中國古代數學的圖騰:趙爽弦圖(續)

張維忠 唐慧榮 (浙江師范大學教育學院 321004)

2.4 數學中考試題中的“趙爽弦圖”

由于“趙爽弦圖”中蘊藏著豐富的中國傳統數學文化,近些年來,它已成為各地數學中考題的熱門題材．下面,我們再來看看數學中考試題中有哪些關于“趙爽弦圖”的內容．

圖11

圖12

(3)(2021·貴陽)(a)閱讀理解:我國是最早了解勾股定理的國家之一,它被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中．漢代數學家趙爽為了證明勾股定理,創制了一幅如圖13所示的“弦圖”,后人稱之為“趙爽弦圖”．根據“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程．

圖13 圖14 圖15

(b)問題解決:勾股定理的證明方法有很多,如圖14是古代的一種證明方法:過正方形ACDE的中心O,作FG⊥HP,將它分成4份,所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC=12,BC=5,求EF的值．

(c)拓展探究:如圖15,以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形,再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,重復這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設大正方形N的邊長為定值n,小正方形A,B,C,D的邊長分別為a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α,當角α(0°<α<90°)變化時,探究b與c的關系式,并寫出該關系式及解答過程(b與c的關系式用含n的式子表示)．

圖16

圖17 圖18

這些中考題注重知識的產生和應用,體現了對數學素養的重視．“趙爽弦圖”在中考中的應用,還會被深入地挖掘[4]．

通過對“趙爽弦圖與勾股定理”的探究,可以發現中國古代數學是非常注重實用的一門科學．

3 勾股定理的古代及現代應用

3.1 勾股定理的古代應用

在四大文明古國的歷史中,勾股定理的應用不勝枚舉．在古埃及,人們在建造宏偉壯觀的金字塔時用到了勾股定理,金字塔底部四角都是嚴格的直角;在古巴比倫,后人找到了一塊編號為“普林頓322”的泥板(圖19),上面記載了很多勾股數;在古印度,人們用它來建造祭壇(圖20);在我國古代,利用勾股定理更是有大量實例,如數學名著《九章算術》和其他數學著作中就記載了大量勾股定理應用于實際生產和生活中的案例．

圖19 “普林頓322”泥板 圖20 祭壇

(1)應用勾股求長度

如著名的“引葭赴岸”問題(圖21):今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊．問水深、葭長各幾何?

圖21 引葭赴岸 圖22 圖23

譯文:有一個邊長為10尺的正方形水池,正中央長有一棵蘆葦,高出水面1尺,把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊,蘆葦頂部剛好碰到岸邊．問水多深?蘆葦多高?(注:尺、丈均為舊制長度單位,1丈=10尺)

解 如圖22,設水深AC為x尺,蘆葦AD(=AB)的長為(x+1)尺,可列方程x2+52=(x+1)2,解得x=12,即水深12尺,蘆葦長13尺．

還有“折竹抵地”問題(圖23):“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”

譯文:一根竹子高一丈,折斷后竹子的頂端落在了距離竹子底端3尺的位置,折斷處距離地面的高度是多少?(注:1丈=10尺)

(2)勾股應用于行程問題

“行程問題”:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三．乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會．問甲乙行各幾何?”

譯文:甲、乙兩人同時從同一地點出發,甲的速度為7,乙的速度為3,乙一直向東走,甲先向南走十步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙分別走了多少?

(注:“步”為舊制長度單位,一步等于五尺．不同的朝代,“步”的長度不一樣．)

解 如圖24,設經過x秒,甲乙在B處相遇,這時乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x．因為AC=10,所以BC=7x-10．又因為∠A=90°,根據勾股定理,可列方程(7x-10)2= 102+(3x)2,解得x=3.5,則甲的路程是7×3.5=24.5(步),乙的路程是3×3.5=10.5(步)．

圖24

除了以上兩個例子,《九章算術》中還提到了非常多的相關應用．另外,李冶的《測圓海鏡》有一著名的“圓城圖式”(圖25);劉徽在《海島算經》中用到勾股定理進行山高或谷深的計算(圖26)．

