用實物工具“做”數學*

張 亮 (江蘇省蘇州工業園區星匯學校 215021)

李明樹 (江蘇省蘇州工業園區東沙湖實驗中學 215021)

王曉峰 (江蘇省蘇州工業園區教師發展中心 215021)

實物工具具有直觀、易操作、貼近學生生活等特點．教學活動中,學生運用實物工具“做”數學,更容易形象化地觀察、歸納、類比和猜想,調動多種感官參與學習過程,通過實物工具的操作,感悟數學概念,驗證所學的數學原理和方法,自主探索發現新的數學知識,并用已有經驗解決問題．

1 在實物工具“做”數學中理解數學概念

概念是反映事物本質屬性的思維形式,正確的概念是科學抽象的結果．數學概念一般來源于現實的生活實踐,是從現實中抽象概括出來的．教師在進行概念教學時,可以根據學生已有的活動經驗和學習基礎,從現實中尋找實物模型或通過實驗幫助學生對概念形成感性認識,讓學生在觀察、實驗、猜測、推理、歸納的過程中抽象出概念,揭示概念的本質,從而正確、清晰地理解概念[1]．

1.1 利用函數發生器,理解函數概念

實驗準備:函數發生器、卡片若干．

實驗操作:(1)如圖1,請同學們將標有數字1的紅色卡片從函數發生器進口處插入,卡片從出口處滑出,記下卡片滑出時朝上一面的數,兩人一組,填入表1;依次將其他的紅色卡片從函數發生器進口處插入,記錄輸入和輸出的數字;在黃色空白卡片正反面填入數字,再次演示剛剛的過程并做好記錄．(2)觀察每一次的“輸入數”與“輸出數”,對比總結,你有什么發現?

圖1

思考在這個問題中“輸入數”和“輸出數”是兩個變量,給出一個“輸入數”,都會對應著一個“輸出數”,“輸出數”隨著“輸入數”的變化而變化．一般地,如果在一個變化過程中有兩個變量x和y,對于變量x的每一個值,y都有唯一的值與之對應,那么我們稱y是x的函數．其中x是自變量,y是因變量．

最后請學生在黃色空白卡片的正、反面各寫一個數,自行演示函數發生的過程,“輸入”一個數x,“輸出”一個數y,理解函數的概念．顯然,上述過程是一個在“做”中發現的過程,在“做”中體會兩個變量的對應關系,讓學生的數學思考有所依托,讓抽象難懂的概念變得直觀生動起來,為后續函數的學習奠定基礎．

上述“做”數學的過程,實質是讓學生在“做”中發現“做”的素材與“做”的過程.正是經歷了“做”后的觀察、驗證、發現,學生實現了對數學概念的深度理解．

1.2 制作“多功能箏形器”,理解三角形的外心、內心、重心、垂心等概念

實驗準備:準備兩根10 cm長、兩根8 cm長的紙管,回形針若干,2 mm寬彩色細紙條一根,刻度尺一把,透明膠帶一卷,剪刀一把,記號筆一支．用回形針把四根紙管的首尾釘在一起,形成一個箏形(圖2),并用透明膠帶和2 mm寬的彩色紙條在四根吸管上標記相等刻度,得到“多功能箏 形器”[2]．

圖2

實驗操作:(1)做出△ABC的外心和重心．我們知道外心是三邊垂直平分線的交點,可從已知線段AB開始,利用多功能箏形器作線段AB的垂直平分線．調整多功能箏形器,使連接不相等兩邊的工字釘分別與點A,B重合(圖3),用記號筆分別在另外兩個工字釘的位置標記點D,E,作直線DE,就是線段AB的垂直平分線．分別作△ABC三邊的垂直平分線,可以得到外心(圖4)．若畫出三角形的三條中線,三角形的“重心”就自然凸顯出來了(圖5)．若連接三角形的兩條邊上的中點,就得到了三角形的一條中位線(圖6)．

圖3 圖4 圖5 圖6

(2)做出△ABC的內心．我們知道內心是三條內角平分線的交點,可從已知∠AOB開始,利用多功能箏形器作∠AOB的平分線．使多功能箏形器上連接較長兩邊的工字釘與點O重合,較長的兩邊上的另外兩只工字釘分別落在角的兩邊OA,OB上,第四個工字釘在角的內部落點記為點P(圖7),則OP為∠AOB的角平分線(圖8)．分別作△ABC內角的角平分線,可以得到內心(圖9)．

圖7 圖8 圖9

(3)做出△ABC的垂心(圖10)．在△ABC中,利用操作(1)的方法畫出線段BC垂直平分線MN,延長線段CA,利用平移的方法過點A作BC的垂線,垂足為點D,則線段AD為BC邊上的高(圖11).三角形三條高所在的直線交于一點,此交點即為三角形的垂心(圖12)．

圖10 圖11 圖12

思考上述方法與尺規作圖有怎樣的關系?借助多功能箏形器的彩色紙條,還有沒有其他得到垂直平分線和角平分線的方法?

