苗族銀飾和刺繡圖案中的數學文化*

何 賢 李東瑞 王天志 (云南師范大學數學學院 650500)

民族數學文化近年來受到了數學課堂教學越來越多的青睞.在數學課堂教學中滲透民族數學文化,一方面能發揮民族數學文化的傳承功能,另一方面更能激發學生學習數學的興趣．民族地區的數學教育應充分體現民族數學文化,將民族數學文化引進課堂,有利于民族數學文化輔助數學教育．云南文山壯族苗族自治州約350萬人,其中苗族人口約50萬人,當地很多學校都會設立苗族班級．研究苗族數學文化,將學生熟悉的銀飾、刺繡等蘊含的數學元素融入到數學課堂中具有一定的可行性和實用價值．

關于苗族的數學文化研究多與苗族的服飾、刺繡有關．康美齡[1]分析了文山苗族服飾中的刺繡圖紋內容、顏色和構圖形式;李丹[2]從歷史、文化角度出發,對云南苗族服飾圖案在美學和人類學方面的藝術價值進行了研究．總體來說,關于云南苗族文化的研究文獻還相對較少．但關于貴州苗族的研究文獻較為豐富．羅永超[3]探析了黔西南苗族銀飾中的幾何圖形,并通過設計數學課堂情景、問題的方式將這些數學元素融入到教學中;楊孝斌[4]借助苗族傳統服飾中的幾何圖形完成了一篇關于“完全平方公式”的教學設計,將苗族服飾與課堂聯系起來,為民族地區數學教學提供參考;王祖美[5]以黔西南歪梳苗族為例,分析了其刺繡圖案中位似、旋轉、對稱變換等數學知識;楊通德[6]研究了歪梳苗族的背扇,從中發現了苗族刺繡圖案中蘊含的勾股定理、等差數列、等比數列、平面曲線等數學文化．雖然同一民族在不同地區經過長時間的發展,文化等方面會產生差異,但關于貴州苗族數學文化研究的文獻對于研究云南苗族數學文化仍有著很大的參考意義．云南少數民族數學文化資源的開發與利用任重道遠.少數民族數學教育是我國數學教育不可或缺的一部分,有著非常重要的地位.盡管我國在這一領域已經付出非常大的努力,但仍有很大的進步空間[7]．

探尋少數民族數學文化,對鞏固民族團結、縮小教育發展差距、推動區域經濟協調發展具有重要的現實意義．各民族在歷史進程中發展了各具特色的數學文化,如紀年、建筑、服飾等,本文僅從銀飾和刺繡的角度做一點探討．

1 苗族銀飾中的數學文化

苗族銀飾有銀帽、銀耳環、銀項鏈、銀手環、銀胸佩、銀腰墜等,常以千奇百怪的變形圖案為主題.苗族銀飾圖案中存在著許多的幾何變換,因而苗族地區的學生可以從他們熟悉的銀飾圖案入手來了解這些變換的基本特征,學習變換的基本性質,體驗變換在現實生活中的廣泛應用.這對于中小學生認識豐富多彩的現實世界,形成初步的空間觀念,了解圖形間的聯系,以及感受、欣賞圖形美都是大有裨益的．

1.1 多邊形內角和

圖1至圖4分別是三角形、四邊形、五邊形和六邊形耳環,這些耳環都由三角形組成．由此可提出問題:①已知三角形內角和為180°,由兩個三角形耳環組成的四邊形內角和為多少度?五邊形、六邊形內角和各為多少度?②依此類推,請歸納出n邊形內角和表達式．

圖1 圖2 圖3 圖4

1.2 圓的位置關系

圓形在銀飾中十分常見,苗族人通過改變圓之間的位置關系使銀飾外形更加豐富．圖5是由很多同心圓組成的一個銀耳環．從圖6的手鐲可以看出,內層的各個大圓相互外切,外層的小圓分別與內層的每個大圓相交,且小圓之間相離．

