基于問題為主線的探究式教學*
——以“相關系數”的教學為例

南昌大學附屬中學 (330047) 孫 強

江西省南昌市鐵路第一中學 (330002) 章建榮

一元線性回歸模型是高中數學的一個統計學模型,而“相關系數”是一元線性回歸模型中判斷線性相關性的一個重要的統計量,其產生過程蘊含著統計學探究的一般思維方式,推導過程中的類比、特殊化等數學思想方法,是培養學生統計學思維、符號運算能力、邏輯推理能力及數據處理思維等素養的落地點.然而,很多教學課在統計量的出現以及公式推導探究過程中并沒有很好地體現出“相關系數”這一統計量的必要性以及公式的生成過程,讓學生的數學思維得不到良好的發展,難以體現和落實核心素養.基于這些問題,筆者開展了相關的教學設計和教學實踐.旨在通過“相關系數”這一統計學概念的教學,探究其在教學過程中自然生成,同時以問題探究為主線,引導學生思考和探索“相關系數”的計算公式,幫助學生體會統計學的探究過程,感悟其中的數學思想,從而營造高效的數學課堂.

一、教學內容分析

“相關系數”是北師大版《普通高中教科書·數學(選擇性必修一)》第七章“統計案例”第二節的內容,它既是之前一元線性回歸的延續,也是學生學習的第一個統計學模型,對今后的統計學學習具有指導意義.《普通高中數學課程標準(2017年版)》的要求是:①結合實例,了解樣本相關系數的統計含義,了解樣本相關系數與標準化數據向量夾角的關系.②結合實例,會通過相關系數比較多組成對數據的相關性.因此,本節課的主要任務是了解樣本相關系數這一概念為什么會出現,為什么需要相關系數這一統計量,如何研究一個統計模型;其次是如何定義和計算樣本相關系數.

二、學情分析

學生已經學過一元線性回歸方程,對成對數據的一元線性擬合有了基本的了解.也會利用散點圖來觀察成對數據是否相關,但是這種對于相關的感知僅僅停留在直觀的認知上,而并非在科學意義上的嚴格計算,對于許多成對數據是否相關,相關性有多大,還沒有一個明確的概念.因此本節課應該從學生已有相關性的經驗出發,給出直觀觀察解決不了的問題,讓學生感知到相關系數出現的必要性,從而引出沖突,讓概念自然生成.

三、教學過程

1.創設情景,引導思考

教師畫出散點圖,讓學生進行觀察,學生容易發現7組成對數據均位于單位圓上,所以X和Y不具備線性關系,用這一組數據建立的線性回歸方程無法精確刻畫這組數據.

師:對一組數據進行直線擬合之前先應該做什么?

生:先要判斷這組數據是否適合進行直線擬合.

師:應該如何進行判斷?

生:可以畫出散點圖直接看所有的點是不是大概在一條直線上.

師:對了,對于數據量較小且散點圖較規則的數據確實可以畫散點圖來進行觀察判斷,那不妨看看的散點圖1及圖2,這個散點圖是否適合直線擬合?那如果再多幾個樣本點呢?這樣是否適合呢?

圖1

圖2

師生互相討論后得出要引入一個統計量來定量的刻畫樣本數據的線性相關程度.

設計意圖：引導學生分析一組數據是否能進行直線擬合不能僅僅通過肉眼觀察,而是需要一個統計量來定量刻畫線性相關程度的強弱,進而引出本節課的研究目標.讓學生初步感受構建一個統計量的必要性,從定性向定量過渡,從而自然引出相關系數.

2.問題引導,生成新知

問題3 |r|的取值范圍是什么?

追問1:一組成對數據的相關系數|r|的值接近1說明了什么?

追問2:一組成對數據的相關系數|r|的值接近0說明了什么?

引導學生從相關系數的推導過程中尋找答案,得出|r|≤1,|r|的值越接近1,說明X和Y的線性相關性越強;|r|的值越接近0,說明X和Y的線性相關性越弱.

設計意圖：讓學生感知,要研究如何構造一個統計量,就應該先從特殊的情況出發,先研究線性相關性好的情況下如何表達,再通過特殊情況的經驗,得出一般性的結論,體現從特殊到一般的數學思想.統計過程中對數據的“標準化”處理,是統計中常用的處理數據的方法,也是一種重要的“標準化”思想.

3.抽象概括,得到新知

設計意圖：重溫相關系數的生成過程,讓學生再次感知統計學中統計量的探究脈絡,從而得到統計學研究的一般方法,同時給出簡化式子的化簡過程,培養統計中的計算能力.

問題4r>0說明了什么?r<0呢?

設計意圖：再探r的意義,讓學生了解r與相關性密不可分,同時復習上一節線性回歸方程的內容,讓學生感受知識之間的聯系.

4.實際應用,獲得經驗

例：計算下表中隨機變量之間的樣本相關系數r(結果保留到小數點后的第9位),并談談通過計算發現了什么.

ixiyix2iy2ixiyi1165522722527048580215744246491936690831554524025202569754175553062530259625516854282242916907261574724649220973797178623168438441103681605025600250080009163532656928098639合計14784622432502396876214

設計意圖：通過實例鞏固線性相關系數計算公式的使用以及線性相關性的知識概念,在實際應用中深化學生對公式以及概念的理解.

5.課堂小結,總結經驗

通過本節課的學習,你是否明白了什么是線性相關系數?為什么要計算線性相關系數?標準化的過程是怎樣的?如何用線性相關系數來判斷成對數據的相關性強弱?

四、實踐反思

在課堂設計與教學中,以解決不斷出現的問題為主線,自然的進行教學,更有利于學生的思考,在問題的解決過程中,體會數學思想,培養解決問題的能力.本節課從細微處著手,從特殊的例子以及直觀感受出發,以問題為主線進行串聯,同時結合統計學中的研究方法,將概念呈現給學生.

一方面,教師通過問題為主線,可以將統計量的整個探究過程講述的更加清晰,概念的講解的更透徹,教學過程更方便,同時整個課堂自然樸實而又高效,體驗并揭示知識的發生、發展和形成過程,幫助學生自主建構前后貫通的知識體系,促進學生思維能力的發展,培養學生的數學素養.

另一方面,學生通過問題為主線進行學習,概念生成更自然,思考方向更具體,學習方向更明確,在問題鏈中感受相關系數這一概念的生成,發展,進化以及應用,增強學生的自主探究能力,提升數學思維水平,獲得統計學的一般性研究方法,為后續的其他概率模型的學習做好鋪墊.