關聯數式通性 提升數學素養
——“二次根式的加減(1)”教學設計與教學實施反思*

李樹平 (江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 215011)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)在數與代數的教學提示中指出:數與式的教學,教師應把握數與式的整體性[1]61．二次根課程標準(2022式的加減是中學階段最基本的運算之一,教學設計從數式通性入手,注重知識的理解與遷移,以及知識之間的邏輯關系,通過基于符號的運算和推理使學生經歷觀察、概括、驗證等過程,建立符號意識,提升運算能力,培養學生的高階思維．2022年10月,筆者有幸參加了蘇州市初中數學課堂教學展示活動,開設了公開課“二次根式的加減(1)”,現將教學過程與思考整理如下,以饗讀者．

1 教學分析

1.1 單元視角下二次根式加減的地位

本節內容是蘇科版教材八年級下冊第12章第3節,學生此前已學習過有理數、實數、整式、分式的加減運算,以及二次根式的定義、性質,二次根式的乘除,有許多可類比的數與式的學習經驗,可實現基本活動經驗的遷移．同時,本節課也為后續二次根式的混合運算、一元二次方程及函數等學習提供方法和經驗上的借鑒．

1.2 運算視角下二次根式加減的理解

二次根式的加減是一種數學規則教學．學習過程通常是先研究算理再研究算法.算理即為運算依據,常為計算公式、運算性質,算法即為計算步驟、法則.二次根式的加減運算的數學本質是基本運算單位的累加,運算的數學原理是乘法分配律．

1.3 數式通性下二次根式加減的構建

二次根式的加減是在整式加減的基礎上學習的,教學中需通過觀察、分析、比較、歸納,勾聯同類項的概念、合并同類項的法則及整式加減的一般步驟,構建同類二次根式的概念、二次根式加減的法則,歸納二次根式加減的一般步驟．

2 教學設計

2.1 生活數學,激趣引題

現有一塊長9 dm、寬6 dm的木板,采用如圖1的方式,在這塊木板上能否截出兩個面積分別是12 dm2和27 dm2的正方形木板?

圖1

問題1 怎么理解“能否截出”?

追問 二次根式的加減如何運算呢?以前我們學過什么類型的加減運算?舉例說明．

2.2 思考交流,探尋本質

下列3組二次根式各有什么共同特征?

問題1 你能給具有這些特征的二次根式取個合適的名字嗎?(同類二次根式)

追問1 為什么取這個名字?

追問2 你能給同類二次根式下個定義嗎?

師生交流后歸納:經過化簡以后,被開方數相同的二次根式,叫做同類二次根式．

問題2 這個概念與我們以前學習的哪個概念有點類似?(同類項)

試一試:學習同類項后我們知道可以對同類項進行合并,你能嘗試從上面14個二次根式中取兩個進行加減法運算嗎?小組內交流列出的二次根式的加減算式,并嘗試運算,請小組代表發言．

問題3 你是如何計算的?

追問1 你是怎么想到這樣計算的?

追問2 你知道這樣計算每一步的運算依據嗎?

追問3 情境中的木板能否截出?

設計意圖先獨立思考,然后小組交流．從3組二次根式中觀察其共同特征,然后通過與同類項概念類比,得出同類二次根式的概念,從直觀觀察上升到數學抽象,這是數學概念學習的一般方法．通過取名活動與聯想,將新舊知識產生關聯,用合并同類項去類比合并同類二次根式,用整式的加減就是合并同類項來類比二次根式的加減就是合并同類二次根式,理解運算方法與乘法分配律的關系,讓學生親歷法則的生成過程,積累有價值的學習活動經驗,提升認知水平和抽象能力．除了探究算法,追問2歸納每個步驟的運算依據,讓學生明晰算理,體會到代數運算需步步有依據,經歷思維過程,理與法相融合．追問3體現學以致用,激發興趣,培養學生的應用意識和創新意識．

2.3 問題解決,類比歸納

問題 你能總結一下二次根式加減運算的一般步驟嗎?

