數(shù)學(xué)課程中的控制與調(diào)節(jié)

樓思遠(yuǎn) (浙江省杭州第十四中學(xué) 310006)

教學(xué)過程是完成數(shù)學(xué)教育任務(wù)的主要途徑,而對各種結(jié)構(gòu)形式的控制與調(diào)節(jié)是有效提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,通過合理的優(yōu)化組合,選用適宜的教學(xué)方法,適時(shí)采取控制與調(diào)節(jié)手段,能使數(shù)學(xué)教育在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)方面得到顯著的成效.要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn),就必須厘清教材結(jié)構(gòu)、知識結(jié)構(gòu)、教學(xué)結(jié)構(gòu)這三者與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系問題.

知識是人們對客觀事物的特征、屬性以及聯(lián)系的反映,是人類經(jīng)驗(yàn)、思想、智慧賴以存在的形式.人類在歷史長河中積累了大量的知識,后人就是在充分繼承前人知識的基礎(chǔ)上不斷探索、不斷前進(jìn)的.不論人們掌握何種知識,從心理活動來講,都是通過對新信息進(jìn)行內(nèi)部加工,獲得表象和意義,從而形成或重組知識系列結(jié)構(gòu).要讓人類已有的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生個(gè)體知識,必須以教材結(jié)構(gòu)為主線、以教學(xué)結(jié)構(gòu)為媒介,使知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu),這是數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的必然規(guī)律.學(xué)生的個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由一定的概念判斷和推理所組成的思維模式,由于學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)概念、判斷和推理的基礎(chǔ)程度有所不同,認(rèn)知水平也就有不同的層次,因此必須采取合理的教學(xué)模式．而教學(xué)的方式和手段是由教材的內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)決定的,教師不是教教材,而是用教材教(教思維方式),學(xué)生不是學(xué)教材,而是用教材學(xué)(學(xué)思維方法),也就是說學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織是在教學(xué)活動結(jié)構(gòu)中的重組．因此只有把教材結(jié)構(gòu)、知識結(jié)構(gòu)、教學(xué)結(jié)構(gòu)這三者與認(rèn)知結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合起來,并有效地進(jìn)行控制與調(diào)節(jié),才能將教材的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu),從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)水平的提高.

1 在教材結(jié)構(gòu)上,整體控制、局部調(diào)節(jié)

數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)體系按一定的邏輯順序排列,要用這些知識結(jié)構(gòu)去構(gòu)建學(xué)生的思想和認(rèn)知結(jié)構(gòu),不僅要考慮知識的邏輯順序,還需考慮學(xué)生的心理發(fā)展順序.因此,需要進(jìn)行創(chuàng)造性的再建構(gòu),通過整體點(diǎn)化,里外貫通,把知識的整體與部分組織成綱目清晰、主次分明的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),做到整體控制與局部調(diào)節(jié)相結(jié)合,使之伸張自如,從而有效地完成數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù),達(dá)到教育目標(biāo).

整體控制包括兩方面:一是居高臨下地把握教材的整體結(jié)構(gòu),抓住知識的“綱領(lǐng)”;二是提煉出教材知識結(jié)構(gòu)體系中能發(fā)展學(xué)生思維、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行有效的設(shè)計(jì),從而精準(zhǔn)把握教學(xué)內(nèi)容的量.局部調(diào)節(jié)也包括兩方面:一是注意教材前后邏輯上的自洽,學(xué)后面的知識時(shí)必須有前面應(yīng)該有的認(rèn)知結(jié)構(gòu);二是對教材的結(jié)構(gòu)進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造,通過合理調(diào)節(jié),使之符合學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

整體控制與局部調(diào)節(jié)主要體現(xiàn)在備課中.在講課前教師如不能準(zhǔn)確把握整個(gè)知識結(jié)構(gòu),就如同建造大樓卻不知道這幢大樓的總體設(shè)計(jì);同時(shí),若不掌握用料的先后順序,那么構(gòu)建大廈將成為紙上談兵.因此教師既要從教材整體上予以合理的控制,又要在編排設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)對教材內(nèi)容適時(shí)加以調(diào)節(jié),這樣才能收到事半功倍的效果.如函數(shù)的概念與性質(zhì)這一章節(jié)的教學(xué),可從以下方面去適時(shí)調(diào)節(jié)并實(shí)施于教學(xué)過程:

(1)重視章引言的教學(xué).章引言介紹了本章的主背景,是核心內(nèi)容的原型,也是整章知識的生長點(diǎn),教師應(yīng)結(jié)合一些生活中的實(shí)例,讓學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)整體的了解,引發(fā)學(xué)生思考并激發(fā)他們探索新知的欲望.

(2)以學(xué)生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)為載體,以圖象為立足點(diǎn),研究函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性,然后上升到對一般函數(shù)的這些性質(zhì)的代數(shù)刻畫.

(3)反過來,又利用代數(shù)刻畫對一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行重構(gòu),在此基礎(chǔ)上,利用函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)與方程的問題.

(4)通過對上述研究方法的強(qiáng)化與同構(gòu),為后續(xù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)研究作好鋪墊,進(jìn)一步加深對函數(shù)性質(zhì)及其研究方式的理解.