圖5 圖6 圖7

圖7是一個耳環吊墜,畫出它的幾何圖形(圖8)后發現,圖中有七個等圓,每個小的等圓都相互外切,且圓A,B,C,D,E,F與大圓O內切．由此可以提出問題:①已知六個等圓的半徑為r,則小圓和大圓的半徑分別為多少?②在大圓外再作六個等圓,且每個等圓與相鄰等圓外切,與大圓外切,則這六個等圓的半徑為多少?③建立直角坐標系后請寫出大圓和小圓的方程;④請寫出圓A,B,C,D,E,F的方程．

圖8

圖9是一對銀耳環,可以看到耳環整體為水滴形,中間有一個圓,圓中是一只蝴蝶,這只蝴蝶的翅膀由兩個大的等圓和兩個小的等圓組成．圖10和圖11是兩個耳環吊墜,中間分別有四個、六個等圓,且這些等圓相互外切,并與外面的大圓內切．現提出問題:①這些等圓的圓心是否共圓?②這些等圓與大圓的切點是否共圓?③這些等圓相互外切的切點是否共圓?④作為課堂拓展,還可以提出,n個相互外切且與大圓內切的等圓的圓心共圓嗎?

圖9 圖10 圖11

觀察圖12、圖10和圖11可以發現,圖的中心分別有三個、四個、六個等圓,它們互相外切,且與大圓內切.我們可以思考:如果這些等圓的半徑為r,那么大圓的半徑R應該為多少?以圖12為例,連接三個等圓的圓心得到一個正三角形ABC(圖13),小圓的圓心O即為該三角形的內心,只需求出圓心O到正三角頂點的距離再加上等圓的半徑即為大圓的半徑．問題的實質是求三角形外接圓的半徑,但在學生思考時可能會誤認為三個等圓與大圓交點連線過等圓圓心,直接求交點連線所形成的三角形外接圓半徑．同理,圖10、 圖11分別是求正方形、正六邊形外接圓半徑．此時可以讓學生思考問題:如果半徑為r的等圓與大圓內切,且這些等圓相互外切,則大圓半徑R為多少?

圖12 圖13 圖14

1.3 橢圓

圖14是一對橢圓形的耳環,中間橢圓中內切兩個小圓,且這兩個小圓相互外切,由此圖可以設計出一個數學問題:兩個等圓相互外切,且兩圓與橢圓內切,已知圓的半徑為r,求橢圓的標準方程．

1.4 數列

圖15是一件銀飾裝飾,是由等圓組成的一個正三角形,等圓共有五行,第一行1個,第二行2個……依次增加.很明顯圓形的個數為一個等差數列.此時可以提出問題:①該數列的公差是多少?②請寫出該數列的通項公式;③請求出該數列的前n項和Sn．這個例子比較簡單,學生在初步學習等差數列知識后即可求出,也可以將它作為數學情境來引入等差數列．

圖15 圖16

除上述之外,苗族銀飾中還蘊含著大量數學元素,如圖16,是用銀條盤成的螺形紋的背扣,兩個圓形由一個S形的銀片連接組成,構成了一個中心對稱圖形.苗族銀飾圖案還包括了星形線、玫瑰曲線、螺旋線等.探究苗族銀飾幾何元素,研究民族數學文化與開發少數民族課程資源,利用學生熟悉的銀飾進行教學,是對課程標準的具體落實,對苗族地區數學教育有著重要意義．

2 苗族刺繡中的數學文化

苗族堪稱“服飾大族”,刺繡是苗族服飾文化的重要組成部分．文山州苗繡傳統圖案主要由 規則的幾何圖形組成,其中涉及直角三角形、等腰三角形、正方形、菱形、八邊形、梯形等,同時還包括了花、草、蟲、魚等．圖案造型由具體變抽象,圖案效果隨著幾何圖形的增加形成強烈的視覺沖擊．

2.1 對稱

苗繡圖案中很大一部分運用了對稱的繡法．如圖17,圖案整體為一個大的軸對稱圖形,且它的每個組成部分也都是軸對稱圖形,每個小對稱圖形重復形成一個絢麗的圖案．在課堂中可提出問題: ①圖17整體是軸對稱圖形嗎?②組成圖17的圖案中哪些是軸對稱圖形?③請找出這些軸對稱圖形的對稱軸．