學生對于外心、內心、重心、垂心四個概念一直容易混淆,究其原因,除了概念本身較為抽象以外,還在于大多數教師是直接告知學生的,學生并沒有經歷形象的感知過程．使用自制的多功能箏形器則可以讓學生直觀具體地體驗概念的由來．借此工具,可以物化尺規作圖,讓學生對數學概念的理解更加深刻．

2 在實物工具“做”數學中探究數學原理

在傳統教學中,教師對于數學原理大都是把它直接展示給學生,而忽視知識的發生過程,這樣不經意間壓縮了學生對新知識學習的思維過程,造成了感知和概括之間的思維斷層,難以保證課堂質量,更談不上發展學生的思維能力.在揭示知識的形成規律上,用實物“做”數學讓學生動手做實驗,自己去發現數學原理,這樣得出的結論,記憶與理解均較深刻．

2.1 釘板圍長方形,探究一次函數的圖象

實驗準備:一塊透明含磁吸的釘板、若干相同的彩色皮筋、一張周長為12個單位長度的矩形紙片．

實驗操作:(1)長方形的頂點O與坐標原點(釘板左下角的釘)重合．

(2)長方形的兩條邊分別落在x軸和y軸上．

(3)釘板相鄰兩釘的距離與平面直角坐標系單位長度一致,均為1,描出右上角的頂點B1,B2,B3,B4,B5．

(4)坐標滿足一次函數y=-x+6的點B1,B2,B3,B4,B5在同一條直線上嗎(圖13)?生1拿尺子靠過去觀察,發現這5個點在一條直線上．生2過兩點畫直線,觀察另外3個點在不在這條直線上．上述兩種方法好像都能得到這5個點在一條直線上,但都缺少理論依據．生3發現點在y=-x+6上,x增大1,y則減小1,可證明全等,進而5個點在一條直線上．

圖13

(5)給出長寬未知但周長為12的長方形(如圖14放置),其頂點B6是否滿足上述猜想?B6坐標滿足一次函數y=-x+6,所以它是函數圖象上的點．拋開實際問題,y=-x+6中x可以取哪些值呢?學生發現是任意實數．

圖14 圖15

思考初步形成“一次函數圖象上有限個點好像在同一條直線上”的基本認識后(圖15),教師引導學生從“有限個點”到“無限個點”過渡,進一步深究,引導學生猜想一次函數的圖象,這里始終不將其作為結論給出．

一次函數是學生接觸到的第一類函數,其圖象的探究方法對后續函數學習有借鑒作用.借助實物工具,引導學生自主研究坐標軸上的點及一次函數“圖象”上的點,用直尺靠,用眼睛看它們的位置關系,鍛煉學生“做”數學的能力,發揮學習的積極性和研究力,激發深層思維,培養合作精神.讓學生初步體驗、大膽猜想后,可借助畫圖軟件對點的個數進行加密,最終得到一條直線．

2.2 借助火柴棒,探究數學圖形的變化規律

實驗準備:火柴棒若干．

實驗操作:(1)數字變形．①如圖16,是用火柴棒搭成的0到9十個數字．只移除1根火柴棒,哪些數字能夠改變成另一個數字?②如果改為“僅添加1根火柴棒”,圖16中的哪些數字會變成其他數字?

圖16

(2)巧變等式．如圖17,分別移動1根火柴棒,使得等式①②③④成立．

圖17

(3)巧搭圖形．①如圖18,搭一個三角形需要3根火柴棒,那么搭兩個三角形需要幾根火柴棒?搭三個呢?搭四個呢?②按照圖18的方式,利用9根火柴棒能搭出幾個三角形?③搭四個三角形至少需要幾根火柴棒?④假設每根火柴棒的長度為1,你能用12根火柴棒搭出面積為4的圖形嗎?(火柴棒不能多余或重疊);能用12根火柴棒搭出面積為5的圖形嗎?能搭出面積為8的圖形嗎?能用10根火柴棒搭面積為4的圖形嗎?能搭幾種?

圖18

(4)巧變圖形:①如圖19,是用15根火柴棒搭成的5個三角形．移動其中的3根,使其變成7個相同的三角形．②如圖20,是用火柴棒搭成的“小鳥”圖案．移動其中的3根火柴棒,改變小鳥的飛行方向．

圖19 圖20

思考從數字到圖形、從平面到立體、從找規律到問題創新,在這個問題中,圖形和等式變化的本質是什么?

