透視問題本質,玩轉“爪形”三角形

徐 穎 (江蘇省常州市田家炳高級中學 213001)

“爪形”三角形是指在給定的一個三角形中,連接一個頂點和對邊上的任意一點構成的圖形.近幾年來,每年的全國高考數學卷都會考查“爪形”三角形.

筆者所在的常州市李金蛟名師工作室在高三一輪復習備考過程中,開設了一節解三角形專題課,從一道解三角形范圍問題出發,通過變條件、變結論、變模型等方式進行探究,引導學生從中提出問題并解決問題,完善了學生的認知,提升了學生的直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養.

圖1

圖2

圖3 圖4

圖5

1 梳理解法,喚醒認知

(1)AC邊上的高的取值范圍;

(2)若AC的中點為D,求中線BD的取值范圍;

(3)設角B的角平分線與AC交于點E,求BE的取值范圍.

2 變式探究,拓展思維

數學深度學習強調把握數學本質,要求學生在完整而深刻地理解數學知識的基礎上,充分參與,積極建構,理性批判,并進行有效遷移與運用所學知識,進而發展學科素養[1].波利亞說過:“沒有任何一個題目是徹底完成了的,總還會有些事情可以做.”數學教學不應僅限于就題講題,而要教會學生運用所學進行舉一反三.例題中涉及爪形三角形的3條比較重要的線:高、中線、角平分線,它們都與三角形的面積有關.教師可以變換題目的條件或結論,使學生掌握此類問題的通性通法.比如,隱去條件b=2,添加條件S的最值,得到變式1.

解法1設BD=n,AD=CD=m,分別在△ABD,△CBD中使用余弦定理得c2=m2+n2-2mncos∠ADB①,a2=m2+n2-2mncos∠CDB②,由于∠ADB+∠CDB=π, ①+②可得c2+a2=2(m2+n2) ③.在△ABC中由余弦定理得(2m)2=a2+c2-ac,代入③式得4n2=a2+c2+ac.

評析 解法1利用兩次余弦定理以及鄰角互補的思想,得到a,c和BD的關系,進一步使用基本不等式解決.解法2直接利用向量中線定理,將向量進行數量化,直接得到a,c和BD的關系,相對解法1,運算量大大減少.試想,如果點D是AC上的n等分點,是否可行?據此我們得到了變式2.

若繼續將中線(n等分線)換成角平分線,我們可以得到變式3.

評析 本題可以看作由2018年江蘇高考第13題的條件和結論互換得到.角平分線問題側重考查三角形面積公式、等面積法、角平分線定理等.本題涉及基本不等式中“1”的妙用,學生不容易想到.

更一般地,如果BD把∠ABC分成兩個不等角,我們又能得到什么呢?

結論 在△ABC中,記BA=c,BC=a, BD=m,∠ABD=α,∠CBD=β,則有

繼續更換條件,將角平分線變成垂線,我們得到了變式4.

3 教后反思

“爪形”三角形在高考試卷中以中檔題居多,本文在例題及其變式中,圍繞ac,a+c,a2+c2等幾個基本量對“爪形”三角形進行了深入探究,運用特殊到一般、轉化和化歸的數學思想歸納出中線、角平分線、垂線等常規解法.解決“爪形”三角形的策略有很多,比如“鄰角互補”“等面積法”“算兩次”“向量數量化”等,還要關注解三角形與三角函數、平面向量、基本不等式等的綜合運用.在平時的教學中,教師要關注那些經典題目,通過一題多解和一題多變,以適宜的方式引發學生的思維碰撞,進而產生新知識,促進學生深度學習,最終實現發展學生核心素養的育人目標.