圖17

除了軸對稱之外,苗繡圖案中還存在很多中心對稱圖形,圖18中正方形被分成了八個全等的直角三角形.以紅色為例,第一個三角形按同一旋轉方向依次旋轉90°,180°,270°后得到其他三個三角形,形成了兩對中心對稱圖形,現以對稱點為原點在方格紙中建立直角坐標系繪出其中一個三角形(圖19),讓學生畫出其余3個三角形．

圖18 圖19

圖20中四個黃色菱形構成了中心對稱圖形,四個粉色的菱形也形成了中心對稱圖形．現以對稱點為原點建立直角坐標系,如圖21,給出其中一個菱形ABCD的坐標A(1,1),B(6,1),C(8,5),D(3,5),讓學生寫出其余3個菱形的坐標．

圖20 圖21

2.2 相似三角形

苗繡的整體結構及局部圖案都有相似圖形的應用．如圖22,可以將這圖形簡化為圖23,由此可以創設問題:①如果點D,E分別是△ABC邊的中點,試證明:△ABC∽△ADF;②如果四邊形BEFD是矩形,試證明:△ABC∽△ADF．

圖22 圖23

2.3 勾股定理

如圖24,選取圖中最大的兩個正方形得到平面圖(圖25),點E,F,G,H分別是大正方形ABCD四條邊的中點,請同學們思考:如何利用圖25來證明勾股定理?通過面積法學生可以很容易證明勾股定理,該圖形與“鄒元治證法”證明圖不謀而合,展現了苗族人民的智慧．

圖24 圖25

2.4 數列

圖26是圖24的平面示意圖,Ai+1是AiDi(i=1,2,3)的中點,取AiBi=d．據此提出問題:①請求出A1B1,A2B2,A3B3的長;②觀察AiBi的長發現正好為一個數列,求出該數列的通項公式;③請計算出正方形AiBiCiDi的面積;④正方形AiBiCiDi的面積是否是數列?如果是,求出這個數列的通項公式Sn．計算后可以發現兩個數列都是遞減的等比數列.這個圖案從外到內正方形的邊長遞減,對應的正方形面積也在逐漸縮小,這也說明苗族人民在刺繡時能很好地利用數列這一思想方法．

圖26

2.5 平方差公式

圖27是苗族服飾的一部分,整體是由四個全等的梯形和一個小正方形組成的大正方形,我們可以借助該圖從幾何的角度來解釋平方差公式．

圖27 圖28

圖28是它的平面示意圖,現記大正方形為ABCD,小正方形為EFGH,設大正方形邊長為a,小正方形邊長為b,此時讓學生思考討論如何用這個圖解釋平方差公式.經過討論探究及教師引導后能得出用“面積法”,即“四個梯形面積之和等于兩個正方形面積之差”來證明.證明過程比較簡單．

2.6 完全平方公式

圖29是一塊正方形刺繡圖案,大正方形的四個角分別有四個全等的小正方形,畫出其局部幾何圖形如圖30.令正方形ABCD的邊長為a,正方形EIFC的邊長為b.據圖提出問題:①表示出兩個長方形GDFI和HIEB的面積,兩個正方形EIFC和AGIH的面積;②在計算出長方形面積和大正方形面積后,根據“兩個正方形的面積加上兩個長方形面積等于大正方形面積”即可得出完全平方公式．

圖29 圖30

3 總結

課程標準建議教師“應根據具體的教學內容,從學生實際出發,創設有助于學生自主學習的問題情境”,“教材素材的選取應盡可能地貼進學生的現實”[8],所以在苗族地區的數學教育應根據具體教學內容,從學生熟悉的文化生活出發,創設有助于學生自主學習的情境．以學生熟悉的這些文化素材為學習性題材,讓學生在自己熟悉的文化中學習數學,體驗實驗、分析、歸納、總結的數學思想方法,是現行課程標準所提倡的教學理念．只要我們采納數學標準對教師的建議,就會自覺地去發掘苗族文化中的數學文化.這些數學文化將為教師在創設教學情境時提供豐富的素材,從而提高少數民族學生學習數學的興趣,有效拓展少數民族學生的數學素養,全面提高數學教學質量．