一道模擬試題的命制背景探究

廣東省佛山市順德區(qū)容山中學 (528303) 李 云

在高考或模擬試題中,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊常常作為壓軸題進行考察,此類試題涉及到的變量較多,形式多樣,思維性強.但此類試題一般都具有隱藏的幾何意義,若通過其幾何背景進行理解,即可快速地獲得其命制的背景及原理.本文以我市2023屆一模第22題為例,探討其命制背景.

一、試題及分析

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若a,b是f(x)的兩個極值點,且a>b,求證:2[f(a)-f(b)]<(4m+1)(a-b).

分析：本題的第(1)問考察函數(shù)單調(diào)性,需要通過分類討論的思想判斷,考察導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用.本題第(2)問涉及到極值點的意義,所證不等式涉及到了三個變量,如何進行轉(zhuǎn)化與消元是解決此題的關(guān)鍵.

二、解法呈現(xiàn)

在上述求解過程中,首先利用韋達定理進行了消元,再通過齊次化的技巧將未知量降為1個,充分地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想.后轉(zhuǎn)化后所需證不等式的本質(zhì)是對數(shù)均值不等式.

三、試題背景分析及拓展

特別地,我們可以取其他的等分點來命制出新的問題,例如:

回到原問題,是否也可以通過斜率的比較來解釋所證不等式呢?

設(shè)點M(a,f(a)),N(b,f(b)),則有

通過上式,我們發(fā)現(xiàn)存在兩個點滿足不等式,現(xiàn)解釋如下:

根據(jù)上述分析,我們可根據(jù)拐點命制如下的練習題供大家參考:

已知函數(shù)f(x)=-2x3+9mx2-12m2x+1有兩個極值點a,b,且a>b,求證:2[f(a)-f(b)]<3m2(a-b).

注意到該函數(shù)的拐點是兩個極值點的中心點,我們也可以利用拐點“偏移”的函數(shù)來命制其他練習題,請感興趣的讀者自行研究,本文不再贅述.