在實物工具“做”數學中,讓學生根據自己的實際操作和合理的猜想,體會從特殊到一般的思考過程,探究數學原理,體會數學的魅力和實驗的價值．

3 在實物工具“做”數學中解決問題

利用實物工具解決實際生活問題時,需要學生結合基本的生活經驗及所學數學知識和原理,在“做”數學中體驗解決實際問題．通過實踐 體驗,學生需要不斷嘗試,在嘗試中尋找解決問 題的方式與方法．合理運用手中的工具,互相合作,深入探究,提升解決實際問題的能力,體悟“數學的思考”,有效促進應用意識和創新意識的養成[3]．

3.1 測量旗桿高度

為了測量操場上旗桿的高度,讓學生進一步體驗和感受三角函數的價值,我們可以用工具“測角儀”來幫助學生直觀體驗“做”數學的過程．

實驗準備:測角儀、皮尺等測量工具．

實驗過程:(1)先確定測角儀與地面的高度以及對應的仰角角度α(圖21);(2)向前走am,再次利用測角儀測對應的仰角角度β;(3)利用三角函數的知識計算．

圖21

思考除了測量旗桿的高度以外,利用這種方法還可測量生活中哪些物體的高度?

上述利用實物工具(皮尺、測角儀)在豐富有趣的情景中“做”數學,為學生提供了一個實際解決問題的場景,學生在做中思,在做中悟,打開了思維視角,獲得了基本活動經驗．正是這種實際體驗,讓學生對三角函數的知識和本質有了更加深刻的認識,也在解決實際問題中真實感受三角函數的應用價值,激發了學生學習數學的興趣,增強了學生的問題意識和創新意識,為學生更好地理解數學、運用數學提供了堅實的基礎．

3.2 探索多面體截面的形狀[4]

實驗準備:水立方、其他多面體．

實驗過程:(1)探索正方體的截面形狀．通過調節“水立方”的擺放方式,就能得到正方體截面的不同形狀(圖22)．思考:為什么截面會出現這些形狀?你能利用2號“水立方”依次截出四邊形、五邊形、六邊形形狀的截面嗎?通過動態演示,從本質上揭示了截面產生的原因及變化的過程,進一步發展學生的空間觀念．

圖22

(2)探索正方體截面形狀的特殊性．①正方體截面可以是特殊的三角形嗎?學生觀察發現可以截出等腰三角形、等邊三角形,但截不出直角三角形、鈍角三角形.②截面除了是正方形外,還可能是其他特殊的四邊形嗎?發現可以得到矩形、平行四邊形、菱形、梯形、等腰梯形等.③當截面為四邊形時,這些四邊形是否具有共同的特征?發現至少有1組對邊互相平行,至少有1組面互相平行.④當截面為五邊形呢?發現2組對邊互相平行.⑤當截面為六邊形呢?發現3組對邊互相平行．

(3)探索切割后所得幾何體特征．鉆石原石經過切割后,剩下的余料當然也要盡可能利用起來,將其重新加工成小的鉆石．那么,正方體切割后,余下部分(液體部分)是怎樣的幾何體(圖23)?①當截面為三角形時,余下的部分會是怎樣的幾何體?②當截面為四邊形時,余下的部分又會是怎樣的幾何體?③這些截面為四邊形的幾何體是否具有共同的特征?如果有,請說明原因．當截面為五邊形或六邊形呢?④其他多面體形狀的鉆石原石截面會是怎樣的形狀?切割后所得的幾何體呢(圖24)?

圖23

圖24

上述活動中,學生經歷觀察想象、思考發現、分析說理,“由體到面”,“由面到體”,構成了兩個互逆的探究過程,在“靜態推理”中揭示問題中隱藏的結論,在“動態操作”中不斷地發現、提出問題,進而分析、解決問題,從而發現蘊藏在問題中更為一般、更加豐富的結論、規律與方法．通過“做”數學解決鉆石切割面問題,引導學生學會如何

透過現象看清本質,給學生提供了想象空間.學生產生、形成了數學活動經驗,發展了空間觀念,提高了推理能力,促進了思維與實踐經驗的不斷累積和疊加,并最終升華為方法與策略．

4 結語

用實物工具“做”數學,給予了學生時間和空間上的實踐媒介,在運用實物工具“做”數學時,抽象的數學知識變得直觀形象,復雜的問題變得通俗易懂,更能培養學生的創新意識和實踐能力,能夠讓學生更好地經歷知識的生成過程,滲透思維的發展,激發學習數學的熱情．教學中可以結合具體的學習內容,利用所需的實物工具設計有效的“做”數學活動,使學生經歷數學的發生發展過程,體驗各種數學活動過程的結果,在“做”的過程和思考的過程中積淀,從而科學有效地培養學生的思維能力,落實核心素養．