從一道質檢題談與導數交匯的熱點問題

福建省莆田哲理中學 (351100) 鄭麗貞

《中國高考評價體系》明確指出“四翼”的高考考查要求,即分別從基礎性、綜合性、應用性、創新性的角度對素質教育的目標進行評價.其中綜合性要求對不同層面的知識、能力、素養能夠縱向融會貫通.近年高考對函數和導數的考查側重于理解和應用,試題有一定的綜合性,并與數學思想方法緊密結合.解決該類問題,往往需要充分結合幾個知識模塊的知識,考生在面臨多模塊知識交匯時,因綜合性較強而產生畏難情緒,導致不能較好作答.本文筆者從一道高三質檢題談起,探究此類問題的破解之道.

引例(2022年鄂東南省級示范校聯盟聯考)己知函數f(x)=asin(1-x)+lnx,a∈R．

(1)討論函數f(x)在x∈(0,1)上的單調性;

分析:本題以含三角函數及對數函數的初等函數為載體,與不等式相結合.第一問考查的是導數的應用,利用導數判斷函數的單調性基礎知識,考查運算求解能力,考查函數與方程思想、分類與整合思想等;第二問考查的是利用導數證明不等式等基礎知識,考查抽象概括能力、推理論證能力,考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、分類與整合思想等.考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養,體現綜合性、應用性、創新性.由于本題涉及三角函數、函數導數、不等式等幾個知識板塊的交匯,有一定的難度.

當a≤0時,f′(x)>0,此時f(x)在區間(0,1)單調遞增;當00,此時f(x)在區間(0,1)單調遞增;

當a>1時,令h(x)=1-axcos(1-x),01,cos(1-x)>0,sin(1-x)>0,所以h′(x)<0,h(x)在區間(0,1)單調遞減．又因為h(0)=1>0,所以h(1)=1-a<0,則h(x)在(0,1)上存在唯一零點x0,使得h(x0)=1-ax0cos(1-x0)=0,所以當x∈(0,x0)時h(x)>0,f′(x)>0,f(x)遞增;當x∈(x0,1)時h(x)<0,f′(x)<0,f(x)遞減．

綜上,當a≤1時,f(x)在區間(0,1)單調遞增;當a>1時,當x∈(0,x0)時,f(x)在區間(0,1)單調遞增;當x∈(x0,1)時,f(x)在區間(0,1)單調遞減．其中x0為方程ax0cos(1-x0)=1的根．

當前高考從能力立意轉變為素養導向,素養導向的高考命題注重科學思維的考查,要求學生以嚴謹的科學思維、嚴肅的科學態度去思考每一個實際問題.這道試題充分地考查學生三角函數、函數導數、不等式等必備知識以及綜合關聯各個知識模塊思考的關鍵能力,很好地考查了學生的素養.這種命題方向在近年高考中也頻頻出現,讓人眼前一亮.

一、與三角函數交匯

例1 已知函數f(x)=ex-2x-cosx.

(1)當x∈(-∞,0)時,求證:f(x)>0;

(2)若函數g(x)=f(x)+ln(x+1),求證:函數g(x)存在極小值.

解析:(1)依題意,f′(x)=ex-2+sinx,當x∈(-∞,0)時,f′(x)<0,故函數f(x)在區間(-∞,0)單調遞減,故f(x)>f(0)=0.

(1)求f(x)在(-π,π)上的單調區間;

(2)設f(x)是f′(x)的導函數,函數g(x)=(2a-1)x+(a+2)xcosx-sin2x+f′(x),若g(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍．

二、與不等式交匯

例2 已知函數f(x)=ln(1+3x)-ax(a≥0).

(1)討論f(x)的單調性;

變式2 已知函數f(x)=x2-x-alnx(a>0).

(1)討論函數f(x)的單調性;

(2)①若f(x)≥0,求實數a的值;

(2)①a=1.②略.

三、與數列交匯

綜上,符合題設的實數a的取值范圍是(-∞,-1]．

(方法2)同方法1,若a≥0時,g(x)在(0,+∞)上唯一的極大值點,不合題設．

綜上,所求實數a的取值范圍是(-∞,-1]

圖1

圖2

所以x1,x2,x3成等比數列．

評析：本題第(1)問利用導數分類討論函數單調性,滿足函數有唯一的極值點且為極小值點時,確定實數a的取值范圍;第(2)問利用導數研究函數單調性,作出函數的大致圖象,數形結合找到x1,x2,x3的位置,代入函數解析式化簡可得結論.

答案：(1)m=1;(2)略.

四、教學啟示

高考與各地市質檢試題是命題專家智慧的結晶,對高考備考的重要性不言而喻.一線教師需認真口味,從不同角度對試題進行剖析,引導學生在解決問題的過程中,能在思想方法層面上去提煉反思,加深對數學問題本質理解,進而構建知識體系.當前高考考查素養強調創新,教師要善于對一些綜合問題進行情景變式探究,引導學生積累解題活動經驗,在變化的情境中尋找不變的本質,拓展數學思維,提升數學能力,發展數學核心素養.