學(xué)生掌握了教材的基本結(jié)構(gòu),就能在此基礎(chǔ)之上形成大量的正遷移.這種遷移是指現(xiàn)學(xué)的知識對以后學(xué)習(xí)產(chǎn)生的積極影響,是學(xué)生認(rèn)識結(jié)構(gòu)穩(wěn)步發(fā)展的必要條件,可以為學(xué)生終生學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).因此,在控制教材整體結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,對部分教材結(jié)構(gòu)進(jìn)行適時(shí)的調(diào)節(jié),不但能夠突破重點(diǎn)、滲透數(shù)學(xué)思想和方法,更重要的是使學(xué)生形成良好的批判思維品質(zhì).

2 在知識結(jié)構(gòu)上,深度控制、廣度調(diào)節(jié)

這里所謂的知識結(jié)構(gòu)是指教師對教材知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行加工、創(chuàng)造之后形成的知識結(jié)構(gòu),教師恰當(dāng)?shù)靥幚碇R結(jié)構(gòu)內(nèi)部的深度和廣度是拓寬學(xué)生思維、開闊知識視野、增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣、堅(jiān)定學(xué)習(xí)信念的重要條件.對有些知識內(nèi)容如不挖掘到一定的深度,學(xué)生就不能形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)知結(jié)構(gòu),嘗不到知識清泉的甘甜,更不能培養(yǎng)克服困難的堅(jiān)強(qiáng)意志;對部分知識結(jié)構(gòu)如不拓展到一定的廣度,學(xué)生就不能感悟到數(shù)學(xué)思想和眼光,達(dá)不到更上一層樓的廣闊意境,更不可能激發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

在深度控制上,要以教學(xué)大綱為標(biāo)準(zhǔn),緊緊圍繞知識結(jié)構(gòu)內(nèi)在的必然聯(lián)系來制定教學(xué)目標(biāo),使數(shù)學(xué)發(fā)揮其應(yīng)有的育人功能,以培養(yǎng)和提升學(xué)生的探索能力和創(chuàng)造精神,但切不可盲目追求深度,否則會打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)信心、禁錮學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展.

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)一般可分為三個(gè)層次:(1)數(shù)學(xué)問題中的常規(guī)解題方法與技巧,是第一層次;(2)數(shù)學(xué)問題中的思路分析及思想歸納,是第二層次;(3)數(shù)學(xué)問題背后的數(shù)學(xué)眼光與數(shù)學(xué)意識,是第三層次.

如在學(xué)習(xí)二倍角公式以后,可以引“深”出三倍角的相關(guān)內(nèi)容,并配備以下練習(xí):

(1)證明:sin 3θ=3sinθ-4sin3θ,cos 3θ= 4cos3θ-3cosθ.

(2)試求sin 18°的值.

(3)已知f(x)=3x-4x3,x∈[-1,1],試求f(x)的值域.

以上練習(xí)層層推進(jìn),先從基本公式入手,引導(dǎo)學(xué)生掌握常規(guī)解題技巧,然后根據(jù)化歸的思想方法,通過三倍角這一橋梁揭示多項(xiàng)式與三角函數(shù)之間的深刻聯(lián)系,最后借助由不等式“外殼”包裝的證明難題,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的習(xí)慣,提升透過現(xiàn)象看本質(zhì)的思維意識,幫助學(xué)生理解“萬變不離其宗”的辯證哲理.

在廣度調(diào)節(jié)上,要緊密結(jié)合知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展趨勢,根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來拓寬知識的廣度,以培養(yǎng)學(xué)生的總體認(rèn)知結(jié)構(gòu)意識.如在學(xué)習(xí)了橢圓的第三定義之后,適時(shí)提出一些問題:

(1)回顧前面所學(xué)的圓的內(nèi)容,是否有類似的性質(zhì)或結(jié)論(斜率之積為定值)?

(2)類比圓的性質(zhì),若將第三定義中橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)改為橢圓上任意兩點(diǎn)(兩點(diǎn)的連線仍通過原點(diǎn)(中心)),那么橢圓上任意一點(diǎn)和這兩點(diǎn)連線的斜率乘積是否仍然為定值?

(3)關(guān)于橢圓的上述結(jié)論的證明方法對一般的二次曲線是否適用(可否在后面的雙曲線和拋物線中推廣)?

(4)什么是幾何不變量?如何理解幾何不變量?

這就自然地拓寬了學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的廣度,增強(qiáng)了學(xué)生的求知欲,又為后續(xù)學(xué)習(xí)做了認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的準(zhǔn)備.

