)=M(w)且D(w)≤D(v),則M(u)=M(w)且D(w)≤D(u),則u?λw。綜上，序 ?λ具有傳遞性。設u,v∈IL(En),u?λv與v?λu同時成立，則顯然M(u)=M(v)且D(u)=D(v),但這無法保證u=v（如例2 所示），因此序 ?λ不具有反對稱性。證明結束。

注3與序 ?λ相比，序 ?λ可不僅參考了直覺模糊n-cell 數的均值，還參考了直覺模糊n-cell 數的離散度進行排序，提高了序的適用范圍。

然而，由于序 ?λ不能靈活地調整直覺模糊ncell 數的均值和離散度在排序中的重要程度，在某些情況下得到的排序結果不契合實際需要（例如，只考慮直覺模糊n-cell 數的離散度進行排序），我們引進一種適用范圍更廣的序。

如果(u,v)∈≤λ,a,則稱u比v（關于≤λ,a）小或v比u（關于≤λ,a）大，并記為u≤λ,a v,特別的，當n=1 時，將“≤λ,a”簡記為“ ≤a”。

1）對?u∈IL(En),u≤λ,a u（自反性）；

2）對?u,v,w∈IL(En),如果u≤λ,a v且v≤λ,a w,則u≤λ,a w（傳遞性）；

3）對?u,v∈IL(En),u≤λ,a v和v≤λ,a u至少有一個成立（完全性）。

證明結論1）和3）顯然成立，下證結論2）。設u,v,w∈IL(En)滿足u≤λ,a v,v≤λ,a w。則有

所以u≤λ,a w。證明結束。

2.3 序的性質比較

本文主要定義了3 種直覺模糊n-cell 數的序，分別為偏序“ ≤”和弱序“ ?λ”“≤λ,a”（序“ ?λ”是序“≤λ,a”的特殊形式，性質相同）。3 種序都滿足自反性、傳遞性和完全性，但只有偏序“ ≤”滿足反對稱性，序“ ?λ”“≤λ,a”并不滿足。因此可以認為，通過序“ ≤”進行的排序是一種“強排序”，對進行比較的直覺模糊n-cell 數的要求更高，得到的結果也更絕對。相對地，通過序“ ?λ”“≤λ,a”進行的排序是一種“弱排序”，對作比較的直覺模糊n-cell 數的要求較低，其中，適用情形最廣的是序“≤λ,a”。

此外，如果兩個直覺模糊n-cell 數直覺具有強序，那么一定具有弱序，即強序可以推導出弱序。反之，如果由序A 可以推導出序B，則序A 相較序B 具有更強的排序能力。定理1 和定理2 比較了不同序的“強弱”。

證明結論1）和2）顯然，下面證明結論3）。設u≤v,u≠v。由u≤v知，對于任意的 α,β ∈[0,1]以及i=1,2,···,n,均有

使用反證法，如果M(u)＞M(v)與D(v)＞D(u)同時成立，則必有

與假設矛盾，所以結論2）證明結束。

所以u≤λ,av,結論3）證明結束。

3 應用

假設某軟件公司要招聘一位系統管理者。經過初步篩選后，需要對3 位候選人即方案x1,x2,x3進行面試和最終競聘。該公司擬定如下5 個考核指標即屬性：情緒穩定性（o1）、口頭交流能力（o2）、個性（o3）、工作經驗(o4)、自信（o5）。表1 列出了對3 位候選人每個屬性的評價值，參考文獻[10]，用三角直覺模糊數表示。

表1 各候選人關于各屬性的評價值Tab.1 Evaluation of each attribute by each candidate

由于每個考核指標都涉及評價者的主觀因素，用直覺模糊5-cell 數描述候選人的綜合素質是合適的。首先，用偏序“ ?λ”來對候選人進行排序。設p=(p1,p2,···pn)∈Rn滿足pi≥0（i=1,2,···,n）以及時，用直覺模糊n-cell數u1,u2,u3經分別表示候選人x1,x2,x3的綜合素質。經計算，u1,u2,u3的均值分別為

更一般地，對于任意的λ ∈[0,1],

考慮到決策者的主觀決策偏好，接下來采用序“ ≤λ,a”分3 種情況對3 位候選人的綜合素質進行排序，設a=(a1,a2)∈R2滿足a1,a2≥0且a1+a2=1。

1）保守型a1=0.3,a2=0.7;

2）一般型a1=0.5,a2=0.5;

3）積極型a1=0.7,a2=0.3。

可以看出，通過序“ ≤λ,a”得到的排序方法適用范圍更廣泛（文獻[10]的結果是本方法的一種特殊情況）。

4 結論

由于直覺模糊n-cell 數擁有明確的隸屬度函數和非隸屬度函數，可以像研究直覺模糊數一樣，研究各種運算及其性質，直覺模糊n-cell 數在解決多屬性決策問題時，有著計算方便、方法簡單等優點。本文在已有研究的基礎上，定義了與直覺模糊n-cell 數截集相關的偏序，與均值、離散度相關的弱序，并對所提出的“序”的性質進行分析和比較。接著在直覺模糊n-cell 數的理論體系下，針對權重已知的直覺模糊多屬性決策問題，本文提出一種基于直覺模糊n-cell 數均值和離散度的排序方法，該法不僅能對方案（評價對象）給出較客觀的評價結果，而且還可以根據實際需求，靈活調整評價策略。