師生交流討論后總結如下:

1．一般步驟:

①化——最簡二次根式;

②找——同類二次根式;

③并——合并同類二次根式．

2．二次根式相加減,先化簡每個二次根式,然后合并同類二次根式.

3．整式加減的本質是合并同類項,二次根式加減的本質是合并同類二次根式．

例2如圖2,兩個圓的圓心相同,半徑分別為R,r,面積分別是18 cm2,8 cm2.求圓環的寬度(兩圓半徑之差).

圖2

設計意圖運用二次根式的加減法解決問題,讓學生感受到學習二次根式加減的必要性,體現所學知識的應用價值,培養學生的應用意識,提升數學素養．

2.4 總結感悟,重構體系

(1)談談你學習完本節課后在所學知識、探究方法及數學思想上的收獲或困惑．

(2)學習了二次根式的乘除、二次根式的加減后,你覺得下節課將會學習什么內容?

(3)梳理歸納數與式問題學習的一般路徑:定義→性質→運算→應用(圖3).

圖3

設計意圖學生通過反思與歸納,暢談對同類二次根式、二次根式加減法運算的知識及思想方法的認識、收獲與展望．打破教材編寫的時空界限,借住框架圖把不同階段學習內容聯系起來,讓學生對數與式內容進行概貌性的認識與回顧．不僅從研究內容上體現數與式教學的整體性,還從學習方法的整體性上歸納了數與式問題學習的一般路徑．

2.5 課后作業,拓展延伸

必做題:習題12.3第1、2題．

選做題:展示圖4,整理已學數與式的運算,嘗試從知識內容或運算法則等角度自主構建知識框架．

圖4

圖5

設計意圖分層作業滿足學生多樣化學習需求,特別是選做題的設計,伴隨學生所學知識的數系不斷擴充,構建所學數與式的知識構架,整理、比較、歸納運算法則,有助于學生理解數與式的整體性,激發學習興趣,培養歸納能力．

2.6 板書設計

設計說明將本課需學內容與學生已有知識經驗進行廣泛聯系和充分比較,把新舊知識串成線、結成網,使數學知識結構化,培養了學生思維的發散性和廣闊性,促進了數學素養的提升．

3 對教學設計的幾點思考

本節課從設計的立意到課堂的實施,從知識的傳授到能力的培養,從學習結構到素養的落實,努力體現以學生發展為目標的教學理念,實現學科育人與核心素養落地的雙重目標．

3.1 數式通性,養成良好思維習慣

章建躍博士在活動當天下午的評課活動中指出:“關聯數式通性,實現算法遷移是本節課教學的關鍵．”從整體性上看,“式”是繼承了“數”的運算法則與運算律;從思想方法上看,“式”是“數”的進一步抽象,是“數”的一般化[2],在式的運算中,數的運算本質不變．關聯數式通性,從“數”向“式”自然遷移,將“數”與“式”從認知上進行統一,有助于學生養成良好思維習慣．

3.2 明晰算理,提升運算核心素養

3.3 單元視角,形成良好認識結構

《課標2022》在教學建議的條目2中,建議整體把握教學內容,注重教學內容的結構化,指出:“在教學中要重視對教學內容的整體分析,幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系．”[1]85在單元整體教學的視角下進行整體化教學,建構知識結構,了解后面將要研究的問題,探尋相通學習方法,鑄就學生認知結構,提升思維水平．

二次根式是初中數學中數與式的最后一章內容,是代數知識結構化在代數式教學中的完美收官．課堂小結環節,在學生暢談本節課在所學知識、探究方法及數學思想上的收獲或困惑后,教師幫助學生構建知識結構圖(圖3),共同歸納數與式問題研究的一般路徑:定義→性質→運算→應用．這既可讓學生從知識層面感受到二次根式在數與式大單元學習中的發展與延續,也能從情感上激發學生的學習熱情,將學生的思考引向了更深處．