3 在教學(xué)結(jié)構(gòu)上,宏觀控制、微觀調(diào)節(jié)

要較有成效地把已有的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu),必須借助教學(xué)過程結(jié)構(gòu)完成,教師不能單純地要求學(xué)生從字面上明白或者僅僅記住科學(xué)結(jié)論(定理、概念等),而是要既講推理也講道理,有意識地幫助學(xué)生對教材提供的材料進(jìn)行分析、比較、概括,形成概念,作出判斷并運(yùn)用推理來解決問題．學(xué)生不僅僅要掌握各種知識,更重要的是逐步發(fā)展完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),因此好的教學(xué)結(jié)構(gòu)既要用精準(zhǔn)、簡潔的基本概念和原理反映出知識的邏輯結(jié)構(gòu),又要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和心理需要．

目前主要的教學(xué)方法包括講授式、啟發(fā)式、自學(xué)式、大單元教學(xué)式等.無論哪種形式,都有其獨(dú)立的教學(xué)結(jié)構(gòu)存在,因此,教師除了在整體與局部、深度與廣度上控制與調(diào)節(jié)之外,還要從教學(xué)結(jié)構(gòu)的布局上進(jìn)行宏觀控制和微觀調(diào)節(jié)．

采用符合學(xué)生基礎(chǔ)學(xué)力和認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)結(jié)構(gòu),恰當(dāng)?shù)靥幚斫滩?是教師在課堂教學(xué)中個(gè)性藝術(shù)的具體表現(xiàn)和內(nèi)心追求.研究如何從宏觀上對教學(xué)結(jié)構(gòu)的整體和每一個(gè)層次所占用的時(shí)間加以控制、從微觀上對各個(gè)教學(xué)層次合理取舍和調(diào)節(jié),是提高四十分鐘課堂教學(xué)效益的關(guān)鍵．

在教學(xué)結(jié)構(gòu)的宏觀控制上,要以教材的難易程度和學(xué)生的實(shí)際接受能力為標(biāo)準(zhǔn),選擇一種主要的教學(xué)結(jié)構(gòu)模式,并對每一個(gè)層次所需時(shí)間進(jìn)行適當(dāng)?shù)目刂疲?在眾多的教學(xué)結(jié)構(gòu)形式中,大單元教學(xué)法已成為普遍采用的教學(xué)手段,教師要利用大單元教學(xué)法進(jìn)行教學(xué),首先必須理解其實(shí)質(zhì)含義:對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的整合,突破線性教學(xué)的模式,根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,靈活調(diào)控教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)進(jìn)度[1].因此,在具體的教學(xué)過程中,要處理好局部知識與整體內(nèi)容的關(guān)系,把零散的數(shù)學(xué)知識有序地鏈接成知識鏈,凸顯數(shù)學(xué)知識的整體性,從全局角度出發(fā)制定單元整體的教學(xué)目標(biāo),讓學(xué)生不斷感悟數(shù)學(xué)的思想與知識的內(nèi)涵.

在微觀調(diào)節(jié)上,要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際理解能力和接受程度來對教學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整.仍以大單元教學(xué)法教學(xué)為例,它是教師在學(xué)生已有基礎(chǔ)上,引導(dǎo)其圍繞一個(gè)主題,通過聯(lián)想、類比、推理等開展的模塊式探究活動:當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中未遇見較難問題時(shí),可以省去不必要的師生問答與機(jī)械練習(xí)環(huán)節(jié),并輔之以其他教學(xué)方式;對學(xué)生普遍感到有疑問的地方,師生展開詳細(xì)的討論,在徹底掃清認(rèn)知障礙后,將該問題涉及的知識點(diǎn)與前后內(nèi)容有機(jī)聚合,建立起融會貫通的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).這樣的操作有效地利用了教學(xué)時(shí)間,增加了反饋、評價(jià)、矯正、強(qiáng)化的機(jī)會,提升學(xué)生的核心素養(yǎng)并形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),提高了教學(xué)效果.

4 重視認(rèn)知負(fù)荷,進(jìn)行再控制與再調(diào)節(jié)

運(yùn)用上述控制與調(diào)節(jié)的手段,可形成對教學(xué)效果的先驗(yàn)估計(jì),充分體現(xiàn)以學(xué)生為主體、以教師為引導(dǎo)、以核心素養(yǎng)為主旨的辯證統(tǒng)一的課堂教學(xué)過程.該過程能加強(qiáng)教學(xué)的開放性、民主性,增加透明度,使學(xué)生的知識能力、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維素養(yǎng)等全面和諧地發(fā)展.但另一方面,在課堂教學(xué)中,學(xué)生解決問題和適應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)的各種認(rèn)知加工活動均需消耗認(rèn)知資源,產(chǎn)生認(rèn)知負(fù)荷[2].因此,針對數(shù)學(xué)課程的相關(guān)控制與調(diào)節(jié)不是靜態(tài)的、一成不變的,而是教師在接收到學(xué)生心理變化(情感,行為)的信息反饋后作出矯正(再控制與再調(diào)節(jié))的過程:在保證信息反饋的準(zhǔn)確性、連續(xù)性、及時(shí)性的情況下,針對讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知超載的教學(xué)行為進(jìn)行矯正,使學(xué)生的認(rèn)知壓力與學(xué)習(xí)動機(jī)達(dá)到動態(tài)的平衡,從而使課堂教學(xué)效果最佳化.

總之,從學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)作出的各種控制與調(diào)節(jié),都需根據(jù)學(xué)生的主體信息反饋隨時(shí)作出再調(diào)控,從而激活并提高其知識建構(gòu)的自動化水平.