圖25 “圓城圖式” 圖26 山高計算

不難看出,古時候人們已經能夠廣泛地運用勾股定理解決與直角相關的問題．

3.2 勾股定理的現代應用

隨著人們對世界的探索,在現代,勾股定理廣泛地應用于不同的學科中．如圖27,物理學中的合力計算涉及到了勾股定理;在地理學中,結合當地冬至日的正午太陽高度,利用勾股定理來計算樓距是常見的方法(圖28)[5]．

圖27 圖28

勾股定理在生活和生產中更是隨處可見．房子驗收時需要檢測墻角是否為直角(圖29),常見的辦法是分別測量墻邊的兩條邊長和一條對角線,看這三邊是否滿足勾股定理即可;工廠生產帶直角的零件時,一般是以直角尺(圖30)為基準,但對于一些較大尺寸的零件來說,使用這么小的直角尺會產生較大的誤差,這時便可以用勾股定理確定直角的方法彌補工具的不足;在直角樓梯上鋪設地毯時,可以利用勾股定理進行地毯長度的計算(圖31);三角屋頂是我國常見的屋頂構造之一(圖32),此類屋頂的設計與勾股定理息息相關;太陽能熱水器的集熱效率與太陽光照時長有直接關系,可利用勾股定理計算太陽能熱水器安裝角度(圖33),得到更多的日照．

圖29 圖30

圖31 圖32

圖33

3.3 大千世界與勾股定理

大自然的奇妙逃不過數學家的眼睛,大千世界里的許多現象都涉及到了勾股定理．下面我們以“聰明的葛藤”和“臺風的勢力”為例找一找勾股定理的影子．

葛藤是一種聰明的植物(圖34),為了獲得更多的陽光和雨露,葛藤常常以高大的樹木為依托,纏繞其樹干盤旋而上．它總是沿著最短路徑——螺旋線繞樹干攀升．若將樹干的側面展開成一個平面(圖35),可清楚地看出葛藤在這個平面上是沿著直線向上生長的．

圖34 葛藤 圖35

如圖36,假如樹的橫截面周長是30 cm,葛藤繞一圈便升高40 cm,則它繞樹爬行一圈的最短路程是多少?(將樹視為圓柱體)

圖36 圖37

將樹干側面展開,如圖37,可知爬行一圈的最短路程是AB′的長度．利用勾股定理,可列AB2+BB′2=AB′2,即302+402=2 500,因此AB′=50 cm,即它繞樹爬行一圈的最短路程是50 cm．

如果該葛藤繞樹干爬行5圈就到達樹頂,則藤蔓長多少?

方法1 已知AB′=50 cm,從圖38可知,藤蔓的總長為5×50=250 cm．

圖38 圖39

方法2 如圖39,將完整的路徑展開,可知AF′為藤蔓總長,即1502+2002=6 250,所以AF′=250 cm．

數學真是無處不在!除了植物的生長,大千世界中的其他現象與勾股定理還有什么聯系呢?

在夏秋季節,每年都會有多個臺風來影響我國,為了降低臺風帶來的不利影響,氣象學家會進行臺風移動路徑和影響范圍的預測．在預測時,光有氣象學知識是不夠的,還要結合數學知識才能進行相關的計算．

例如,據氣象觀測,沿海城市A的正南方向220 km的B處有一臺風中心正在以15 km/h的速度沿北偏東30°方向移動,且中心風力不變,離臺風中心160 km范圍內都會受到臺風影響,A市是否會受到臺風影響?請說明理由;若會受到影響,則影響的時間多長?

解 如圖40,設臺風沿BF方向移動,過點A作AC⊥BF于點C．在Rt△ABC中,由AB=220 km,∠B=30°,得AC=110 km．因為離臺風中心160 km范圍內都會受到臺風影響,所以A市會受到臺風影響．

圖40

一直以來,勾股定理以簡單的形式和深刻的內涵與大千世界緊密相連,為人類解讀大自然的語言提供了重要橋梁．“趙爽弦圖”是我國古代數學的驕傲,它存在的歷史意義值得我們回味．我們從古人的智慧談起,借助“趙爽弦圖”了解了勾股定理．從長遠的歷史來看,這些數學定理的產生和發展蘊含著一代又一代數學家們的辛勤付出．

(續完)