借助“K”字模型,解決荒島尋寶問題*

金子軒 (蘇州市陽山實驗初級中學校初三(2)班 215151)

指導教師 胡永強 (蘇州市陽山實驗初級中學校 215151)

1 問題提出

近日,老師給我們介紹了一道有趣的荒島尋寶問題,這個問題來自著名物理學家喬治·伽莫夫的《從一到無窮大:科學中的事實與臆測》一書,具體如下:

一個年輕人得到了一張藏寶圖,上面寫著:“在某荒島的一片空地上,有兩棵樹,一棵是橡樹,一棵是松樹,還有一個斷頭臺．從斷頭臺走向橡樹,記住所走的步數,向左拐彎90°后,向前走相同的步數,在腳下做一個記號．回到斷頭臺,走向松樹,記住所走的步數,向右拐彎90°后,向前走相同的步數,在腳下再做一個記號,兩個記號連線的中點便是藏寶之處．”年輕人來到荒島后很快找到了那兩棵樹,但斷頭臺卻消失得無影無蹤,他因此兩手空空,敗興而歸[1]．請問如果你是那位年輕人,你能找到寶藏嗎?

2 模型引入

不難發現上述問題中隱藏著兩個等腰直角三角形,這讓我想到了“K”字模型．如圖1,已知∠A=∠BCE=∠D=90°,BC=CE,容易證得△ABC≌△DCE,由此可以推導出一些相等的線段和相等的角,比如AC=DE,AB=DC,∠B=∠DCE,∠ACB=∠E．這張圖有點像躺著的字母K,因此我們常稱它為“K”字模型．

圖1

3 問題解決

我們用符號語言描述這一問題:如圖2,AC=AO,BD=BO,∠CAO=∠DBO=90°,點P為線段CD的中點．試說明點P只與點A和點B的位置有關,與點O的位置無關．

圖2

觀察圖2,我聯想到“K”字模型,于是嘗試構造這一模型來解決問題．

·代數法

《從一到無窮大》一書介紹的方法是建立實軸和虛軸進而求解,這里涉及虛數的運算,我尚未學習過相關知識．但是,受其啟發,我構造了一個平面直角坐標系,借助“K”字模型對其分析解答．

如圖3,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,線段AB的中點Q為坐標原點,建立平面直角坐標系．

圖3

作CE⊥x軸、DG⊥x軸、OF⊥x軸,OH⊥y軸,垂足分別為E,G,F,H．設O(m,n),A(-a,0),B(a,0),則OF=-n,QF=m,AQ=BQ=a．根據“K”字模型的結論,易知△CEA≌△AFO,所以AE=OF,CE=AF,則QE=-n+a,AF=m+a．于是CE=m+a,故C(n-a, -m-a)．同理D(a-n,m-a),則線段CD中點P(0,-a)．所以點P在y軸上,QP=a,PQ=AQ=BQ．所以點P位置與點O無關,根據A,B兩點即可確定點P位置．

·幾何法

對代數解法深入思考后,我發現不設坐標,直接使用“K”字模型的相關結論也可以解決．

如圖4,分別過點C,P,O,D作AB的垂線,垂足分別為點E,F,G,H．

圖4

即點F為線段AB中點．所以點P位置與點O無關,只需A,B兩點即可確定點P位置．

4 小結與思考

以上我們可以發現,理解“K”字模型可以幫助我們找到解題思路,構造“K”字模型可以解決一類問題,大家在做題時要善于思考,敢于構造．兩種解法也告訴我們看待問題要數形結合,綜合利用代數眼光和幾何眼光去思考問題,尋找解題思路!

最后不得不說的是,當我成功解決荒島尋寶 問題的那一刻,我的內心非常激動,體會到了成功的喜悅,同時我也深刻體會到了數學的魅力和價值．

指導教師點評我們在數學學習中經常會遇到一些穩定的結構,通常稱作數學模型．大家對數學模型進行深入研究后能夠總結提煉出一些規律性的結論,這些結論可以用于解決相應的一類問題．小金同學運用“K”字模型,從代數和幾何兩個視角分析并解決荒島尋寶問題,體會到數學學科分支之間的聯系,感悟到數學具有廣泛的應用價值,同時也品嘗到了研究數學所帶來的樂趣．