基于“模型識別”的函數導數試題求解策略探析

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

福建省福清市教師進修學校 (350300) 林新建

函數是現代數學最基本的概念,是描述客觀世界中變量關系與規律最基本的數學語言和工具,是高中數學教學中最核心的內容,是貫穿高中數學課程的一條主線.同時,由于內容的聯系性、綜合性,以及解法的靈活性,函數與導數相關試題在歷年高考的各類題型中常常作為“把關題”出現,充分考查了學生解決數學綜合問題的“四基”“四能”,承擔著區分與選拔的功能.

下面從“模型識別”的角度,借助于若干典型例子,探析“聯想模型予以識別、還原模型予以識別、構建模型予以識別”三個策略在求解函數導數試題中的應用,以期揭示此類問題的解題規律,幫助學生更高效備考,同時供一線教師參考借鑒.

1、聯想模型予以識別

數學大師波利亞的“怎樣解題表”將整個解題過程分為四個階段:理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧,每個階段又設置了一系列問題啟發聯想.這些問題著眼于學生的最近發展區,通過啟發性的提問,能夠引導學生找到問題的源頭.在擬訂方案階段,設置的前兩個問題是:你以前見過類似的問題嗎?能聯想起相關的定理或公式嗎?由此及彼,在求解函數導數問題時,我們可以嘗試引導學生通過題設條件,聯想與問題相關的數學模型,再通過識別這些模型,對問題進行求解.

例1 已知f(x)=exln(ax+1)+ax2+x.

(1)若a=1,求f(x)在x=0處的切線;

(2)若f(x)的最大值為0,求a的值.

如何驗證exln(-x+1)-x2+x≤0成立?

求解難點：該不等式包含指數、對數函數,二者糾纏在一起,直接求導研究其單調性運算量較大,且需要多次求導,過程過于繁雜.

第二課堂學分管理系統滿足學生參與活動以及學分申請的訴求，為校方管理者提供了管控學生第二課堂活動以及學分認定的平臺。

2、還原模型予以識別

我們平時求解的試題,總存在兩個不同的形態:其一是外顯的形態,即呈現在解題者面前的形態;其二是內隱的形態,即命題者命制該試題過程中所采用或間接采用的數學模型.試題的內隱形態是求解該試題的關鍵所在,若能夠通過試題的外顯形態,追本溯源還原出其內隱形態,并識別其模型特征,則可抓住問題的本質,對問題輕松自然的求解.

例2 (2021年新高考全國I卷第22題)已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

分析：本題問題(2)是一道比較經典的極值點偏移問題,但是從試題的外顯形態暫時無法看出命題者的考查意圖.本題的求解,應考量條件blna-alnb=a-b與函數f(x)的關系,故需要將blna-alnb=a-b做適當的變形.

對blna-alnb=a-b實施怎么樣變形?實施的方向和依據是什么?我們可以嘗試從數學美的角度進行思考.

模型識別：通過上述三步的基于數學美的模型還原,我們實現了試題的外顯形態到內隱形態的過渡,識別還原后的模型特征,它是極值點偏移問題,接下來只需結合極值點偏移問題的求解套路(構造函數法、對數平均不等式、比值代換法)按部就班的求解即可.

3、構建模型予以識別

對于數學高考中的抽象函數問題,由于沒有給出函數解析式,而只給出函數滿足的一些條件,需要考生綜合運用這些條件,以及相關知識解決問題.學生如果正面求解此類問題,有較大的難度,往往無法較好作答.如果能夠通過題設條件構建出相關的函數模型,再借助該模型對問題進行分析求解,可規避繁雜的轉化過程,優化整個解題過程.

A．-3 B．-2 C．0 D．1

分析：本題求解的通法是通過計算特殊值,再通過解析式的變換,求解得到函數f(x)周期,再借助周期及前6個函數值,求得最終的結果.整個過程思維量較大,在求解周期的過程中,需要進行一些繁雜的表達式變換,要求學生有較強的恒等變換能力.

本題是否有更為簡潔的解法?

模型特征：關注到本題題設條件中f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)的模型特點,聯想與之相關聯的函數模型,發現其與2cosxcosy=cos(x+y)+cos(x-y)這一關系式結構相似.

評注：上述類型問題能夠很好的考查學生的問題求解能力和創新意識,所以在接下來的新高考試題中將可能不斷的涌現.在平時的教學過程中,老師們要引導學生對一些簡單初等函數的運算律做適當的歸類(指數函數:f(x+y)=f(x)f(y);對數函數:f(xy)=f(x)+f(y);冪函數:f(xy)=f(x)f(y)等),以幫助學生應對不斷靈活的命題形式,提升問題的求解能力.

4、結語

在數學解題學習中,學生的主要任務并不是解題,而是學習解題,因此教師教的重點和學生學的重點,不在于“解”而在于“學解”.以“解”作為出發點,注重的是解題的結果;以“學解”作為出發點,注重的則是解題的過程.

在學生的“學解”過程中,教師若能夠將數學素養同具體的情境與問題相連,創設不同的模型認知活動,讓學生在日積月累的數學學習中,不斷地進行“數學認知”,則可不斷積累學生的數學活動的經驗,從而切實有效地培養起他們的數學核心素養.